高中数学苏教版必修四教学案第2章 章末小结小结与测评 含答案Word文档下载推荐.docx

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2．向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法．

三角形法则．

[说明]　要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则的要素是“首尾相接，指向终点”；

向量减法的三角形法则的要素是“起点重合，指向被减向量”；

平行四边形法则的要素是“起点重合”．

3．实数与向量的积

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：

|λa|＝|λ||a|.当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；

当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；

当λ＝0时，λa＝0.由此可见，总有λa与a平行．

（2）运算律：

λ（μa）＝（λμ）a，（λ＋μ）a＝λa＋μa，λ（a＋b）＝λa＋λb.

三、两个定理

1．向量共线定理

（1）如果有一个实数λ，使b＝λa（a≠0），那么b与a是共线向量；

反之，如果b与a（a≠0）是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.

（2）向量平行的坐标表示：

若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

2．平面向量基本定理

平面向量基本定理：

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

一个平面向量用一组基底e1，e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1，e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．

[说明]　零向量不能作基底，两个非零向量共线时不能作基底，平面内任意两个不共线的向量都可以作基底，一旦选择了一组基底，则定向量沿基底的分解是唯一的．

四、平面向量的数量积

1．平面向量数量积的概念及意义

（1）向量的夹角：

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ（0°

≤θ≤180°

）叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．

（2）数量积的定义：

已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·

b，即a·

b＝|a||b|cosθ.

（3）数量积的几何意义：

数量积a·

b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积．

[说明]　b在a方向上的投影|b|cosθ是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以为0.

2．平面向量数量积的性质

设a与b是非零向量，e是单位向量，〈a，e〉＝θ.

（1）e·

a＝a·

e＝|a|cosθ.

（2）当a与b同向时，a·

b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·

b＝－|a||b|，特别地，a·

a＝|a|2，或|a|＝.

（3）a⊥b⇔a·

b＝0.

（4）cosθ＝.

（5）|a·

b|≤|a||b|.

[说明]　

（1）数量积的运算要注意a＝0时，a·

b＝0，但a·

b＝0时不一定能得到a＝0或b＝0，因为a⊥b时，也有a·

（2）若向量a、b、c满足a·

b＝a·

c（a≠0），则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．

3．平面向量数量积的运算律

（1）a·

b＝b·

a；

（2）（λa）·

b＝λ（a·

b）＝a·

（λb）；

（3）（a＋b）·

c＝a·

c＋b·

c.

[说明]　数量积的运算不满足结合律，即（a·

b）·

c≠a·

（b·

c）．

4．平面向量数量积的坐标运算

设a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则

b＝x1x2＋y1y2；

（2）|a|＝；

（3）cos〈a，b〉＝；

（4）a⊥b⇔a·

b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.

[说明]　x1y2－x2y1＝0与x1x2＋y1y2＝0不同，前者是两向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）共线的条件，后者是它们垂直的条件．

（时间：

120分钟，满分：

160分）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．将答案填在题中的横线上）

1．＋－＋化简后等于________．

解析：

原式＝（＋）＋（－）

＝（－）＋（＋）＝0＋＝.

答案：

2．已知向量a＝（1,3x），b＝（－1,9），若a与b共线，则实数x的值为________．

∵a与b共线，∴9＋3x＝0，∴x＝－3.

－3

3．已知向量m＝（λ＋1,1），n＝（λ＋2,2），若（m＋n）⊥（m－n），则λ＝________

（m＋n）⊥（m－n）＝（2λ＋3,3）·

（－1，－1）

＝－（2λ＋6）＝0，所以λ＝－3.

4．已知点A（1,3），B（4，－1），则与向量同方向的单位向量为________．

＝（3，－4），所以||＝5，这样同方向的单位向量是＝.

5．如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且＝λ（－）成立，则λ＝________.

∵M，N分别是AB，AC的一个三等分点，

∴＝，即＝.

又＝λ（－）＝λ，

∴λ＝.

6．若|a|＝2，|b|＝6，a·

b＝－3，则|a＋b|等于________．

∵（a＋b）2＝a2＋2a·

b＋b2＝4－6＋36＝34，

∴|a＋b|＝.

7．已知向量＝（2,0），＝（2,2），＝（－1，－3），则和的夹角为________．

由题意，得＝＋＝（1，－1），

则||＝，||＝2，·

＝2，

∴cos〈，〉＝＝.

又0≤〈，〉≤π，∴〈，〉＝.

8．在梯形ABCD中，＝2，AC与BD相交于O点．若＝a，＝b，则＝________.

依题意得AB∥CD，且AB＝2CD，＝＝，＝，又＝＋＝b＋a，

因此＝b＋a.

b＋a

9．如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP＝3，则·

＝________.

设AC与BD的交点为O，则·

＝·

2＝22＋2·

＝2×

32＋0＝18.

18

10．已知e1，e2是夹角为的两个单位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·

b＝0，则实数k的值为________．

a·

b＝（e1－2e2）·

（ke1＋e2）

＝ke＋（1－2k）e1·

e2－2e

＝k＋（1－2k）cos－2＝2k－.

又a·

b＝0，

∴2k－＝0，∴k＝.

11．下列5个说法：

①共线的单位向量是相等向量；

②若a，b，c满足a＋b＝c时，则以|a|，|b|，|c|为边一定能构成三角形；

③对任意的向量，必有|a＋b|≤|a|＋|b|；

④（a·

b）c＝a（b·

c）；

⑤（a＋b）·

其中正确的是________．

共线也有可能反向，故①不正确；

若|a|＝0，显然不能构成三角形，故②不正确；

由数量积的性质知④不正确；

由向量加法的三角形法则知③正确；

由数量积的性质知⑤正确．

③⑤

12．设向量a与b的夹角为θ，定义a与b的“向量积”：

a×

b是一个向量，它的模|a×

b|＝|a||b|sinθ，若a＝（－，－1），b＝（1，），则|a×

b|＝________.

cosθ＝＝＝－，∴sinθ＝.

∴|a×

b|＝2×

2×

＝2.

2

13．已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则·

的值为____________；

·

的最大值为________．

法一：

以，为基向量，

设AE＝λ（0≤λ≤1），

则＝－＝λ－，＝－，

所以·

＝λ－·

－）

＝－λ·

＋2,＝－λ×

0＋1＝1.

又＝，所以·

＝λ2－·

＝λ×

1－0＝λ≤1，,即·

的最大值为1.

法二：

建立如图所示的平面直角坐标系，,令E点坐标为t，00≤t≤1可得·

＝t，－1·

0，－1＝1，,·

1，0＝t≤1，,∴·

＝1，·

最大值为1.

1　1

14．（上海高考）已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为a1，a2，a3；

以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为c1，c2，c3.若i，j，k，l∈{1,2,3}且i≠j，k≠l，则·

的最小值是________．

根据对称性，当向量与互为相反向量，且它们的模最大时，·

最小．这时ai＝AC，aj＝AD，ck＝CA，cl＝CB，

＝－2＝－5.

－5

二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）

15．（本小题满分14分）在四边形ABCD（A、B、C、D顺时针排列）中，＝（6,1），＝（－2，－3），若有∥，又有⊥，求的坐标．

解：

设＝（x，y），则＝＋＝（6＋x,1＋y），

＝＋＝（4＋x，y－2），

＝－＝（－x－4,2－y），

＝＋＝（x－2，y－3）．

又∥及⊥，

∴x（2－y）－（－x－4）y＝0，①

（6＋x）（x－2）＋（1＋y）（y－3）＝0.②

解得或

∴＝（－6,3）或（2，－1）．

16．（本小题满分14分）已知||＝1，||＝，·

＝0，点C在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°

，若＝m＋n（m，n∈R），求的值．

∵·

＝0，∴⊥，∴∠AOB＝90°

，

又∵∠AOC＝30°

，且点C在∠AOB内部，

∴∠BOC＝60°

∴·

（m＋n）＝m＝||||·

cos∠AOC＝||，

（m＋n）＝3n＝||||·

cos∠BOC＝||.

∴m＝3n，即＝3.

17．（本小题满分14分）已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝（1,2）．

（1）若|c|＝2，且c∥a，求c的坐标；

（2）若|b|＝，且（a＋2b）·

（2a－b）＝0，求a与b的夹角θ.

（1）设c＝（x，y），∵|c|＝2，∴＝2，

即x2＋y2＝20.①

∵c∥a，a＝（1,2），∴2x－y＝0，即y＝2x.②

联立①②，得或

∴c＝（2,4）或（－2，－4）．

（2）（a＋2b）·

（2a－b）＝0，

即2a2＋3a·

b－2b2＝0,2|a|2＋3a·

b－2|b|2＝0.③

∵|a|2＝5，|b|2＝，代入③式，得a·

b＝－，

∴cosθ＝＝＝－1.

又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.

18．（本小题满分16分）已知向量a＝（，－1），b＝.

（1）求证：

a⊥b；

（2）是否存在不等于0的实数k和t，使x＝a＋（t2－3）b，y＝－ka＋tb，且x⊥y？

如果存在，试确定k和t的关系；

如果不存在，请说明理由．

（1）证明：

b＝（，－1）·

＝－＝0，∴a⊥b.

（2）假设存在非零实数k，t使x⊥y，

则[a＋（t2－3）b]·

（－ka＋tb）＝0，

整理得－ka