届北京天津版高考文科数学二轮专题复习讲义 集合与常用逻辑用语.docx

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届北京天津版高考文科数学二轮专题复习讲义集合与常用逻辑用语

　集合与常用逻辑用语

考情考向分析

1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题．

2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．

热点分类突破

热点一　集合的关系及运算

1．集合的运算性质及重要结论

（1）A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.

（2）A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.

（3）A∩（∁UA）＝∅，A∪（∁UA）＝U.

（4）A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A.

2．集合运算中的常用方法

（1）若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解．

（2）若已知的集合是点集，用数形结合法求解．

（3）若已知的集合是抽象集合，用Venn图求解．

例1　

（1）（2017·全国Ⅰ）已知集合A＝{x|x<2}，B＝{x|3－2x>0}，则（　　）

A．A∩B＝B．A∩B＝∅

C．A∪B＝D．A∪B＝R

答案　A

解析　因为B＝{x|3－2x＞0}＝，

A＝{x|x＜2}，

所以A∩B＝，A∪B＝{x|x＜2}．

故选A.

（2）（2017届潍坊临朐县月考）已知集合M＝{（x，y）|y＝f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“理想集合”．给出下列4个集合：

①M＝；②M＝{（x，y）|y＝sinx}；③M＝{（x，y）|y＝ex－2}；④M＝{（x，y）|y＝lgx}．

其中所有“理想集合”的序号是（　　）

A．①③B．②③

C．②④D．③④

答案　B

解析　由题意设A（x1，y1），B（x2，y2），又由x1x2＋y1y2＝0可知，⊥.①项，y＝是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，所以当点A，B在同一支上时，∠AOB<90°，当点A，B不在同一支上时，∠AOB>90°，不存在⊥，故不正确；②项，通过对其图象的分析发现，对于任意的点A都能找到对应的点B，使得⊥成立，故正确；③项，由图象可得直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点（1,0）在曲线上，不存在另外一个点使得⊥成立，故错误．综合②③正确，故选B.

思维升华　

（1）关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn图或数轴求解．

（2）对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．

跟踪演练1　

（1）（2017届云南曲靖一中月考）已知集合A＝{x∈N|x2－5x＋4≤0}，B＝{x|x2－4＝0}，下列结论成立的是（　　）

A．B⊆AB．A∪B＝A

C．A∩B＝AD．A∩B＝{2}

（2）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义A*B＝若A＝{1,2}，B＝{x|（x2＋ax）（x2＋ax＋2）＝0}，且A*B＝1，设实数a的所有可能取值构成的集合是S，则C（S）等于（　　）

A.4B.3

C.2D.1

答案　

（1）D　

（2）B

解析　

（1）A＝{x∈N|1≤x≤4}，

B＝{x|x＝±2}⇒A∩B＝{2}，故选D.

（2）由A＝{1,2}，得C（A）＝2，

由A*B＝1，得C（B）＝1或C（B）＝3.

由（x2＋ax）（x2＋ax＋2）＝0，

得x2＋ax＝0或x2＋ax＋2＝0.

当C（B）＝1时，方程（x2＋ax）（x2＋ax＋2）＝0只有实根x＝0，这时a＝0；

当C（B）＝3时，必有a≠0，这时x2＋ax＝0有两个不相等的实根x1＝0，x2＝－a，方程x2＋ax＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x1＝0，x2＝－a.由Δ＝a2－8＝0，得a＝±2，可验证均满足题意，故S＝{－2，0,2}，故C（S）＝3.

热点二　四种命题与充要条件

1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．

2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．

例2　

（1）（2017届抚州七校联考）A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：

若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．在下列四个命题中，为p的逆否命题的是（　　）

A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格

B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分

C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分

D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分

答案　C

解析　根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：

若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格，p的逆否命题是：

若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.

（2）已知α，β均为第一象限角，那么α>β是sinα>sinβ的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　D

解析　由α，β均为第一象限角，可取α＝2π＋，β＝，有α>β，但sinα＝sinβ，即α>β不是sinα>sinβ的充分条件；又由α，β均为第一象限角，可取α＝，β＝2π＋，有sinα>sinβ成立，但α<β，即α>β不是sinα>sinβ的必要条件．综上所述，α>β是sinα>sinβ的既不充分也不必要条件．故选D.

思维升华　充分条件与必要条件的三种判定方法

（1）定义法：

正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件（或q是p的必要条件）；若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件（或q是p的必要不充分条件）．

（2）集合法：

利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件（B是A的必要条件）；若A＝B，则A是B的充要条件．

（3）等价法：

将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．

跟踪演练2　

（1）有关命题的说法正确的是（　　）

A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：

“若xy＝0，则x≠0”

B．命题“∃x0∈R，使得2x－1<0”的否定是：

“∀x∈R,2x2－1<0”

C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题

D．命题“若cosx＝cosy，则x＝y”的逆否命题为真命题

（2）（2017届湖南长沙一中月考）在△ABC中，“Acos2B>cos2C”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　

（1）C　

（2）C

解析　

（1）对于A选项，命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故A错误；对于B选项，命题“∃x∈R，使2x2－1<0”的否定是“∀x∈R,2x2－1≥0”，故B错误；选项C的逆命题为真命题，故C正确；选项D的原命题是假命题，则逆否命题与之对应，也是假命题，故D错误，故选C.

（2）由正弦定理，可得在△ABC中，若A

则sinA

由倍角公式可得<<，

可得cos2A>cos2B>cos2C，反之也成立．

所以在△ABC中，“Acos2B>cos2C”的充要条件，故选C.

热点三　逻辑联结词、量词

1．命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．

2．命题p∨q的否定是（綈p）∧（綈q）；命题p∧q的否定是（綈p）∨（綈q）．

3．“∀x∈M，p（x）”的否定为“∃x0∈M，綈p（x0）”；“∃x0∈M，p（x0）”的否定为“∀x∈M，綈p（x）”．

例3　

（1）已知函数f（x）＝给出下列两个命题：

命题p：

若m＝，则f（f（－1））＝0；

命题q：

∃m∈（－∞，0），方程f（x）＝0有解．

那么，下列命题为真命题的是（　　）

A．p∧qB．（綈p）∧q

C．p∧（綈q）D．（綈p）∧（綈q）

（2）（2017届安徽百校论坛联考）已知命题p：

∀x∈（1，＋∞），log3（x＋2）－>0，则下列叙述正确的是（　　）

A．綈p：

∀x∈（1，＋∞），log3（x＋2）－≤0

B．綈p：

∃x0∈（1，＋∞），log3（x0＋2）－<0

C．綈p：

∃x0∈（－∞，1]，log3（x0＋2）－≤0

D．綈p是假命题

答案　

（1）C　

（2）D

解析　

（1）若m＝，则f（f（－1））＝f ＝0，故命题p为真命题．当x<0时，f（x）＝2x>0；当x≥0时，若m<0，f（x）＝m－x2<0.故∀m∈（－∞，0），方程f（x）＝0无解，从而命题q为假命题，所以p∧（綈q）为真命题，故选C.

（2）綈p：

∃x0∈（1，＋∞），log3（x0＋2）－≤0，又函数f（x）＝log3（x＋2）－在（1，＋∞）上是增函数，所以f（x）>f

（1）＝0，故p是真命题，即綈p是假命题.

故选D.

思维升华　

（1）命题的否定和否命题是两个不同的概念：

命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立．

（2）判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．

跟踪演练3　

（1）（2017届黑吉两省八校期中）已知：

命题p：

若函数f（x）＝x2＋|x－a|是偶函数，则a＝0；命题q：

∀m∈（0，＋∞），关于x的方程mx2－2x＋1＝0有解．在①p∨q；②p∧q；③（綈p）∧q；④（綈p）∨（綈q）中，为真命题的是（　　）

A．②③B．②④

C．③④D．①④

（2）（2017届徐州丰县民族中学调研）若命题“∃x0∈R，使得x＋（1－a）x0＋1<0”是假命题，则实数a的取值范围为_________．

答案　

（1）D　

（2）[－1,3]

解析　

（1）因为f（－x）＝f（x），所以1＋|a＋1|＝1＋|a－1|，解得a＝0，故命题p为真命题；又因为当Δ＝4－4m≥0，即m≤1时，方程有解，所以q为假命题．

所以p∨q与（綈p）∨（綈q）为真命题，故选D.

（2）由题设可得（1－a）2－4≤0，解得－1≤a≤3.

真题体验

1．（2017·北京改编）已知U＝R，集合A＝{x|x<－2或x>2}，则∁UA＝________.

答案　[－2,2]

解析　因为A＝{x|x<－2或x>2}，

所以∁UA＝∁RA＝{x|－2≤x≤2}，即∁UA＝[－2,2]．

2．（2017·天津改编）设θ∈R，则“<”是“sinθ<”的__________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

解析　∵<，

∴－<θ－<，即0＜θ＜.

显然当0＜θ＜时，sinθ＜成立．

但当sinθ＜时，由周期函数的性质知，0＜θ＜不一定成立．

故0＜θ＜是sinθ＜的充分不必要条件，

即“<”是“sinθ<”的充分不必要条件．

3．（2017·山东改编）已知命题p：

∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：

若a2

①p∧q；　②p∧（綈q）；　③（綈p）∧q；　④（綈p）∧（綈q）．

答案　②

解析　∵一元二次方程x2－x＋1＝0的判别式Δ＝（－1）2－4×1×1＜0，∴x2－x＋1＞0恒成立，

∴p为真命题，綈p为假命题．

∵当a＝－1，b＝－2时，（－1）2＜（－2）2，但－1＞－2，

∴q为假命题，綈q为真命题．

根据真值表可知，p∧（綈q）为真命题，p∧q，（綈p）∧q，（綈p）∧（綈q）为假命题．

4．（2016·浙江改编）命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”