九年级数学一元二次方程组的专项培优练习题含答案含答案解析Word格式.docx

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4（k﹣）＝（2k﹣3）2＝0，

k＝，

∴b+c＝2k+1＝4．

∵b+c＝4＝a，

∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．

∴△ABC的周长为10．

【点睛】

本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．

2．阅读下列材料

计算：

（1﹣﹣）×

（+）﹣（1﹣﹣）（+），令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣+t2＝

在上面的问题中，用一个字母代表式子中的某一部分，能达到简化计算的目的，这种思想方法叫做“换元法”，请用“换元法”解决下列问题：

（1）计算：

（+）﹣（1﹣﹣）×

（+）

（2）因式分解：

（a2﹣5a+3）（a2﹣5a+7）+4

（3）解方程：

（x2+4x+1）（x2+4x+3）＝3

【答案】

（1）；

（2）（a2﹣5a+5）2；

（3）x1＝0，x2＝﹣4，x3＝x4＝﹣2

（1）仿照材料内容，令+＝t代入原式计算．

（2）观察式子找相同部分进行换元，令a2﹣5a＝t代入原式进行因式分解，最后要记得把t换为a．

（3）观察式子找相同部分进行换元，令x2+4x＝t代入原方程，即得到关于t的一元二次方程，得到t的两个解后要代回去求出4个x的解．

（1）令+＝t，则：

原式＝（1﹣t）（t+）﹣（1﹣t﹣）t＝t+﹣t2﹣﹣t+t2+＝

（2）令a2﹣5a＝t，则：

原式＝（t+3）（t+7）+4＝t2+7t+3t+21+4＝t2+10t+25＝（t+5）2＝（a2﹣5a+5）2

（3）令x2+4x＝t，则原方程转化为：

（t+1）（t+3）＝3

t2+4t+3＝3

t（t+4）＝0

∴t1＝0，t2＝﹣4

当x2+4x＝0时，

x（x+4）＝0

x1＝0，x2＝﹣4

当x2+4x＝﹣4时，

x2+4x+4＝0

（x+2）2＝0

x3＝x4＝﹣2

本题考查用换元法进行整式的运算，因式分解，解一元二次方程．利用换元法一般可达到降次效果，从而简便运算．

3．已知：

关于x的方程x2－4mx＋4m2－1＝0.

（1）不解方程，判断方程的根的情况；

（2）若△ABC为等腰三角形，BC＝5，另外两条边是方程的根，求此三角形的周长．2

（1）有两个不相等的实数根

（2）周长为13或17

试题分析：

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=4＞0，由此可得出：

无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；

（2）根据等腰三角形的性质及△＞0，可得出5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根，将x=5代入原方程可求出m值，通过解方程可得出方程的解，在利用三角形的周长公式即可求出结论．

试题解析：

解：

（1）∵△=（﹣4m）2﹣4（4m2﹣1）=4＞0，∴无论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根．

（2）∵△＞0，△ABC为等腰三角形，另外两条边是方程的根，∴5是方程x2﹣4mx+4m2﹣1=0的根．

将x=5代入原方程，得：

25﹣20m+4m2﹣1=0，解得：

m1=2，m2=3．

当m=2时，原方程为x2﹣8x+15=0，解得：

x1=3，x2=5．∵3、5、5能够组成三角形，∴该三角形的周长为3+5+5=13；

当m=3时，原方程为x2﹣12x+35=0，解得：

x1=5，x2=7．∵5、5、7能够组成三角形，∴该三角形的周长为5+5+7=17．

综上所述：

此三角形的周长为13或17．

点睛：

本题考查了根的判别式、等腰三角形的性质、三角形的三边关系以及解一元二次方程，解题的关键是：

（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；

（2）代入x=5求出m值．

4．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格出售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．

（1）求平均每次下调的百分率；

（2）房产销售经理向开发商建议：

先公布下调5%，再下调15%，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者是否更优惠？

为什么？

（1）平均每次下调的百分率为10%．

（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．

（1）根据利用一元二次方程解决增长率问题的要求，设出未知数，然后列方程求解即可；

（2）分别求出两种方式的增长率，然后比较即可.

（1）设平均每次下调x%，则

7000（1﹣x）2=5670，解得：

x1=10%，x2=190%（不合题意，舍去）；

答：

平均每次下调的百分率为10%．

（2）（1﹣5%）×

（1﹣15%）=95%×

85%=80.75%，（1﹣x）2=（1﹣10%）2=81%．

∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．

5．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关．

（1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？

（2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg时，用油的重复利用率为61.6%．

①润滑用油量为80kg，用油量的重复利用率为多少？

②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？

用油的重复利用率是多少？

（1）28

（2）①76%②75，84%

（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；

（2）①利用润滑用油量每减少1kg，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案；

②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg，得出等式求出答案．

（1）根据题意可得：

70×

（1﹣60%）=28（kg）；

（2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%；

②设润滑用油量是x千克，则

x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x）]}=12，

整理得：

x2﹣65x﹣750=0，

（x﹣75）（x+10）=0，

x1=75，x2=﹣10（舍去），

60%+1.6%（90﹣x）=84%，

设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%．

考点：

一元二次方程的应用

6．已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0．

（1）当a=﹣11时，解这个方程；

（2）若这个方程有两个实数根x1，x2，求a的取值范围；

（3）若方程两个实数根x1，x2满足[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，求a的值．

（1）

（2）（3）-4

分析：

（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；

（2）根据判别式即可求出a的范围；

（3）根据根与系数的关系即可求出答案．

详解：

（1）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣4）=0，x+3=0或x﹣4=0，∴x1=﹣3，x2=4；

（2）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×

（a﹣1）≥0，解得；

（3）∵是方程的两个实数根，．

∵[2+x1（1﹣x1）][2+x2（1﹣x2）]=9，∴，把代入，得：

[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（1+a）2=9，解得：

a=﹣4，a=2（舍去），所以a的值为﹣4．

本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．

7．解方程：

．

【答案】x=或x=1

设，则原方程变形为y2-2y-3=0,解这个一元二次方程求y，再求x．

设，则原方程变形为y2-2y-3=0．

解这个方程，得y1=-1,y2=3,

∴或．

解得x=或x=1．

经检验：

x=或x=1都是原方程的解．

∴原方程的解是x=或x=1．

考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．

8．已知为正整数，二次方程的两根为，求下式的值：

由韦达定理，有，．于是，对正整数，有

原式=

9．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y（只）与销售单价x（元）之间的关系式为y＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？

最大利润是多少元？

【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元

表示出一件的利润为（x﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.

设每天获得的利润为w元，

根据题意得：

w＝（x﹣30）y＝（x﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x2+1000x﹣21000＝﹣10（x﹣50）2+4000．

∵a＝﹣10＜0，

∴当x＝50时，w取最大值，最大值为4000．

当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．

本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.

10．已知关于x的一元二次方程x2－（2k＋1）x＋k2＋2k＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求实数k的取值范围；

（2）是否存在实数k，使得x1·

x2－x12－x22≥0成立？

若存在，请求出k的值；

若不存在，请说明理由．

（1）当k≤时，原方程有两个实数根

（2）不存在实数k，使得x1·

x2－x12－x22≥0成立

（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；

（2）本题利用韦达定理解决.

（1），解得

（2）由，

由根与系数的关系可得：

代入得：

，

化简得：

得.

由于的取值范围为，

故不存在k使．

11．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？

【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.

设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无