行列式的计算技巧与方法总结Word格式文档下载.docx

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即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形•该

方法适用于低阶行列式.

2.2.1化三角形法

上、下三角形行列式的形式及其值分别如下:

a11

a12

a13

a1n

a22

a23

a2n

a33

a3n

ann

an

a21

a31

a32

aiia22ann，

aiia22ann•

观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对

应相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元

素全部变为零•即：

化为上三角形.

解：

将该行列式第一行的1倍分别加到第2,3•••（n1）行上去,

可得

1

a

a2

Kan

E

辟b.

M

O

K

Dn1

解:

Dn

n

Xi

m

i1

Xn

Xnm

X

x2m

222连加法

这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）

后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计

算•这类计算行列式的方法称为连加法.

223滚动消去法

当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或

者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.

例4计算行列式Dn

2

3

n1

从最后一行开始每行减去上一行,

有

12n2

2.2.4逐行相加减

显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.

以此类推，得:

将第一列加到第二列,

新的第二列加到第三列,

a〔a〔

例5计算行列式D

as

2n

x

an1

an2

a1

展开

an1xan.

将高阶行列式化为低阶行列式再求解.

2.3.1按某一行（或列

例6解行列式Dn解：

按最后一行展开，

Dna1xn1a2xn

232按拉普拉斯公式展开

拉普拉斯定理如下：

设在行列式D中任意选定了k1kn-1个

行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的

Ann

Cnn

Bnn

Ann?

Bnn.

和等于行列式D.即

例7解行列式Dn

从第三行开始，每行都减去上一行；

再从第三列开始，每列都加到第二列，得

ab

2.4升阶法

就是把n阶行列式增加一行一列变成

n+1阶行列式，再通过性质

化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果.

其中，添加行与列的方式一般有五种：

首行首列，首行末列，末

行首列，末行末列以及一般行列的位置.

例8

解行列式D=

使行列式D变成

1阶行

列式,

即

11

D

.

01

10

再将第一行的

1倍加到其他各行，

得：

D=

从第二列开始，

每列乘以

1加到第一列

（

1）

00

1n1n1.

2.5数学归纳法

有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出

假设，再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.