第89炼 比赛与闯关问题文档格式.docx

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已知甲获胜的概率为

，求甲在第5局终止比赛并获胜的概率

若第5局比赛结束，根据连胜三局终止比赛的规则，可知甲在第3,4,5局获胜，且第二局失败（否则若第二局获胜，则第四局就达到三连胜），第一局无论胜负不影响获胜结果。

所以

（3）比分差距制：

规定某方比对方多

分即终止比赛，此时首先根据比赛局数确定比分，在得分过程中要注意使两方的分差小于

（4）“一票否决制”：

在比赛的过程中，如果在某一阶段失败，则被淘汰。

此类问题要注意若达到第

阶段，则意味着前

个阶段均能通关

2、解答此类题目的技巧：

（1）善于引入变量表示事件：

可用“字母+变量角标”的形式表示事件“第几局胜利”。

表示“第

局比赛胜利”，则

局比赛失败”。

（2）善于使用对立事件求概率：

若所求事件含情况较多，可以考虑求对立事件的概率，再用

解出所求事件概率。

在处理离散性随机变量分布列时，也可利用概率和为1的特点，先求出包含情况较少的事件的概率，再间接求出包含情况较多的事件概率

二、典型例题：

例1：

某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，回答问题正确者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为

，

，且各轮问题能否正确回答互不影响．

（1）求该选手被淘汰的概率；

（2）记该选手在考核中回答问题的个数为

，求随机变量

的分布列与数学期望．

（1）思路：

依题可知，比赛规则为：

只要打错一个即被淘汰，如果从问题的正面考虑，则要考虑到是第几轮被淘汰，情况较多。

但此问题的反面为“答对所有问题”，概率易于表示，所以考虑利用对立事件进行求解

设

为“选手正确回答第

轮问题”，事件

为“选手被淘汰”

（2）思路：

可取的值为

，可知若想多答题，则需要前面的问题均要答对，所以

时，则第一题答错；

时，则第一题答对且第二题答错（若第二题答对则需要答第三题）；

时，则第一题答对且第二题答对（第三题无论是否正确，均已答三题），分别求出概率即可

的分布列为

例2：

某区要进行中学生篮球对抗赛，为争夺最后一个小组赛名额，甲、乙、丙三支篮球队要进行比赛，根据规则：

每两支队伍之间都要比赛一场；

每场比赛胜者得

分，负者得

分，没有平局，获得第一名的将夺得这个参赛名额．已知乙队胜丙队的概率为

，甲队获得第一名的概率为

，乙队获得第一名的概率为

．

（1）求甲队分别战胜乙队和丙队的概率

；

（2）设在该次比赛中，甲队得分为

，求

的分布列及期望．

解决

要通过甲队第一的概率与乙队第一的概率两个条件。

若甲队第一名，则甲战胜乙且战胜丙，即

若乙队第一名，则乙战胜甲且战胜丙，即

，两个方程即可解出

设事件

为“甲队获第一名”，则

为“乙队获第一名”，则

解得：

依题意可知

即两战全负；

即一胜一负，要分成“胜乙负丙”和“负乙胜丙”两种情况讨论；

即两战全胜；

分别求出概率即可。

例3：

甲、乙两支篮球队赛季总决赛采用7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．现已比赛了4场，且甲篮球队胜3场．已知甲球队第5，6场获胜的概率均为

，但由于体力原因，第7场获胜的概率为

．

（1）求甲队分别以

获胜的概率；

（2）设X表示决出冠军时比赛的场数，求X的分布列及数学期望．

前四场比赛甲乙比分为

，根据7场4胜制可知，甲再赢一场比赛立刻结束，所以要想获得

，必须在甲赢一场之前，乙获得比分。

所以若比分为

，则第5场乙胜，第6场甲胜；

若比分为

，则第

场均乙胜，第7场甲胜，用概率的乘法即可求出两个比分的概率

为“甲队在第

场获胜”，则

为“甲队4：

2获胜”，事件

3获胜”

比赛的场数取决于甲是否取胜，所以

，若

，则甲

获胜，即胜第五场；

若

则甲

获胜，即乙胜第五场，甲胜第六场；

，则只需前六场打成

即可，所以只需乙连赢两场。

分别计算概率即可得到分布列和期望

比赛场数

例4：

甲、乙两人对弈棋局，甲胜、乙胜、和棋的概率都是

，规定有一方累计2胜或者累计2和时，棋局结束。

棋局结束时，若是累计两和的情形，则宣布甲乙都获得冠军；

若一方累计2胜，则宣布该方获得冠军，另一方获得亚军。

设结束时对弈的总局数为X．

（1）设事件

：

“

且甲获得冠军”，求A的概率；

（2）求X的分布列和数学期望。

事件

代表“对弈3局且甲获胜”所以甲必须在第三场获胜，且前两场为一胜一和或一胜一负（胜负先后顺序均可）。

按照这几种情况找到对应概率相乘即可

为“甲在第

局取胜”，事件

为“第

局和棋”，

为“乙在第

局取胜”

依题意可得只要有两个相同的结果就结束比赛，所以最多进行4次比赛，最少进行2次比赛，故

在这些值中

包含情况较少，

即为相同的结果出现两次，以甲为研究对象，则情况分为“两胜”，“两负”，“两和”三种情况。

即为前三场“胜负和”均经历一次，所以概率

。

对于

的情况，由于种类较多，所以利用分布列概率和为1的性质用

进行计算

小炼有话说：

在随机变量所取的值中，如果只有一个值的概率包含情况较多不易计算，那么可以考虑先计算出其他取值的概率，再用1减去其他概率即可

例5：

某电视台举办的闯关节目共有五关，只有通过五关才能获得奖金，规定前三关若有失败即结束，后两关若有失败再给一次从失败的关开始继续向前闯的机会（后两关总共只有一次机会），已知某人前三关每关通过的概率都是

，后两关每关通过的概率都是

（1）求该人获得奖金的概率

（2）设该人通过的关数为

的分布列及数学期望

若该人获得奖金，则前三关必须通过，后两关可以通过，或者只有一次未通过，借助机会再次通过。

分别计算概率再相加即可

关通过”，事件

为“获得奖金”

的取值为

，其中前三关失败即结束，所以

为第一关失利；

为第一关通过且第二关失利；

为第二关通过且第三关失利；

为第三关通过且第四关失利两次；

为第四关通过且第五关失利两次；

为五关全部通过获得奖金（即第一问的结果），其中由于

情况较为复杂，所以考虑利用

进行处理

的分布列为：

例6:

袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为

现有甲、乙两人从袋中轮流、不放回地摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……直到袋中的球取完即终止。

若摸出白球，则记2分，若摸出黑球，则记1分。

每个球在每一次被取出的机会是等可能的。

用

表示甲，乙最终得分差的绝对值．

（1）求袋中原有白球的个数；

（2）求随机变量

的概率分布列及期望

可先设白球个数为

，已知事件“两球都是白球”的概率，可用古典概型进行表示，进而得到关于

的方程，解出

设袋中原有白球的个数为

，事件

为“取出两个白球”

可解得

尽管题目描述上是甲，乙轮流取球，但进一步分析可发现在取球过程中，一个人的取球结果并不影响下一个人的取球，且所求随机变量为取球完成后，两人结果的比较。

所以只需关注甲，乙最后取到的球的个数即可。

由

（1）可知袋中有4个黑球，3个白球，甲先取球，所以甲取到4个球，甲取球的结果可以是：

4黑，1白3黑，2白2黑，3白1黑，对应的分数为

分，

分，剩下的球属于乙，所以乙对应的情况为3白，2白1黑，1白2黑，3黑，分数为

分。

所以甲乙分数差的绝对值

，再分别求出概率即可。

故

（1）本题第

（2）问的亮点在于，分析过程的特点后，直接从结果入手，去分析两人所得球的情况，忽略取球的过程，从而大大简化概率的计算

（2）本题要注意甲取球的结果就已经决定乙的结果，所以在计算概率时以甲的取球结果为研究对象。

例7：

某校举行中学生“珍爱地球·

保护家园”的环保知识比赛,比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；

每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为

，且相互间没有影响．

（1）求选手甲进入复赛的概率；

（2）设选手甲在初赛中答题的个数为

，试求

的分布列和数学期望．

若甲能进入复赛，则要答对三道题，但因为答对3题后立即终止比赛，所以要通过最后一次答题正确进入复赛。

答题的次数为3次，4次，5次，答题3次即为全对，答题4次，则要在前3次答对2题，即

，然后第4题正确进入复赛；

同理，答题5次时，要在前4次中答对2题，即

，然后第5题正确。

为“甲进入复赛”

首先甲最少答3题，最多答5题，故

，要注意答题结束分为进入复赛和淘汰两种情况。

当甲答3道题时，可能全对或全错；

同理甲答4道题时，可能3对1错或是3错1对；

当甲答5道题时，只要前4题2对2错，无论第5题结果如何，均答了5道题。

分别计算对应概率即可得到

的分布列，从而计算出

本题的关键在于对独立重复试验模型概率公式的理解：

，是指在

次独立重复试验中，没有其它要求，事件

发生

次的概率。

其中

代表

次中的任意

次试验的结果是

如果对

次试验的结果有一定的要求，则不能使用公式。

例如本题在第

（1）问中处理答题4次的时候，因为要在第4次答题正确，对前3次答题没有要求，所以在前3次试验中可使用公式计算，而第4次要单独列出。

若直接用

则意味着只需4次答题正确3次（不要求是哪3道正确）即可，那么包含着前3次正确的情况，那么按要求就不会进行第4题了。

例8：

甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完

局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为

，乙获胜的概率为