高考数学大一轮复习 第五章 数列课时作业35 理 新人教A版Word下载.docx

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由题得an－an－1＝（）n－1，所以an＝（an－an－1）＋（an－1－an－2）＋…＋（a2－a1）＋a1＝（）n－1＋（）n－2＋…＋＋1＝（1－）．

A

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列的前100项和为（　　）

设等差数列{an}的首项为a1，公差为d.

∵a5＝5，S5＝15，∴

∴∴an＝a1＋（n－1）d＝n.

∴＝＝－，

∴数列的前100项和为

1－＋－＋…＋－＝1－＝.

6．已知函数f（n）＝n2cosnπ，且an＝f（n）＋f（n＋1），则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝（　　）

A．0B．－100

C．100D．10200

f（n）＝n2cosnπ＝＝（－1）n·

n2，

由an＝f（n）＋f（n＋1）＝（－1）n·

n2＋（－1）n＋1·

（n＋1）2＝（－1）n[n2－（n＋1）2]＝（－1）n＋1·

（2n＋1），

得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋（－5）＋7＋（－9）＋…＋199＋（－201）＝50×

（－2）＝－100.

B

二、填空题

7．设Sn＝＋＋＋…＋，若Sn·

Sn＋1＝，则n的值为________．

Sn＝1－＋－＋－＋…＋－

＝1－＝，

∴Sn·

Sn＋1＝·

＝＝，解得n＝6.

6

8．数列，，，，…的前n项和Sn为________．

∵＝1＋，＝2＋，＝3＋，＝4＋，…

∴Sn＝＋＋＋＋…＋（n＋）

＝（1＋2＋3＋…＋n）＋（＋＋＋…＋）

＝＋＝＋1－.

＋1－

9．已知f（x）＝，求f＋f＋…＋f＝

________.

因为f（x）＋f（1－x）＝＋

＝＋＝＋＝1.

所以f＋f＝f＋f＝…＝f＋f＝1.∴f＋f＋…＋f＝5.

5

三、解答题

10．（xx·

安徽卷）数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝（n＋1）an＋n（n＋1），n∈N*.

（1）证明：

数列{}是等差数列；

（2）设bn＝3n·

，求数列{bn}的前n项和Sn.

解：

（1）由已知可得＝＋1，即－＝1

所以{}是以＝1为首项，1为公差的等差数列．

（2）由

（1）得＝1＋（n－1）·

1＝n，所以an＝n2，从而bn＝n·

3n

Sn＝1×

31＋2×

32＋3×

33＋…＋n·

3n　①

3Sn＝1×

32＋2×

33＋3×

34＋…＋（n－1）·

3n＋n·

3n＋1　②

①－②得：

－2Sn＝31＋32＋33＋…＋3n－n·

3n＋1

＝－n·

3n＋1＝

所以Sn＝.

11．（xx·

山东卷）已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（－1）n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋×

2＝2a1＋2，

S4＝4a1＋×

2＝4a1＋12，

由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），

解得a1＝1，所以an＝2n－1.

（2）bn＝（－1）n－1＝（－1）n－1

＝（－1）n－1.

当n为偶数时，Tn＝－＋…＋－＝1－＝.

当n为奇数时，Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.

所以Tn＝

.

1．设等差数列{an}的前n项和是Sn，若－am<

a1<

－am＋1（m∈N*，且m≥2），则必定有（　　）

A．Sm>

0，且Sm＋1<

0B．Sm<

0，且Sm＋1>

C．Sm>

0D．Sm<

∵－am<

－am＋1，∴a1＋am>

0，a1＋am＋1<

0，∴Sm>

0.

2．已知数列{an}：

，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，若bn＝，那么数列{bn}的前n项和Sn为（　　）

an＝＝，

∴bn＝＝＝4（－），

∴Sn＝4[（1－）＋（－）＋…＋（－）]

＝4（1－）＝.

3．数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m，n，都有am＋n＝aman，若Sn<

t恒成立，则实数t的最小值为________．

令m＝1，则＝a1，

∴{an}是以a1为首项，为公比的等比数列．

∴an＝n，

∴Sn＝＝

＝－<

由Sn<

t恒成立，

∴t>

Sn的最大值，可知t的最小值为.

4．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝（n∈N*）．

（1）求证：

是等比数列，并求{an}的通项公式an；

（2）数列{bn}满足bn＝（3n－1）·

·

an，数列{bn}的前n项和为Tn，若不等式（－1）nλ<

Tn＋对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．

（1）由an＋1＝得＝＝1＋，

即＋＝3，又＋＝，

∴是以为首项，3为公比的等比数列，

∴＋＝×

3n－1＝，即an＝.

（2）bn＝，Tn＝1×

＋2×

＋3×

＋…＋（n－1）×

＋n×

，

＝1×

两式相减得＝＋＋＋…＋－n×

＝2－，

∴Tn＝4－，∴（－1）nλ<

4－.

若n为偶数，则λ<

4－，∴λ<

3；

若n为奇数，则－λ<

4－，

∴－λ<

2，∴λ>

－2.∴－2<

λ<

3.

2019-2020年高考数学大一轮复习第五章数列课时作业36理新人教A版

1．已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则b2·

（a1＋a2）＝（　　）

A．20B．30

C．35D．40

∵1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10；

1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×

9＝9，因为b＝b2>

0，所以b2＝3，所以b2·

（a1＋a2）＝30，故选B.

2．已知等比数列{an}中的各项都是正数，且5a1，a3,4a2成等差数列，则＝（　　）

A．－1B．1

C．52nD．52n－1

设等比数列{an}的公比为q（q>

0），则依题意有a3＝5a1＋4a2，即a1q2＝5a1＋4a1q，q2－4q－5＝0，解得q＝－1或q＝5.又q>

0，因此q＝5，所以＝＝q2n＝52n.

3．在直角坐标系中，O是坐标原点，P1（x1，y1），P2（x2，y2）是第一象限的两个点，若1，x1，x2,4依次成等差数列，而1，y1，y2,8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

根据等差、等比数列的性质，可知x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4.∴P1（2,2），P2（3,4）．∴S△OP1P2＝1.

4．已知函数y＝loga（x－1）＋3（a>

0，a≠1）所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于（　　）

由y＝loga（x－1）＋3恒过定点（2,3），即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，∴an＝n，n∈N*.∴bn＝，∴T10＝－＋－＋…＋－＝1－＝.

5．如图所示，矩形AnBnCnDn的一边AnBn在x轴上，另外两个顶点Cn，Dn在函数f（x）＝x＋（x>

0）的图象上．若点Bn的坐标为（n,0）（n≥2，n∈N*），记矩形AnBnCnDn的周长为an，则a2＋a3＋…＋a10＝（　　）

A．208B．216

C．212D．220

由Bn（n,0），得Cn，令x＋＝n＋，即x2－x＋1＝0，得x＝n或x＝，所以Dn，所以矩形AnBnCnDn的周长an＝2＋2＝4n，则a2＋a3＋…＋a10＝4（2＋3＋…＋10）＝216，故选B.

6．对于函数y＝f（x），部分x与y的对应关系如下表：

x

1

2

3

4

7

8

9

y

数列{xn}满足x1＝1，且对任意x∈N*，点（xn，xn＋1）都在函数y＝f（x）的图象上，则x1＋x2＋x3＋x4＋…＋x2013＋x2014的值为（　　）

A．7549B．7545

C．7539D．7535

由已知表格列出点（xn，xn＋1），（1,3），（3,5），（5,6），（6,1），（1,3），…，即x1＝1，x2＝3，x3＝5，x4＝6，x5＝1，…，数列{xn}是周期数列，周期为4,2014＝4×

503＋2，所以x1＋x2＋…＋x2014＝503×

（1＋3＋5＋6）＋1＋3＝7549.

7．数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则数列{bn}的公比为________．

由题意知a＝a1·

a7，即（a1＋2d）2＝a1·

（a1＋6d），∴a1＝2d，∴等比数列{bn}的公比q＝＝＝2.

8．函数y＝x2（x>

0）的图象在点（ak，a）处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.

依题意得，函数y＝x2（x>

0）的图象在点（ak，a）处的切线方程是y－a＝2ak（x－ak）．令y＝0，得x＝ak，即ak＋1＝ak，因此数列{ak}是以16为首项，为公比的等比数列，所以ak＝16·

k－1＝25－k，a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.

21

9．在等差数列{an}中，a2＝5，a6＝21，记数列{}的前n项和为Sn，若S2n＋1－Sn≤对n∈N*恒成立，则正整数m的最小值为________．

由{an}为等差数列，a2＝5，a6＝21得，d＝＝4，an＝5＋4（n－2）＝4n－3，而数列{S2n＋1－Sn}有（S2n＋3－Sn＋1）－（S2n＋1－Sn）＝S2n＋3－S2n＋1＋Sn－Sn＋1＝＋－<

0得{S2n＋1－Sn}单调递减，其最大值为S3－S1＝，即≥得m≥，所以m最小值为5.

10．设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*.

（1）求a1的值；

（2）求数列{an}的通项公式；

（3）证明：

对一切正整数n，有＋＋…＋<

（1）令n＝1代入得a1＝2（负值舍去）．

（2）由S－（n2＋n－3）Sn－3（n2＋n）＝0，n∈N*得[Sn－（n2＋n）]（S