高考数学 解题方法攻略 待定系数法 理Word文档下载推荐.docx

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设所求的直线方程为（x-2y-3）+λ（2x-3y-2）=0，整理，得

依题意，列方程得

于是所求的直线方程为8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0．

【解说】 

（1）本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数．

（2）待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法．

例2 

如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若

系，求曲线C的方程．

如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B为曲线C的端点．

设曲线C的方程为y2=2px，p＞0（x1≤x≤x2，y＞0）．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N

解之，得p=4，x1=1．

故曲线C的方程为y2=8x（1≤x≤4，y＞0）．

（二）探讨二元二次方程（或高次方程）表示的直线的性质

例3 

已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：

（1）直线L1与L2交角的两条角平分线方程；

（2）直线L1与L2的夹角的大小．

设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则

ax2+bxy＋cy2＝（mx+ny）（qx+py）．

从而由待定系数法，得

a＝mq，b＝mp＋nq，c=np．

（1）由点到直线的距离公式，得所求的角平分线方程为

即（m2＋n2）（qx＋py）2=（q2+p2）（mx＋ny）2，

化简、整理，得（nq-mp）[（nq＋mp）x2＋2（np-mq）xy-（nq＋mp）y2]=0．

∵ 

L1、L2是两条不重合的直线

∴b2-4ac＝（mp+nq）2-4mnpq=（mp－nq）2＞0．即 

mp-nq≠0．

从而（nq＋mp）x2＋2（np-mq）xy-（nq+mp）y2=0．

把mq=a，mp+nq=b，np=c代入上式，得bx2+2（c-a）xy-by2＝0．

即为所求的两条角平分线方程．

（2）显然当mq＋np=0，即a+c=0时，直线L1与L2垂直，即夹角为90°

．

当mq＋np≠0即a＋c≠0时，设L1与L2的夹角为α，则

一般地说，研究二元二次（或高次）方程表示的直线的性质，用待定系数法较为简便．

（三）探讨二次曲线的性质

1．证明曲线系过定点

例4 

求证：

不论参数t取什么实数值，曲线系（4t2＋t＋1）x2+（t＋1）y2＋4t（t＋1）y-（109t2＋21t+31）=0都过两个定点，并求这两个定点的坐标．

【证明】 

把原方程整理成参数t的方程，得

（4x2＋4y-109）t2+（x2+y2+4y-21）t+x2＋y2-31=0．

t是任意实数上式都成立，

【解说】 

由本例可总结出，证明含有一个参数t的曲线系F（x，y，t）=0过定点的步骤是：

（1）把F（x，y，t）=0整理成t的方程；

（2）因t是任意实数，所以t的各项系数（包括常数项）都等于零，得x、y的方程组；

（3）解这个方程组，即得定点坐标．

2．求圆系的公切线或公切圆

例5 

求圆系x2＋y2-2（2m＋1）x-2my＋4m2＋4m＋1=0（m≠0）的公切线方程．

将圆系方程整理为

[x-（2m+1）]2＋（y-m）2=m2（m≠0）

显然，平行于y轴的直线都不是圆系的公切线．

设它的公切线方程为y=kx＋b，则由圆心（2m＋1，m）到切线的距离等于半径|m|，得

从而[（1-2k）m-（k＋b）]2＝m2（1＋k2），

整理成m的方程，得（3k2-4k）m2-2（1-2k）（k+b）m+（k+b）2=0．

m取零以外的任意实数上式都成立，

由本例可总结出求圆系F（x，y，m）=0的公切线方程的步骤是：

（1）把圆系方程化为标准方程，求出圆心和半径；

（2）当公切线的斜率存在时，设其方程为y=kx＋b，利用圆心到切线的距离等于半径，求出k、b、m的关系式f（k，b，m）=0；

（3）把f（k，b，m）=0整理成参数m的方程G（m）=0．由于m∈R，从而可得m的各项系数（包括常数项）都等于零，得k、b的方程组；

（4）解这个方程组，求出k、b的值；

（5）用同样的方法，可求出x=a型的公切线方程．

3．化简二元二次方程

例6 

求曲线9x2＋4y2＋18x-16y-11=0的焦点和准线．

【分析】 

把平移公式x=x′＋h，y=y′＋k，代入原方程化简．

（略）．

例7．已知函数y＝

的最大值为7，最小值为－1，求此函数式。

【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数m、n的值；

已知最大值、最小值实际是就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。

【解】函数式变形为：

（y－m）x

－4

x＋（y－n）＝0，x∈R,由已知得y－m≠0

∴△＝（－4

）

－4（y－m）（y－n）≥0即：

y

－（m＋n）y＋（mn－12）≤0①

不等式①的解集为（-1,7），则－1、7是方程y

－（m＋n）y＋（mn－12）＝0的两根，

代入两根得：

解得：

或

∴y＝

或者y＝

此题也可由解集（-1,7）而设（y＋1）（y－7）≤0,即y

－6y－7≤0，然后与不等式①比较系数而得：

，解出m、n而求得函数式y。

【注】在所求函数式中有两个系数m、n需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问题，得到了含参数m、n的关于y的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数m、n。

两种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出m、n的方程求解；

二是由已知解集写出不等式，比较含参数的不等式而列出m、n的方程组求解。

本题要求对一元二次不等式的解集概念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：

将y视为参数，函数式化成含参数y的关于x的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数y的不等式，解出y的范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。

例8.设椭圆中心在（2,-1），它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较近的端点距离是

－

，求椭圆的方程。

【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据a、b、c之值，问题就全部解决了。

设a、b、c后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一个方程，再将焦点与长轴较近端点的距离转化为a－c的值后列出第二个方程。

【解】设椭圆长轴2a、短轴2b、焦距2c，则|BF’|＝a

∴

∴所求椭圆方程是：

＋

＝1

也可有垂直关系推证出等腰Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰Rt△B’O’F’，再进行如下列式：

，更容易求出a、b的值。

【注】圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；

如何确定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。

在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变，本题就利用了这一特征，列出关于a－c的等式。

一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：

设方程（或几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。

例9.是否存在常数a、b、c，使得等式1·

2

＋2·

3

＋…＋n（n＋1）

＝

（an

＋bn＋c）对一切自然数n都成立？

并证明你的结论。

（89年全国高考题）

【分析】是否存在，不妨假设存在。

由已知等式对一切自然数n都成立，取特殊值n＝1、2、3列出关于a、b、c的方程组，解方程组求出a、b、c的值，再用数学归纳法证明等式对所有自然数n都成立。

【解】假设存在a、b、c使得等式成立，令：

n＝1，得4＝

（a＋b＋c）；

n＝2，得22＝

（4a＋2b＋c）；

n＝3，得70＝9a＋3b＋c。

整理得：

解得

，

于是对n＝1、2、3，等式1·

（3n

＋11n＋10）成立，下面用数学归纳法证明对任意自然数n，该等式都成立：

假设对n＝k时等式成立，即1·

＋…＋k（k＋1）

（3k

＋11k＋10）；

当n＝k＋1时，1·

＋（k＋1）（k＋2）

＋11k＋10）＋（k＋1）（k＋2）

（k＋2）（3k＋5）＋（k＋1）（k＋2）

＋5k＋12k＋24）＝

[3（k＋1）

＋11（k＋1）＋10]，

也就是说，等式对n＝k＋1也成立。

综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。

【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。

此种解法中，也体现了方程思想和特殊值法。

对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后归纳证明的步骤进行。

本题如果记得两个特殊数列1

＋2

＋…＋n

、1

求和的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：

由n（n＋1）

＝n

＋2n

＋n得S

＝1·

＝（1

）＋2（1

）＋（1＋2＋…＋n）＝

＋2×

＋11n＋10），综上所述，当a＝8、b＝11、c＝10时，题设的等式对一切自然数n都成立。

例10.有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？

【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。

【解】依题意，矩形盒子底边边长为（30－2x）cm，底边宽为（14－2x）cm，高为xcm。

∴盒子容积V＝（30－2x）（14－2x）x＝4（15－x）（7－x）x，

显然:

15－x>

0，7－x>

0，x>

0。

设V＝

（15a－ax）（7b－bx）x（a>

0,b>

0）

要使用均值不等式，则

解得：

a＝

，b＝

，x＝3。

从而V＝