学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修5讲义第三章 34 基本不等式Word文档下载推荐.docx

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（3）若a>

0，b>

0，则ab≤2（　　）

解析：

（1）错误．任意a，b∈R，有a2＋b2≥2ab成立，当a，b都为正数时，不等式a＋b≥2成立．

（2）错误．只有当a>

0时，根据基本不等式，才有不等式a＋≥2＝4成立．

（3）正确．因为≤，所以ab≤2.

答案：

（1）×

（2）×

　（3）√

2．若a＞b＞0，则下列不等式成立的是（　　）

A．a＞b＞＞

B．a＞＞＞b

C．a＞＞b＞

D．a＞＞＞b

选B　a＝＞＞＞＝b，因此B项正确．

3．若x>

0，则x＋＋2有（　　）

A．最小值6　　　　　　　B．最小值8

C．最大值8D．最大值3

选B　由x＋＋2≥2＋2＝8（当且仅当x＝，即x＝3时，取等号），故选B.

4．利用基本不等式求最值，下列运用正确的是（　　）

A．y＝|x|2＋≥2＝4≥0

B．y＝sinx＋≥2＝4（x为锐角）

C．已知ab≠0，＋≥2＝2

D．y＝3x＋≥2＝4

选D　在A中，4不是常数，故A选项错误；

在B中，sinx＝时无解，y取不到最小值4，故B选项错误；

在C中，，未必为正，故C选项错误；

在D中，3x，均为正，且3x＝时，y取最小值4，故D选项正确．

利用基本不等式比较大小

[典例]　

（1）已知m＝a＋（a>

2），n＝22－b2（b≠0），则m，n之间的大小关系是（　　）

A．m>

n　　　　　　　　B．m<

n

C．m＝nD．不确定

（2）若a>

b>

1，P＝，Q＝（lga＋lgb），R＝lg，则P，Q，R的大小关系是________．

[解析]　

（1）因为a>

2，所以a－2>

0，又因为m＝a＋＝（a－2）＋＋2，所以m≥2＋2＝4，由b≠0，得b2≠0，所以2－b2<

2，n＝22－b2<

4，综上可知m>

n.

（2）因为a>

1，所以lga>

lgb>

0，

所以Q＝（lga＋lgb）>

＝P；

Q＝（lga＋lgb）＝lg＋lg＝lg<

lg＝R.

所以P<

Q<

R.

[答案]　

（1）A　

（2）P<

R

利用基本不等式比较实数大小的注意事项

（1）利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式（和与积），同时要注意结合函数的性质（单调性）．

（2）利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>

0.　　　　　　

[活学活用]

　已知a，b，c都是非负实数，试比较＋＋与（a＋b＋c）的大小．

解：

因为a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥（a＋b）2，

所以≥（a＋b），

同理≥（b＋c）,≥（c＋a），

所以＋＋≥[（a＋b）＋（b＋c）＋（c＋a）]，

即＋＋≥（a＋b＋c），当且仅当a＝b＝c时，等号成立.

利用基本不等式证明不等式

[典例]　已知a，b，c均为正实数，求证：

＋＋≥3.

[证明]　∵a，b，c均为正实数，

∴＋≥2（当且仅当a＝2b时等号成立），

＋≥2（当且仅当a＝3c时等号成立），

＋≥2（当且仅当2b＝3c时等号成立），

将上述三式相加得＋＋≥6（当且仅当a＝2b＝3c时等号成立），

∴＋＋≥3（当且仅当a＝2b＝3c时等号成立），

即＋＋≥3（当且仅当a＝2b＝3c时等号成立）．

利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项

（1）策略：

从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

（2）注意事项：

①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；

②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；

③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型再使用．　　　　　　

　已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，求证：

≥8.

证明：

因为a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，

所以－1＝＝≥.

同理，－1≥，－1≥.

上述三个不等式两边均为正，

相乘得≥·

·

＝8，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号.

利用基本不等式求最值

[典例]　

（1）已知lga＋lgb＝2，求a＋b的最小值．

（2）已知x＞0，y＞0，且2x＋3y＝6，求xy的最大值．

（3）已知x＞0，y＞0，＋＝1，求x＋y的最小值．

[解]　

（1）由lga＋lgb＝2可得lgab＝2，

即ab＝100，且a＞0，b＞0，

因此由基本不等式可得a＋b≥2＝2＝20，

当且仅当a＝b＝10时，a＋b取到最小值20.

（2）∵x＞0，y＞0,2x＋3y＝6，

∴xy＝（2x·

3y）≤·

2

＝·

2＝，

当且仅当2x＝3y，

即x＝，y＝1时，xy取到最大值.

（3）∵＋＝1，

∴x＋y＝（x＋y）·

＝1＋＋＋9＝＋＋10，

又∵x＞0，y＞0，

∴＋＋10≥2＋10＝16，

当且仅当＝，即y＝3x时，等号成立．

由得

即当x＝4，y＝12时，x＋y取得最小值16.

（1）应用基本不等式需注意三个条件：

即一正、二定、三相等．在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧．因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键．

（2）常用构造定值条件的技巧变换：

①加项变换；

②拆项变换；

③统一变元；

④平方后利用基本不等式．

（3）对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用．　　　　　　

1．已知a>

0，＋＝，若不等式2a＋b≥9m恒成立，则m的最大值为（　　）

A．8B．7

C．6D．5

选C　由已知，可得6＝1，∴2a＋b＝6·

（2a＋b）＝6≥6×

（5＋4）＝54，当且仅当＝时等号成立，∴9m≤54，即m≤6，故选C.

2．设a>

0，则a2＋＋的最小值是（　　）

A．1B．2

C．3D．4

选D　因为a>

0，所以a－b>

所以a2＋＋

＝a（a－b）＋＋ab＋

≥2＋2＝4，

当且仅当a（a－b）＝且ab＝，

即a＝，b＝时等号成立.

利用基本不等式解应用题

[典例]　某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：

（1）仓库面积S的最大允许值是多少？

（2）为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

[解]　

（1）设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为S＝xy，依题意得，40x＋2×

45y＋20xy＝3200，

由基本不等式得

3200≥2＋20xy

＝120＋20xy，

＝120＋20S.

所以S＋6－160≤0，即（－10）（＋16）≤0，

故≤10，从而S≤100，

所以S的最大允许值是100平方米，

（2）取得最大值的条件是40x＝90y且xy＝100，

求得x＝15，即铁栅的长是15米．

求实际问题中最值的解题4步骤

（1）先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式．

（2）把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题．

（3）在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑基本不等式，当基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性．

（4）正确写出答案．　　　　　　

　某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y（单位：

万元）与机器运转时间x（单位：

年）的关系为y＝－x2＋18x－25（x∈N*），求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少．

每台机器运转x年的年平均利润为＝18－，而x>

0，故≤18－2＝8，

当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．

故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元．

层级一　学业水平达标

1．下列结论正确的是（　　）

A．当x>

0且x≠1时，lgx＋≥2

B．当x>

0时，＋≥2

C．当x≥2时，x＋的最小值为2

D．当0<

x≤2时，x－无最大值

选B　A中，当0<

x<

1时，lgx<

0，lgx＋≥2不成立；

由基本不等式知B正确；

C中，由对勾函数的单调性，知x＋的最小值为；

D中，由函数f（x）＝x－在区间（0,2]上单调递增，知x－的最大值为，故选B.

2．下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（　　）

A．lg（x2＋1）≥lg（2x）　　　B．x2＋1>

2x

C.≤1D．x＋≥2

选C　对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；

对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；

对于D，当x<

0时，不成立．对于C，x2＋1≥1，∴≤1成立．故选C.

3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则下列各式中正确的一个是（　　）

A.＋<

1B.＋≥1

C.＋<

2D.＋≥2

选B　因为ab≤2≤2＝4，所以＋≥2≥2＝1.

4．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则（　　）

A.>

B.<

C.＝D.≤

选A　因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，所以b＋c>

2，故>

.

5．若x>

0，y>

0，且＋＝1，则xy有（　　）

A．最大值64B．最小值

C．最小值D．最小值64

选D　由题意xy＝xy＝2y＋8x≥2＝8，∴≥8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x＝4，y＝16.

6．若a>

0，且＋＝，则a3＋b3的最小值为________．

∵a>

0，∴＝＋≥2，即ab≥2，当且仅当a＝b＝时取等号，∴a3＋b3≥2≥2＝4，当且仅当a＝b＝时取等号，则a3＋b3的最小值为4.

4

7．已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．

由题意得，y＝，

∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，

当且仅当x＝y＝1时，等号成立．

3

8．若对任意x>

0，≤a恒成立，则a的取值范围是________．

因为x>

0，所以x＋≥2.当且仅当x＝1时取等号，

所以有＝≤＝，

即的最大值为，故a≥.

9．

（1）已知x<

3，求f（x）＝＋x的最大值；

（2）已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求＋的最小值．

（1）∵x<

3，

∴x－3