中考数学专题复习易错疑难解析第八章四边形Word格式.docx

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中考数学专题复习易错疑难解析第八章四边形Word格式.docx

(2013江苏扬州,6,3分)一个多边形的每个内角均为108°

,则这个多边形是().

A.七边形B.六边形C.五边形D.四边形

【答案】C.

【解析】根据多边形的内角和公式可知,这个n边形满足:

(n-2)×

180=108n.解得n=5.所以应选C.

【方法指导】多边形的内角和公式:

.每个内角相等的多边形是正多边形.

【易错警示】记不住多边形的内角和公式而出错.

易错点二:

平行四边形的判定等概念问题要注意“抠字眼”

【例题2】

(四川中考)不能判定一个四边形是平行四边形的条件是(  )

A.两组对边分别平行

B.一组对边平行,另一组对边相等

C.一组对边平行且相等的

D.两组对边分别相等

【错解】A或C或D

【错因】对于判定定理:

“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”,应用时要注意必须是“一组”,而“一组对边平行,另一组对边相等”的四边形不一定是平行四边形,如等腰梯形.

【正解】B

1.(2016·

四川内江)下列命题中,真命题是()

A.对角线相等的四边形是矩形

B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形

D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形

[答案]C

[考点]特殊四边形的判定。

[解析]满足选项A或选项B中的条件时,不能推出四边形是平行四边形,因此它们都是假命题.由选项D中的条件只能推出四边形是菱形,因此也是假例题.只有选项C中的命题是真命题.

故选C.

2.(2016•内江)下列命题中,真命题是(  )

【分析】A、根据矩形的定义作出判断;

B、根据菱形的性质作出判断;

C、根据平行四边形的判定定理作出判断;

D、根据正方形的判定定理作出判断.

【解答】解:

A、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形;

故本选项错误;

B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形;

C、对角线互相平分的四边形是平行四边形;

故本选项正确;

D、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形;

【点评】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定.解答此题时,必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系.

易错点三:

特殊平行四边形判定错误诊断

【例题3】

(广州中考)在平面中,下列命题为真命题的是(  )

A.四边相等的四边形是正方形

B.对角线相等的四边形是菱形

C.四个角相等的四边形是矩形

D.对角线互相垂直的四边形是平行四边形

【错解】A或B或D

【错因】A.四边相等的四边形不一定是正方形,

例如菱形,故此选项错误;

B.对角线相等的四边形不是菱形,例如矩形,

等腰梯形,故此选项错误;

C.四个角相等的四边形是矩形,故此选项正确;

D.对角线互相垂直的四边形不一定是平行四边形,如答图所示,故此选项错误.

【正解】C

(2016河北3分)关于

ABCD的叙述,正确的是()

A.若AB⊥BC,则

ABCD是菱形

B.若AC⊥BD,则

ABCD是正方形

C.若AC=BD,则

ABCD是矩形

D.若AB=AD,则

答案:

B

解析:

A项应是矩形;

B项应是菱形;

D项应是菱形。

知识点:

矩形的判定:

先判断是平行四边形,再利用对角线相等或者有一个角是直角判定。

菱形的判定:

先判断是平行四边形,再利用对角线垂直或一组相邻的边相等判定。

正方形的判定:

①先确定是矩形,再证明对角线垂直或邻边相等;

②先确定是菱形,再证明有个角是直角或者对角线相等。

【疑难解析】

疑难类型之一:

多边形的转化

【例题】[2014·

内江]如图26-3,点M,N分别是正五边形ABCDE的边BC,CD上的点,且BM=CN,AM交BN于点P.

(1)求证:

△ABM≌△BCN;

(2)求∠APN的度数.

解:

(1)证明:

∵五边形ABCDE是正五边形,∴AB=BC,∠ABM=∠BCN,

在△ABM和△BCN中,

∴△ABM≌△BCN(SAS);

(2)∵△ABM≌△BCN,

∴∠MBP=∠BAP,

∵∠MBP+∠BMP+∠BPM=180°

∠BAP+∠BMA+∠MBA=180°

∴∠BPM=∠MBA,

∵∠BPM=∠APN,

∴∠APN=∠MBA=

=108°

.

【真题链接】

链接1:

如图26-4中图①,②,③,点E,D分别是正△ABC,正四边形ABCM,正五边形ABCMN中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,DB交AE于P点.

(1)求图①中∠APD的度数;

(2)图②中,∠APD的度数为_________,图③中,∠APD的度数为___________;

(3)根据前面的探索,你能否将本题的情况推广到一般的正n边形.若能,写出推广的问题和结论;

若不能,请说明理由.

【解析】 因为正多边形的各边都相等,各角也都相等,所以通过证明两三角形全等得到相等的角,为角与角之间的转化提供条件.

(1)∵△ABC是等边三角形,

∴AB=BC,∠ABE=∠BCD=60°

∵BE=CD,∴△ABE≌△BCD,

∴∠BAE=∠CBD,∴∠APD=∠ABP+∠BAE=∠ABP+∠CBD=∠ABE=60°

(3)能.点E,D分别是正n边形ABCM…中以C点为顶点的相邻两边上的点,且BE=CD,BD与AE交于点P,则∠APD的度数为

【点悟】 把多边形转化为三角形是解决多边形问题的重要思想方法.

疑难类型之二:

平行四边形的开放与探究

【例题】[2016·

中考预测]如图27-12,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,在①AB∥CD;

②AO=CO;

③AD=BC中任意选取两个作为条件,

“四边形ABCD是平行四边形”为结论构成命题.

(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?

若是,请证明;

若不是,请举出反例;

(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明.(命题请写成“如果……,那么……”的形式)

(1)是真命题.

证明:

∵AB∥CD,

∴∠ABO=∠CDO.

又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,

∴△ABO≌△CDO,∴AB=CD,

∴四边形ABCD是平行四边形;

(2)假命题:

①四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形;

②四边形ABCD中,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.

反例:

如答图①,四边形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形;

如答图②,四边形ABCD中,AO=CO,AD=BC,但四边形ABCD不是平行四边形.

链接2:

如图,请在下列四个关系中,选出两个恰当的关系作为条件,推出四边形ABCD是平行四边形,并予以证明.(写出一种即可)

关系:

①AD∥BC,②AB=CD,③∠A=∠C,④∠B+∠C=180°

.

已知:

在四边形ABCD中,________,________.

求证:

四边形ABCD是平行四边形.

【解析】 选用的条件应符合平行四边形的定义或判定定理所具备的条件.

解:

答案不唯一,如:

已知,在四边形ABCD中,①AD∥BC,③∠A=∠C.

证明:

∵AD∥BC,∴∠A+∠B=180°

∵∠A=∠C,∴∠B+∠C=180°

∴AB∥CD,∴四边形ABCD是平行四边形.

【点悟】 熟练掌握平行四边形的判定是解决此类问题的关键.

疑难类型之三:

平行四边形的折叠问题

成都]如图28-11,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°

,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A′MN,连结A′C,则A′C长度的最小值是________.

【解析】 如答图所示,∵MA′是定值,

A′C长度最小时,A′在MC上,

过点M作MF⊥DC于点F,

∵在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°

∴CD=2,∠ADC=120°

∴∠FDM=60°

,∠FMD=30°

∴FD=

MD=

∴FM=DM×

cos30°

∴MC=

∴A′C=MC-MA′=

-1.

故答案为

链接3:

[2014·

上海]如图28-15,已知在矩形ABCD中,点E在边BC上,BE=2CE,将矩形沿着过点E的直线翻折后,点C,D分别落在边BC下方的点C′,D′处,且点C′,D′,B在同一条直线上,折痕与边AD交于点F,D′F与BE交于点G.设AB=t,那么△EFG的周长为________(用含t的代数式表示).

【解析】 由翻折的性质得,CE=C′E,

∵BE=2CE,∴BE=2C′E,

又∵∠C′=∠C=90°

∴∠EBC′=30°

∵∠FD′C′=∠D=90°

∴∠BGD′=60°

∴∠FGE=∠BGD′=60°

∵AD∥BC,

∴∠AFG=∠FGE=60°

∴∠EFG=

(180°

-∠AFG)=

-60°

)=60°

∴△EFG是等边三角形,

∵AB=t,

∴EF=t÷

t,

∴△EFG的周长=3×

t=2

t.

故答案为2

【点评】 折叠的实质是轴对称,折叠前后对应部分重合,即对应角相等,对应边相等,对应图形全等.

【难点突破】

1.(2016·

黑龙江齐齐哈尔·

3分)下列命题中,真命题的个数是(  )

①同位角相等

②经过一点有且只有一条直线与这条直线平行

③长度相等的弧是等弧

④顺次连接菱形各边中点得到的四边形是矩形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.(2016贵州毕节3分)如图,正方形ABCD的边长为9,将正方形折叠,使顶点D落在BC边上的点E处,折痕为GH.若BE:

EC=2:

1,则线段CH

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