不等式证明的若干种方法毕业设计Word格式.docx

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4利用柯西不等式证明15

5利用均值不等式证明16

6利用施瓦茨不等式证明17

7利用中值定理法证明不等式18

7.1拉格朗日中值定理：

18

7.2积分第一中值定理：

8利用詹森不等式证明19

致谢20

参考文献21

1前言

不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大，所以怎样区分题目类型，弄清每种证明方法所适用的题型范围，是学生掌握不等式证明的关键所在。

解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本的不等式，灵活运用常用和特殊的证明方法。

不等式是数学的基本内容之一，它是研究许多数学分支的重要工具，在数学中有重要的地位，也是高中数学的重要组成部分，在高考和竞赛中都有举足轻重的地位。

不等式的证明变化大，技巧性强，它不仅能够检验学生数学基础知识的掌握程度，而且是衡量学生数学水平的一个重要标志。

2利用常用方法证明不等式

2.1比较法

所谓比较法，就是通过两个实数与的差或商的符号（范围）确定与大小关系的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。

即通过“，，（为作差法）或，，（为作商法）。

”来确定，大小关系的方法。

例已知：

，，求证：

.

分析：

两个多项式的大小比较可用作差法

证明，

故得.

故原不等式成立。

例设，求证：

对于含有幂指数类的用作商法

证明因为，所以，.

而，故．

故原不等式成立。

2.2综合法

综合法就是从已知式证明过的不等式出发，根据不等式的性质推出欲证的不等式，通过一系列已确定的命题（包含不等式的性质，已掌握的重要不等式）逐步推演，从而得到所要求证的不等式成立，这种方法叫做综合法。

例已知且求证：

．

证：

所以

两边同时乘得

即．

2.3分析法

从求证的不等式出发分析不等式成立的条件，把证明这个不等式转化为判定使这个不等式成立的条件是否具备的问题。

如果能够肯定这些条件都以具备，那么就可以判定这个不等式成立，这种证明方法叫做分析法。

例求证：

证即：

因为

因为为了证明原不等式成立，只需证明

即即即

2.4换元法

换元法实质上就是变量代换法，即对所证不等式的题设和结论中的字母作适当的变换，以达到化难为易的目的。

例－1≤－x≤．

证明：

∵1－x≥0，∴－1≤x≤1，故可设x=cos，其中0≤≤．

则－x=－cos=sin－cos=sin（－），∵－≤－≤，∴－1≤sin（－）≤，即－1≤－x≤．

2.5增量代换法

在对称式（任意互换两个字母，代数式不变）和给定字母顺序（如a＞b＞c）的不等式，常用增量进行代换，代换的目的是减少变量的个数，使要证的结论更清晰，思路更直观，这样可以使问题化难为易，化繁为简。

例已知a，bR，且a＋b=1，求证：

（a＋2）＋（b＋2）≥．

∵a，bR，且a＋b=1，∴设a=＋t，b=－t，（tR）

则（a＋2）＋（b＋2）=（＋t＋2）＋（－t＋2）=（t＋）＋（t－）=2t＋≥．

∴（a＋2）＋（b＋2）≥．

2.6反证法

反证法的原理是：

否定之否定等于肯定。

反证法的思路是“假设矛盾肯定”，采用反证法时，应从与结论相反的假设出发，推出矛盾的过程中，每一步推理必须是正确的。

例已知求证：

假设成立则．

即　．

．．

由此得，这是不可能的，得出矛盾。

2.7放缩法

放缩法是证明不等式的一种特殊的方法。

从不等式的一边入手，逐渐放大或缩小不等式，直到不等式的另一边，这种方法叫做放缩法。

有．

所以．

2.8构造法

构造法是通过类比、联想、转化，合理的构造函数模型，从而使问题迎刃而解。

过程简单，一目了然。

例已知三角形ABC的三边长是a,b,c,且m为正数，求证：

证明：

设显然函数在是增函数。

a,b,c是三角形ABC的三边长.

，，即，

又．

2.9数学归纳法

　证明有关自然数的不等式，可以采用数学归纳法来证明。

1.验证取第一个数值时，不等式成立，

2.假设取某一自然数时，不等式成立。

（归纳假设），由此

推演出取时，此不等式成立。

证：

（1）当时，左边=1，右边=2不等式显然成立。

（2）假设时，．则时，

左边=．

=．时不等式也成立.

判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程，一元二次不等式，二次函数的根，函数解集的性质等特征来确定判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方程。

例设，求证：

因为的系数为，．

2.11导数法

当属于某个区间，有，则单调递增；

若，则单调递减.推广之，若证，只须证及即可.

例证明不等，

证明设则故当时，递增；

当递减.

则当时，

从而证得

2.12利用幂级数展开式证明不等式

例当，证明.

因，分别可写成幂级数展开式：

=

=,;

=,.

则要证不等式左边的一般项为，右边的一般项为，因此当，，有.所以，.

2.13向量法

利用向量的数量积及不等式关系

例已知a、b、c都是正实数，求证．

设，，则

．

2.14利用定积分性质证明不等式

对可积函数，，若，则．

例证明：

证明当时，，，则，因在（1,2）上均为连续函数。

则在（1,2）均可导，由定积分性质可知

3利用函数的性质证明不等式

设，和为增函数，满足，，证明：

，利用复合函数及其单调性质。

因对于任意的，有，且，和均为增函数，所以有　．

4利用柯西不等式证明

设均为实数，则，当且仅当时成立.

例15若，求证．

　证明：

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝

　　　　　　　　当时等号成立。

　　　　故原不等式成立。

5利用均值不等式证明

均值不等式公式：

①，（当且仅当时取“”）；

②，（当且仅当时取“”）。

均值不等式是高考中一个重要知识点，其变形多，约束条件“苛刻“（一正、二定，三相等）。

例已知a，b，c为不全相等的正数，求证：

a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）>

6abc.

观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。

证明:

∵b2+c2≥2bc,a>

0,∴a（b2+c2）≥2abc

同理，b（c2+a2）≥2bac,c（a2+b2）≥2cab,

又因为a，b，c不全相等，

所以上述三个不等式中等号不能同时成立，

因此　．

例若，求证：

．又．

当且仅当，即时等号成立．

6利用施瓦茨不等式证明

施瓦茨不等式：

若和在上可积，则

若在上可积，则．

根据施瓦茨不等式有：

．

7利用中值定理法证明不等式

7.1拉格朗日中值定理

若函数满足如下条件：

（1）在闭区间上连续

（2）在开区间（）内可导，则在（）内至少存在一点，使得．

，其中．

设，显然在上满足拉格朗日中值定理的条件，且，故，使．

即而，故有．

7.2积分第一中值定理

若在上连续，则至少存在一点，使得

在上，，且函数不恒等于1和，所以有

8利用詹森不等式证明

詹森不等式：

若为上凸函数，则对任意，有．

不等式,其中，，均为正数

设，，由的一阶和二阶导数，可见，在时为严格凸函数，依詹森不等式有：

　　　　　．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

从而　　　．

即，又因，再两边同乘以次方得

总之，不等式的证明方法有很多，我们应该在教学和学习中努力将这些好的方法发扬光大，使我们的教学和学习更加轻松。

致谢

踉踉跄跄地忙碌了两个多月，我的毕业设计课题将告一段落了。

我从中明白了做每一件事，不必过于在乎最终的结果，可贵的是在做事过程中的收获。

毕业设计，也许是我大学生涯交上的最后一个作业。

我想借此机会感谢四年来给我帮助的所有老师、同学、家人、亲戚，和你们之间的友谊是我人生的财富，是我生命中不可或缺的一部分。

我的毕业指导老师莎仁格日勒老师，她以一位长辈的风范来容谅我的无知和冲动，给我不厌其烦的指导。

在此，要特别向她道声谢谢。

大学生活即将过去，但我却能无悔地说：

“我曾经来过。

”大学四年，但它给我的影响却不能用时间来衡量，这四年来，我经历过的所有事，结交的所有人，都将是我以后生活中回味一辈子的宝贵精神财富，也是日后我为人处事的指南针。

就要离开学校，走上工作岗位了，这将是我人生历程的又一个起点，在这里深深祝福大学里跟我风雨同舟的朋友们，祝你们幸福。

也祝愿学校的每一位师长都幸福快乐。

参考文献

[1]段志强.一个不等式的妙用[J].数学通讯,2004,（17）.

[2]佟成军.一个不等式的加强及证明[J].数学通讯,2006,（07）.

[3]曾峰.一个不等式的证明及应用[J].中学课程辅导（初二版）,2005,（02）.

[4]黄长风.联想证明不等式[J].数学教学研究,2005,（03）.

[5]李歆.不等式的几个推论及应用[J].中学生数学,2005,（05）.

[6]方辉.浅谈哥西不等式的应用[J].黄山学院学报,1997,（01）.

[7]高尚华.数学分析[J].高等教育出版社.2001,（6）.