高中数学必修四全套知识点+练习题及答案解析Word文件下载.docx
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正弦与余弦互换，符号看象限．
13、①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；
再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
②数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数
的图象；
再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；
14、函数的性质：
振幅：
周期：
频率：
相位：
初相：
．
函数，当时，取得最小值为；
当时，取得最大值为，则，，．
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
y=cotx
图象
定义域
值域
最值
当时，；
当
时，．
当时，
当
既无最大值也无最小值
周期性
奇偶性
奇函数
偶函数
单调性
在
上是增函数；
上是减函数．
在上是增函数；
上是增函数．
对称性
对称中心
对称轴
无对称轴
第二章平面向量
16、向量：
既有大小，又有方向的量．数量：
只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：
起点、方向、长度．零向量：
长度为的向量．
单位向量：
长度等于个单位的向量．
平行向量（共线向量）：
方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．
相等向量：
长度相等且方向相同的向量．
17、向量加法运算：
三角形法则的特点：
首尾相连．
平行四边形法则的特点：
共起点．
三角形不等式：
运算性质：
交换律：
结合律：
．
坐标运算：
设，，则．
18、向量减法运算：
共起点，连终点，方向指向被减向量．
设、两点的坐标分别为，，则．
19、向量数乘运算：
实数与向量的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作．
当时，的方向与的方向相同；
当时，的方向与的方向相反；
当时，．
运算律：
；
设，则．
20、向量共线定理：
向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使．
设，，其中，则当且仅当时，向量、共线．
21、平面向量基本定理：
如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使．（不共线的向量、作为这一平面内所有向量的一组基底）
22、分点坐标公式：
设点是线段上的一点，、的坐标分别是，，当时，点的坐标是．（当
23、平面向量的数量积：
．零向量与任一向量的数量积为．
性质：
设和都是非零向量，则．当与同向时，；
当与反向时，；
或．．
设两个非零向量，，则．
若，则，或．设，，则．
设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．
知识链接：
空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得.下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行总结归纳.
1、直线的方向向量和平面的法向量
⑴．直线的方向向量：
若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；
与平行的任意非零向量也是直线的方向向量.
⑵．平面的法向量：
若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量.
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法）：
①建立适当的坐标系．
②设平面的法向量为．
③求出平面内两个不共线向量的坐标．
④根据法向量定义建立方程组.
⑤解方程组，取其中一组解，即得平面的法向量.
（如图）
1、用向量方法判定空间中的平行关系
⑴线线平行
设直线的方向向量分别是，则要证明∥，只需证明∥，即.
即：
两直线平行或重合两直线的方向向量共线。
⑵线面平行
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明∥，只需证明，即.
即：
直线与平面平行直线的方向向量与该平面的法向量垂直且直线在平面外
②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可.
⑶面面平行
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证∥，只需证∥，即证.
两平面平行或重合两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
⑴线线垂直
设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即.
两直线垂直两直线的方向向量垂直。
⑵线面垂直
①（法一）设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明∥，即.
②（法二）设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若
直线与平面垂直直线的方向向量与平面的法向量共线直线的方向向量与平面内两条不共线直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面的法向量为，平面的法向量为，要证，只需证，即证.
即：
两平面垂直两平面的法向量垂直。
4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，
则
⑵求直线和平面所成的角
①定义：
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
②求法：
设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为，与的夹角为， 则为的余角或的补角
的余角.即有：
⑶求二面角
①定义：
平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做半平面；
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角的棱上任取一点O，分别在两个半平面内作射线，则为二面角的平面角.
如图：
设二面角的两个半平面的法向量分别为，再设的夹角为，二面角的平面角为，则二面角为的夹角或其补角
根据具体图形确定是锐角或是钝角：
◆如果是锐角，则，
即；
◆如果是钝角，则，
即.
5、利用法向量求空间距离
⑴点Q到直线距离
若Q为直线外的一点,在直线上，为直线的方向向量，=，则点Q到直线距离为
⑵点A到平面的距离
若点P为平面外一点，点M为平面内任一点，
平面的法向量为，则P到平面的距离就等于在法向量方向上的投影的绝对值.
即
⑶直线与平面之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平面的距离相等。
由此可知，直线到平面的距离可转化为求直线上任一点到平面的距离，即转化为点面距离。
即
⑷两平行平面之间的距离
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平面间的距离转化为求点面距离。
⑸异面直线间的距离
设向量与两异面直线都垂直，则两异面直线间的距离就是在向量方向上投影的绝对值。
6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理：
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
推理模式：
概括为：
垂直于射影就垂直于斜线.
⑵三垂线定理的逆定理：
在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直
垂直于斜线就垂直于射影.
7、三余弦定理
设AC是平面内的任一条直线，AD是的一条斜线AB在内的射影，且BD⊥AD，垂足为D.设AB与（AD）所成的角为，AD与AC所成的角为，AB与AC所成的角为．则.
8、面积射影定理
已知平面内一个多边形的面积为，它在平面内的射影图形的面积为，平面与平面所成的二面角的大小为锐二面角，则
9、一个结论
长度为的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为，夹角分别为,则有.
（立体几何中长方体对角线长的公式是其特例）.
第三章三角恒等变换
24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
（）；
（）．
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
升幂公式
降幂公式，．
26、
27、
（后两个不用判断符号，更加好用）
28、合一变形把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的形式。
，其中．
29、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：
（1）角的变换：
在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：
①是的二倍；
是的二倍；
②；
问：
③；
④；
⑤；
等等
（2）函数名称变换：
三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。
如在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。
（3）常数代换：
在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有：
（4）幂的变换：
降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法。
常用降幂公式有：
。
降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式常用升幂化为有理式，常用升幂公式有：
（5）公式变形：
三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。
如：
=；
（其中；
）
（6）三角函数式的化简运算通常从：
“角、名、形、幂”四方面入手；
基本规则是：
见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。
如：
第二部分全套练习+答案解析
1．sin150°
的值等于（）．
A．B．－C．D．－
解析：
sin150°
＝sin30°
＝．
答案：
A
2．已知＝（3，0），那么等于（）．
A．2B．3C．4D．5
＝＝3．
．B
3．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是（）．
A．B．C．D．
在直角坐标系中作出－由其终边即知．
．C
4．若cos＞0，sin＜0，则角的终边在（）．
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
由cos＞0知
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