整数矩阵的初等变换在初等数论中的应用.doc
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学士学位论文
BACHELOR’STHESIS
编号
学士学位论文
整数矩阵的初等变换在初等数论中的应用
学生姓名：
康婉玉
学号：
00000000000
学 院：
数学与统计学院
专业：
数学与应用数学
年级：
2012-2级
指导教师：
张四保
完成日期：
2016年4月16日
2
中文摘要
本文基于整数矩阵对其行（或者列）施加相应的变换，改变以往的解题思路，分别给出求解线性不定方程的简便算法，求若干个整数的最大公因数、最小公倍数以及多项式的最大公因式的若干方法，并通过具体的题型来检验这种方法,该方法的计算过程简便，在数学研究的范围内具有实际的意义.
关键词：
整数矩阵；初等变换；不定方程；整数解；多项式；最大公因数
Abstract
Itisbasedontheintegermatrixofelementaryrow（orcolumn）inthispaper.TosolvetheDiophantineequationisgiven,findthegreatestcommonfactorofseveralintegersandtheleastcommonmultipleofpolynomialgreatestcommonfactorofseveralmethods.Thismethodisverifiedthroughspecificexample.Themethodofcalculatingprocessissimple,haspracticalsignificanceinthefieldofmathematicalresearch.
Keywords：
matrix;elementarytransformation;Diophantineequation;integersolution;polynomial;greatestcommonfactor
目录
中文摘要 I
Abstract I
引言 1
1.符号说明 1
2.基本概念 1
3.求整数的最大公因数 3
4.求解线性不定方程 5
5.求整数的最小公倍数 8
6.求多项式最大公因式，最小公倍式 10
7.总结 12
参考文献 13
致谢 14
I
引言
一般而言，在近现代发行的初等数论教材[1-3]中，解一次不定方程大部分依赖于二元一次不定方程的解法，解题过程比较繁琐.本篇文章在引进线性代数中的初等变换这种方法之后，通过对整数矩阵进行初等行（或者列）变换，那么再经过相应的转换就可以得出一个一次不定方程的所有解.同理，求一部分整数的最小公倍数以及最大公约数或者求多项式的最大公因式和最小公倍式，本篇文章都将给出对整数矩阵作初等变换的方法得出所求解的过程.
1.符号说明
为下文阐述的方便性，先对文章将出现的一些符号加以说明.
；；；设，以表示的最大公约数；设，以表示整除；当时，以表示型整数矩阵集合；设，以表示的转置；表示单位矩阵.
2.基本概念
定义1[4]假如存在，有在上是可逆的，并且，则可以得出是一个整数并且是可逆的矩阵，用来表示阶整数可逆矩阵集合.显然可以得出，.下面所给出的矩阵都是中的矩阵.
.
上式矩阵为上阶初等矩阵，简称为初等矩阵.
定义2[5]整数矩阵的初等变换是指：
（1）交换两行或两列的顺序.
（2）用乘到某一行或者某一列上.
（3）用一个整数乘以某一行或者某一列，然后再加到另一行或者另一列上.
引理1[6]对一个矩阵做初等行变换，即在的左边乘上初等矩阵；反过来，对作一个初等列变换就是在的右边乘上的初等矩阵.
证明这里只讨论行变换.设为一个矩阵，是的行向量.
得
，
特别的，令，得
这相当于把的行与行互换.令，得
这相当于把的行的倍加到行.证毕.
3.求整数的最大公因数
命题1[7]设，则存在可逆矩阵，使得
.
证明用数学归纳法加以证明.
（I）当时，可设，由辗转相除法知
，，，，，
，，，
于是，令
则，命题成立.
（II）假定有，这时命题成立.则当时，由假定可得，必定存在一个阶可逆方阵，使
，其中，
从而有
.
又由（I）可得，存在一个二阶可逆方阵，使.有，令
，
则
，
即当时，命题成立.
由归纳总结法可得，时，命题是成立.证明完毕.
推论1[7]假设有，而且有不全为0的整数，则存在一个上的阶可逆矩阵，使
（1）
且是的最大公因数，是一些初等矩阵的乘积.
的求法如下文所述：
增加单位矩阵，将写成这样的形式，构建成一个矩阵，然后再对的第一行施加变换，变为时，如下的单位矩阵则化成了，即
.
推论2最大公因数可表成的线性组合
（2）
例1设，，求.
解
，
所以.
4.求解线性不定方程
命题2[7]设元一次不定方程
，，（3）
且，若，则方程（3）有整数解，其解为
（4）
其中，而是
（1）中的矩阵的元素.
证明若，则由
（2）得
,,,
是方程（3）的一组整数解.，由（4）得
.
由
（1）得
故（4）是方程（3）的解.
设是方程（4）的任一整数解，则
.（5）
由，得，所以.再由
（1）得
所以
.
故再由（5）得
.
令
，
则
，
所以
，
故（4）代表了方程（3）的任一整数解.
例2求方程的所有整数解.
解做矩阵，对作初等变换
得，且，所以原不定方程存在整数解，并且所有解可以表示为
，.
5.求整数的最小公倍数
当求整数和的最小公倍数时，一般情况下是对做质因数分解，依次求出标准分解式与，为互异正质数.那么与的最小公倍数为
，
在非常大的时候，我们计算起来也会相对困难，分解的质因数更加不易.下面列举一个较为简单的方式，简化解题步骤，对矩阵施加初等变换，得到.
定理1[8]设，则存在整数矩阵,其中,使得,且满足.
证明由初等数论的结论可知,,使得
.
令
则
再令,
则
两边取行列式整理得
.
容易得出以下结论，当时，定理1结论依然成立.由此，每个行列式为的整数矩阵都能够表示成一些整数初等矩阵的乘积.如果要对一个整数矩阵施加一次相应的行初等变换，那么我们就可以在这个整数矩阵的左边，去乘上一个相应的初等矩阵.
由上面的讨论可以得出以下求法：
用构造，对进行一次行初等变换，在化成阶梯形矩阵时，表示最大公因数，表示最小公倍数.
例3设.求.
解对施行行初等变换
所以.
6.求多项式最大公因式，最小公倍式
定理2[9]设是中的非零多项式,若,则存在可逆的多项式矩阵,使得,这里
证明已知是中的两个非零多项式,则,
使得
令,
其中
且为的首相系数,则
又因为,说明矩阵是可逆的.
假定存在一个多项式矩阵可逆，那么这个可逆的矩阵可以用一部分初等多项式矩阵的乘积来表示,对一个多项式矩阵左乘一个初等多项式矩阵,其实质就相当于对此多项式矩阵进行一次初等变换.因此，根据定理3可得出多项式的最大公因式与最小公倍式的求法：
由已知的构造的多项式矩阵,对实施初等行变换化为三角矩阵,这里分别是的最大公因式和最小公倍式.
例4[9],，求最大公因式和最小公倍式.
解令
对此矩阵施加初等行变换，我们可以得到
则和的最大公因式和最小公倍式是：
.
7.总结
矩阵论的应用十分广泛,本文主要从几个小的方面阐述了整数矩阵的初等变换在初等数论中的应用,通过讨论,在求不定方程的解的情况时,求两个整数的最大公因数和最小公倍数，以及求两个多项式的最大公因式和最小公倍式时.采用对矩阵施加初等变换的方法能够较容易的得出正确的答案.
参考文献
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湖北教育出版社，1984.78-81.
[4]潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京:
北京大学出版社，1992.112-115.
[5]黎前修.用矩阵初等变换求最大公因数及组合的方法[J].重庆师专学报，2001（12）.105.
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高等教育出版社，2003.188-189.
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自然科学版，2004，24（5）：
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[9]王卿文.关于多项式最大公因式矩阵求法的补充[J].济南大学学报，1993，
（1）：
64-68.
致谢
我是喀什大学数统学院的一名学生，在此我非常感谢我的指导老师，喀什大学数统学院的张四保老师.正是在张四保老师的辛苦指导下，我的论文终于定稿了.在论文写作过程中，老师秉承大胆创新的进取精神，高度负责的敬业精神，不仅对我的论文撰写提供了巨大的帮助，甚至在对我以后的学习工作，都产生巨大的影响.他不仅知识渊博而且视野开阔，思维敏锐，让我真正感觉到了一个导师的专业水平，在此我向张四保老师表示深深的感谢.同时，我也要感谢同学和朋友们，他们让我圆满完成了任务，更重要的是还让我学到了课堂上没有学到的东西.
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