届高中数学人教A版 空间向量与立体几何单元测试Word版含答案13Word格式文档下载.docx

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5.若O是△ABC所在平面内一点，且满足（＋）·

（－）＝0，则△ABC一定是（　　）

A．等边三角形

B．斜三角形

C．直角三角形

D．等腰直角三角形

6.若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则＝＝是a∥b的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

7.若A（3cosα，3sinα，1），B（2cosθ，2sinθ，1），则||的取值范围是（　　）．

A．[0，5]

B．[1，5]

C．（1，5）

D．（0，5）

8.已知向量a＝（1,1,0），b＝（－1,0,2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是（　　）

A．1

B．

C．

D．

9.设A，B，C，D是空间不共面的四个点，且满足·

＝0，·

＝0，则△BCD的形状是（　　）

A．钝角三角形

B．直角三角形

C．锐角三角形

D．无法确定

10.若平面α与β的法向量分别是a＝（1，0，－2），b＝（－1，0，2），则平面α与β的位置关系是（　　）．

A．平行

B．垂直

C．相交不垂直

D．无法判断

11.下列命题中正确的有（　　）

（1）分别在两个平面内的两个向量不能转化为共面向量．

（2）空间中，首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为0.

（3）因为向量由长度和方向两个属性构成，一般地说，向量不能比较大小．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

12.已知向量|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·

b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是（　　）

A．[0，]

B．[，π]

C．[，π]

D．[，π]

二、填空题（共4小题,每小题5.0分,共20分）

13.设a＝（x,4,3），b＝（3,2，z），且a∥b，则xz等于________．

14.给出四个命题：

①若l1∥l2，则l1，l2与平面α所成的角相等；

②若l1，l2与平面α所成的角相等，则l1∥l2；

③l1与平面α所成的角为30°

，l2⊥l1，则l2与平面α所成的角为60°

；

④两条异面直线与同一平面所成的角不会相等．

以上命题正确的是________．

15.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为的是________．

①（－）－；

②（＋）－；

③（－）－2；

④（－）＋.

16.二面角αlβ的平面角为60°

，A、B∈l，AC⊂α，BD⊂β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD的长为________．

三、解答题（共6小题,每小题12.0分,共72分）

17.如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

（1）求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？

证明你的结论．

18.如下图所示的是平行六面体ABCD—A′B′C′D′，化简下列各式．

（1）＋－＋－；

（2）－＋－.

19.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．

（1）求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；

（2）求二面角F－DE－C的余弦值．

20.已知空间四边形ABCD，求·

＋·

的值

21.在正方体AC1中，O，M分别是DB1，D1C1的中点．

证明：

OM∥BC1.

22.如下图所示，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°

，

∠BCA＝90°

，点D，E分别在棱PB，PC上，且DE∥BC.

（1）求证：

BC⊥平面PAC；

（2）当D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成的角的正弦值；

（3）是否存在点E，使得二面角A－DE－P为直二面角？

并说明理由．

答案解析

1.【答案】C

【解析】由共面向量定理

2.【答案】C

【解析】如图所示，连接ON，AN，则＝（＋）＝（b＋c），

＝（＋＝（－2＋）＝（－2a＋b＋c）＝－a＋b＋c，

所以＝（＋）＝－a＋b＋c.

3.【答案】D

【解析】∵a＝（1,2，－2），b＝（－3，－6,6），

∴b＝－3a，∴l1∥l2或l1与l2重合，故选D.

4.【答案】D

【解析】若b＝（－4，6，－2），则b＝－2（2，－3，1）＝－2a，所以a∥b.

5.【答案】C

【解析】∵＋＝，－＝，∴·

＝0.∴BC⊥AC.

∴△ABC一定是直角三角形．

6.【答案】A

【解析】显然为充分条件，又若b为零向量，与任意向量均为共线向量.

7.【答案】B

【解析】||＝＝，

∵－1≤cos（α－θ）≤1，∴1≤||≤5.

8.【答案】D

【解析】∵ka＋b=（k－1，k,2），2a－b=（3,2，－2），若（ka＋b）⊥（2a－b），则（ka＋b）·

（2a－b）=0，

∴3（k－1）＋2k－4＝0，∴k＝，故选D.

9.【答案】C

【解析】·

＝（－）·

（－）

＝·

－·

＋2＝2＞0.同理·

＞0，·

＞0.故△BCD为锐角三角形．

10.【答案】A

【解析】∵a＝（1，0，－2）＝－（－1，0，2）＝－b，∴a∥b，∴α∥β.

11.【答案】B

【解析】在空间任何两个向量都是共面的，所以

（1）不正确．在

（2）中它们的和应为0，而不是0，所以

（2）不正确，（3）是正确的．

12.【答案】B

【解析】∵关于x的方程x2＋|a|x＋a·

b＝0有实根，∴Δ＝|a|2－4a·

b≥0，即|a2|≥4a·

b.

又∵a·

b＝|a||b|cos〈a，b〉，∴|a2|≥4|a||b|cos〈a，b〉．∵|a|＝2|b|≠0，

∴cos〈a，b〉≤＝＝，而〈a，b〉∈[0，π]，∴≤〈a，b〉≤π.

13.【答案】9

【解析】∵a∥b，∴，∴x＝6，z＝，∴xz＝9.

14.【答案】①

【解析】①正确．②不正确，l1与l2不一定平行．③不正确，l2与平面α所成角不确定．④不正确，有可能相等．

15.【答案】①②

【解析】

（－）－＝－＝，（＋）－＝＋＝.

16.【答案】

【解析】∵＝＋＋，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l.∴·

＝0，

∴||＝＝.

17.【答案】见解析

【解析】解法一：

设正方体的棱长为1，如下图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系．

（1）依题意，得B（1,0,0），E（0,1，），A（0,0,0），D（0,1,0），

所以＝（－1,1，），＝（0,1,0）．

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为θ，则

sinθ＝＝＝.即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.

（2）依题意，得A1（0,0,1），＝（－1,0,1）,＝（－1,1，）．

设n＝（x，y，z）是平面A1BE得一个法向量，则由n·

＝0，n·

＝0，得

所以x＝z，y＝z.取z＝2，得n＝（2,1,2）．设F是棱C1D1上的点，则F（t,1,1）（0≤t≤1）．

又B1（1,0,1），所以＝（t－1,1,0），而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·

n＝0⇔（t－1,1,0）·

（2,1,2）＝0⇔2（t－1）＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．

这说明在棱C1D1上存在一点F（C1D1的中点），使B1F∥平面A1BE.

解法二：

（1）如下图所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.

因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.

又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，

所以EM⊥ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．

设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3.

于是，在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝.

即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.

（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.如下图所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD1，FG.

因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B.

又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.

这说明A1，B，G，E共面．所以BG⊂平面A1BE.

因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG.

而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.

18.【答案】见解析

（1）原式＝＋＋－－＝

（2）原式＝＋－＝.

19.【答案】见解析

【解析】建立如下图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D（0,0,0），A（2,0,0），C（0,2,0），B（2,2,0），E（1,2,0），F（0,2,2）．

（1）＝（－1,0,2），易得平面ABCD的一个法向量为n＝（0,0,1），设与n的夹角为θ，则cosθ＝＝，∴EF与平面ABCD所成的角的余弦值为.

（2）＝（－1,0,2），＝（0,2,2），设平面DEF的一个法向量为m，则m·

＝0，m·

可得m＝（2，－1,1），∴cos〈m，n〉＝＝，∴二面角F－DE－C的余弦值为.

20.【答案】见解析

（－）＋（－）－（－）

＝0.

21.【答案】见解析

【解析】如下图，以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系

D－xyz.

设正方体的棱长为2，则O（1,1,1），M（0,1,2），B（2,2,0），C1（0,2,2），＝（－1,0,1），

＝（－2,0,2），∴＝，∴∥.又O∉平面B1BCC1，∴OM∥BC1.

22.【答案】见解析

【解析】以A为原点，，分别为y轴、z轴的正方向，过A点且垂直于平面PAB的直线为x轴，建立空间直角坐标系Axyz，

设PA＝a，由已知可得：

A（0,0,0），B（0，a,0），C，P（0,0，a）．

（1）证明：

＝（0,0，a），＝，∴·

＝0，∴BC⊥AP.

又∵∠BCA＝90°

，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.

（2）∵D为PB的中点，DE∥BC，∴E为PC的中点，∴D，E，

∴由

（1）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足为点E.∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角，

∵＝，＝，∴cos∠DAE＝＝，

∴AD与平面PAC所成的角的正弦值为.

（3）∵DE