高中数学人教A版选修41创新应用教学案第一讲二平行线分线段成比例定理含答案2Word文档格式.docx
《高中数学人教A版选修41创新应用教学案第一讲二平行线分线段成比例定理含答案2Word文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修41创新应用教学案第一讲二平行线分线段成比例定理含答案2Word文档格式.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
平行线分线段成比例定理
[例1] 已知：
如图，AD∥BE∥CF，EG∥FH.
求证：
[思路点拨] 由题目中的两组平行线，利用平行线分线段成比例定理，寻求与，均相等的公共比例式．
[证明] ∵AD∥BE∥CF，∴＝.
又∵EG∥FH，∴＝.
∴＝.
平行线分线段成比例定理的解题思路
（1）观察图形和已知条件，找出图中的三条平行线和被平行线所截的两条直线；
（2）分析截线上的对应线段，写出相应的比例关系；
（3）灵活运用比例性质或“中间比”进行线段比的转化，达到求线段比或证明线段成比例的目的；
（4）注意定理基本图形的几种变式情形，在复杂图形中识别能够应用定理的图形．
1．如图，AD∥EF∥BC，＝，DF＝4cm，则FC＝________cm.
解析：
∵AD∥EF∥BC，∴＝.
又＝，DF＝4cm，
∴FC＝6cm.
答案：
6
2．已知：
如图所示，l1∥l2∥l3，
证明：
∵l1∥l2∥l3，
∴＝＝.
∴＝，则＝，
即＝.∴＝.
平行线分线段成比例定理的推论
[例2] 已知：
如图，点E是▱ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证：
OB2＝OE·
OF.
[思路点拨] 利用AB∥CE，AF∥BC得出所要比例关系．
[证明] 因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AB∥CD，AD∥BC.
由AB∥CE，得＝.
由AF∥BC，得＝.
所以＝（等量代换）．
即OB2＝OE·
运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或求线段的长度时，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，在解答过程中要灵活应用比例性质．
3．已知：
如图，D为BC的中点，AG∥BC，求证：
因为AG∥BC，
所以＝，＝，
又BD＝DC，所以＝.
4.如图，已知AE∥CF∥DG，AB∶BC∶CD＝1∶2∶3，CF＝12cm，求AE，DG的长．
解：
∵AE∥CF，
∴AE＝·
CF.
∵AB∶BC＝1∶2，CF＝12cm，
∴AE＝×
12＝6（cm）．
∵CF∥DG，∴＝.
∵＝，∴＝.
∴DG＝·
CF＝×
12＝30（cm）.
通过添加平行线构造基本图形寻找公共比
[例3] 如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，求证：
[思路点拨] 由已知条件，结合图形特点，可添加平行线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或推论的基本图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证．
[证明] 作EH∥AB交AC于点H，
则＝，∴＝.
同理：
＝，∴＝.
∵△BDC为直角三角形，
且E为BC边中点，
∴BE＝CE＝DE.
∴＝.∴＝.
证明比例式成立，往往会将比例式中各线段放到一组平行线中进行研究．有时图形中没有平行线，要添加辅助线，构造相关图形，创造可以形成比例式的条件，达到证明的目的．
5．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别在AB，CD上，且EF∥BC，若＝，AD＝8cm，BC＝18cm，求EF长．
作AG∥DC分别交BC，EF于G，H，
∴AD＝HF＝GC＝8cm.
BG＝18－8＝10（cm）．
∴EH＝×
BG＝×
10＝4（cm）．
∴EF＝EH＋HF＝4＋8＝12（cm）．
6．如图所示，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，求＋的值．
过点D作DG∥AB交EC于G，
则＝＝＝，而＝，
即＝，所以AE＝DG.
从而有AF＝DF，EF＝FG＝CG，
故＋＝＋
＝＋1＝.
[对应学生用书P6]
一、选择题
1．如图，在△ACE中，B、D分别在AC、AE上，下列推理不正确的是（ ）
A．BD∥CE⇒＝
B．BD∥CE⇒＝
C．BD∥CE⇒＝
D．BD∥CE⇒＝
由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A、B、C都是正确的，D是错误的．
D
2．如图，AB∥EF∥CD，已知AB＝20，DC＝80，那么EF的值是（ ）
A．10 B．12
C．16D．18
∵AB∥EF∥CD，∴＝＝＝，
∴＝＝，
∴EF＝AB＝×
20＝16.
C
3．如图，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则－的值为（ ）
A.B.
C．1D.
∵DC∥BN，∴＝.
又BM∥AD，∴＝.
∴－＝－＝＝＝1.
4．如图，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至DC边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是（ ）
A．5∶12B．5∶13
C．5∶19D．5∶21
如图，作MN∥AD交DC于N，
又∵AM＝ME，
∴DN＝NE＝DE＝.
∴NC＝NE＋EC＝＋7＝.
∵PD∥MN∥QC，
∴＝＝＝.
二、填空题
5．如图所示，已知DE∥BC，BF∶EF＝3∶2，则AC∶AE＝________.
∵DE∥BC，
∵BF∶EF＝3∶2，
∴AC∶AE＝3∶2.
3∶2
6．如图，在△ABC中，MN∥DE∥BC，若AE∶EC＝7∶3，则DB∶AB的值为________．
由AE∶EC＝7∶3，
得EC∶AC＝3∶10.
根据MN∥DE∥BC，
可得DB∶AB＝EC∶AC＝3∶10.
3∶10
7．如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，AE的延长线交BC于点F，则＝________.
过点D作DM∥AF交BC于点M.
∵点E是BD的中点，
∴在△BDM中，BF＝FM，
∵点D是AC的中点，
∴在△CAF中，CM＝MF.
8．如图所示，DE∥BC，EF∥DC，求证：
AD2＝AF·
AB.
因为DE∥BC，
所以＝（平行于三角形一边的直线截其他两边所得的对应线段成比例）．
因为EF∥DC，
所以＝.
所以＝，即AD2＝AF·
三、解答题
9．如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15cm，AF＝4cm，求BE和DE的长．
∵DE∥AC，∴∠3＝∠2.
又AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2.
∴∠1＝∠3，即AE＝ED.
∵DE∥AC，EF∥BC，
∴四边形EDCF是平行四边形．
∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC.
设AE＝DE＝FC＝x.
由EF∥BC得＝，即＝，
解之得x1＝6，x2＝－10（舍去）．
∴DE＝6cm，BE＝15－6＝9cm.
10.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.
（1）求证：
EO＝OF；
（2）求＋的值；
（3）求证：
＋＝.
（1）证明：
∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥AD∥BC.
∵EF∥BC，∴＝，＝.
∵EF∥AD∥BC，∴＝.
∴＝.∴EO＝OF.
（2）∵EO∥AD.∴＝.
由
（1）知＝，
∴＋＝＋＝＝1.
（3）证明：
由
（2）知＋＝1，
∴＋＝2，又EF＝2EO，
∴＋＝2.
∴＋＝.
予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。
州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。
予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。
读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。
是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。
予亦方举进士，以礼部诗赋为事。
年十有七试于州，为有司所黜。
因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：
学者当至于是而止尔！
因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。
升级会员 