构造等差数列或等比数列文档格式.docx

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当n≥2时，

令

，则

，且

是以

为公比的等比数列，

2、构造差式与和式

解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.

例3 

设

是首项为1的正项数列，且

，（n∈N*），求数列的通项公式an.

由题设得

∵

，

∴

例4 

中，

，（n∈N*），求通项公式an.

（n∈N*）

3、构造商式与积式

构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.

例5 

，前n项的和

，求

4、构造对数式或倒数式

有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.

例6 

设正项数列

满足

（n≥2）.求数列

的通项公式.

两边取对数得：

，设

是以2为公比的等比数列，

例7 

已知数列

，n≥2时

，求通项公式.

，两边取倒数得

可化为等差数列关系式.

求数列通项公式的十种方法

一、公式法

例1已知数列

，求数列

的通项公式。

两边除以

，得

，故数列

为首项，以

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得

，所以数列

的通项公式为

。

评注：

本题解题的关键是把递推关系式

转化为

，说明数列

是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出

，进而求出数列

二、累加法

例2已知数列

由

得

则

所以数列

，进而求出

，即得数列

例3已知数列

所以

例4已知数列

，故

因此

的通项公式，最后再求数列

三、累乘法

例5已知数列

因为

，所以

本题解题的关键是把递推关系

例6（2004年全国I第15题，原题是填空题）已知数列

①

②

用②式－①式得

故

③

，又知

，代入③得

所以，

，从而可得当

的表达式，最后再求出数列

四、待定系数法

例7已知数列

设

④

将

代入④式，得

，等式两边消去

，两边除以

代入④式得

⑤

及⑤式得

，则数列

为首项，以2为公比的等比数列，则

，从而可知数列

是等比数列，进而求出数列

的通项公式，最后再求出数列

例8已知数列

⑥

代入⑥式，得

整理得

令

，代入⑥式得

⑦

及⑦式，

故数列

为首项，以3为公比的等比数列，因此

例9已知数列

⑧

代入⑧式，得

等式两边消去

解方程组

，代入⑧式，得

⑨

及⑨式，得

为以

为首项，以2为公比的等比数列，因此

五、对数变换法

例10已知数列

在

式两边取常用对数得

⑩

将⑩式代入

式，得

，两边消去

并整理，得

代入

及

式，

为首项，以5为公比的等比数列，则

，因此

本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式

六、迭代法

例11已知数列

又

本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。

即先将等式

两边取常用对数得

，即

，再由累乘法可推知

，从而

七、数学归纳法

例12已知数列

由此可猜测

，往下用数学归纳法证明这个结论。

（1）当

时，

，所以等式成立。

（2）假设当

时等式成立，即

，则当

由此可知，当

时等式也成立。

根据

（1），

（2）可知，等式对任何

都成立。

本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。

八、换元法

例13已知数列

，代入

即

可化为

为公比的等比数列，因此

本题解题的关键是通过将

的换元为

，使得所给递推关系式转化

形式，从而可知数列

为等比数列，进而求出数列

九、不动点法

例14已知数列

是函数

的两个不动点。

为公比的等比数列，故

本题解题的关键是先求出函数

的不动点，即方程

的两个根

，进而可推出

为等比数列，再求出数列

的通项公式，最后求出数列

例15已知数列

的不动点。

为公差的等差数列，则

的根

为等差数列，再求出数列

十、特征根法

例16已知数列

的相应特征方程为

，解之求特征根是

由初始值

，得方程组

求得

从而

本题解题的关键是先求出特征方程的根。

再由初始值确定出

，从而可得数列