2矩阵典型习题解析031705Word文档下载推荐.docx
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3．矩阵的相等
设A（aij）mn;
B（bij）mn
若ajbj（i1,2,,m;
j1,2,,n），则称A与B相等，记为A=Bo
2.1.2矩阵的运算
1．加法
（1）定义：
设A（Aj）mn，B（bj）mn，则CAB@jbj）mn
（2）运算规律
1A+B=B+A②匚A+B）+C=A+（B+C）
③A+O=A④A+（-A）=0,—是A的负矩阵
2．数与矩阵的乘法
设A（aj）mn，k为常数，则kA（kaj）mn
（2）运算规律①K（A+B）=KA+KB②（K+LA=KA+LA③（KL）A=K（LA）3．矩阵的乘法
设A（aj）mn，B（bj）np.则
n
ABC（Cij）mp,其中Cijaikbkj
k1
（2）运算规律
①（AB）CA
（BC）
；
②A（B
C）
ABAC
③（BC）A
BA
CA
3）方阵的幂
①定义：
A
（aij）n
，则Ak
K
②运算规律：
Am
AnAm
?
（Am）nA
（4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。
1ABBA②AB0,不能推出A0或B0;
③（AB）kAkBk
4．矩阵的转置
设矩阵A=（aj）mn，将A的行与列的元素位置交换，称为矩阵A的转置，记为AT（aji）nm，
①（At）tA;
②（AB）tAtBt；
③（kA）TKAt;
④（AB）tBtAt。
3）对称矩阵与反对称矩阵
若AtA,则称A为对称阵；
AtA，则称A为反对称阵。
5.逆矩阵
设A为n阶方阵，若存在一个n阶方阵B,使得AB=BA=E则
称A为可逆阵，B为A的逆矩阵，记作BA1。
（2）A可逆的元素条件：
A可逆A0
（3）可逆阵的性质
1若A可逆，则A-1也可逆，且（A-1）-1=A;
2若A可逆，山0,则kA可逆，且（kA）1-A1;
k
3若A可逆，则AT也可逆，且（At）1（A1）T;
4若A，B均可逆，则AB也可逆，且（AB）1B1A1。
（4）伴随矩阵
1定义：
A*（A）：
，其中Aij为a.j的代数余子式，
2性质：
i）AA*A*A|AE;
ii）A*|;
**I]n2
iii）（A）AA;
iv）若A可逆，则A*也可逆，且（A*）1（A1）*1A
IA
3用伴随矩阵求逆矩阵公式：
A1丄A*
2.1.3方阵的行列式
1.定义：
由n阶方阵A的元素构成的n阶行列式（各元素的位置不变）叫
做方阵A的行列式，记为A或detA。
2.性质：
（1）AT|A，
（2）kAknA，
（3）ABAB，（4）A1占
（4）3•特殊矩阵的行列式及逆矩阵
⑶对角阵:
4.上（下）三角阵
a11
a22
ann
1•矩阵的初等变换
以下三种变换
1交换两行（列）；
2
k；
某行（列）乘一个不为零的常数③某行（列）的k倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。
2•初等矩阵
将n阶单位阵E进行一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵;
交换i,j两行（列），记为E（i,j）；
第i行（列）乘以不为零的常数k记为E（i（k））；
第j行的k倍加到第i行上去，记为E（j（k）i；
（2）初等矩阵的性质
初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；
而[E（ij）]1E（ij）[E（i（k））]1E（i1）
[E（j（k）i）]1E[j（k）i]
（3）方阵A可逆与初等阵的关系
若方阵A可逆，则存在有限个初等阵R,P2,,R，使ARP2Pt，
（4）初等阵的行列式
E（ij）1,E（i（k））k,E（j（k）i）1
（5）初等阵的作用：
对矩阵A进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵
左（右）乘矩阵A，且
E（ij）A|A,|E（i（k））AkA,|E（j（k）i）|A
3•矩阵的等价
若矩阵A经过有限次初等变换变到矩阵B,则称A与B等价,
（2）A与B等价的三种等价说法，
1A经过一系列初等变换变到B;
2存在一些初等阵巳，也,片，,Ft，使得EsE1AF1FtB
3存在可逆阵P，Q,使得PAQ=B
2.1.5分块矩阵
1•分块矩阵的定义
以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵。
2•分块矩阵的运算
（1）设A，B为同型矩阵，米用相同的分法有
AnA1t
B11
B21
Bs1
B1t
B2t
Bst
AA21A2t
A.
As1Ast
B
则
AB（AjBij）（i1,2,
s;
j1,2,
t）
（2）
kA
（kAj）（i
1,2,
j1,2,,t）
（3）
设A
（aij）mn,B
（bij）np
分块成
A11
A1t
B1r
As1
Ast
Bt1
Btr
其中Ai,A2,,Ait的列数分别等于Bij,B2j,,Btj的行数，则
t
ABC（Cij）sr，其中CijAikBkj（i1,2,3,,s;
j1,2,,r）
k1
3•准对角阵
形如
A为ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。
A2
（2）准对角阵的行列式及逆矩阵
AiA?
]IAs;
若每个Ai可逆，则
As
逆，且
A?
1
（3）特殊的准对角阵
经典题型解析
2.2.1矩阵的运算
则c=
解：
由41a5得a=0,c11=4
而-1+2b+6=-1得b=-3,C22=-7
从而c=
提示：
对于最基本的矩阵的四则运算我们一定要烂熟于心
2、设A为三阶矩阵，且A4,则（2A2一-
Ca）2
-A2
JgA2
11
4
易错提示：
本题是道特别基本的有关矩阵基本性质的类型题，考生易犯的错误就是对矩阵进行行列式计算时，把（1A）2的阶数给忘记计算。
3、设A为33矩阵，B为44,且A1,|b2,则||BA___.
IlBAb|3|a2g8.
易错题示：
本题同上，但还应值得我们注意的是，在计算时
||BAB||A23gl2是我们常犯的错误
11L1L1
6k121L1L6k12L2L2
33L3L3
本题关键是要求我们注意到ATB是矩阵，但BAt=1L1L12=6
3
却是数,
1L1L1
则计算式相当繁琐的
i
1L0L1
3L3L3
5、设A
0L1L0，
求An.
0L0L1
方法一
'
：
数学归纳法
.
1L0L2
因为A
0L1L0，A2
AgA0L1L0，
倘若先计算AB
2L2L2，然后再求2L2L2
1L0L3
32
AAgA0L1L0，
1L0Ln1
一般的，设An-10L1L0，
1L0Ln11L0L11L0Ln
则AnAn1gA0L1L00L1L00L1L0
1L0Ln
所以，有归纳法知A0L1L0。
64"
个A8
方法二：
因为A是初等矩阵，AEgAgAA，相当于对单位矩阵
1L0L0
E=0L1L0，施行了n次初等列变换（把第一列加到第三列），故
An0L1L0o
方法三：
利用对角矩阵和主对角线上为零的上三角矩阵幕的特点来进行计算。
令A=0L1L0
0L1L0
0L0L0
EB，
其中B0L0L0，
读者只需选择一种或几种适合自己的且快捷简便的方法为宜。
8
6，求A1002A50o
5
若设g（）=100250，那么所求A1002A50g（A）,
而dgL_）10010049,
d
由代数学中的整除性质，q（）,stg（）=q（）f（）a2bc,
-1=1100-2150=g
（1）=q
（1）f
（1）abcabc,
-1=（-1）1002（-1）50q（-1）f
（1）abcabc,0=-100+100=-^^-^
（1）2ab,
解之得：
a=b=0,c=-1。
所以，g（）=q（）f（）1，从而a1002A50g（A）=q（A）f（A）EE。
点评：
本题可谓是到综合性极强的一道题，对于解这种类型题时，读者除需要
掌握牢固扎实的基础知识外，还应具备真正能够做到各知识点前后相连，融会
贯通的能力。
所以，我们平时学习是应该养成多动脑，勤思考，常总结得好习惯。
，求An
7、设A
0013
B0
由分块矩阵知A0C，其中B
2EP
Bn2EPn（2E）nn（2E）n1P2nn2n1
02n
2.2.2矩阵的逆（逆矩阵）及其运用
因为a*AA11a1，所以
切记将2提出时应为2k，其中k
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