整理第五章积分计算.docx
《整理第五章积分计算.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《整理第五章积分计算.docx（27页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
整理第五章积分计算
第五章积分计算
教学要求：
1.积分法是微分法的逆运算。
要求学生：
深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
2.换元积分公式与分部积分公式在本章中处于十分重要的地位。
要求学生：
牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；牢记分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分运用分部积分公式，并能恰当地将被积表达式分成两部分的乘积，熟练地应用分部积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。
3.有理函数的不定积分是求无理函数和三角函数有理式不定积分的基础。
要求学生：
掌握化有理函数为分项分式的方法；会求四种有理最简真分式的不定积分，知道有理函数的不定积分（原函数）还是初等函数；学会求某些有理函数的不定积分的技巧；掌握求某些简单无理函数和三角函数有理式不定积分的方法，从理论上认识到这些函数的不定积分都能用初等函数表示出来。
教学重点：
深刻理解不定积分的概念；熟练地应用换元积分公式；熟练地应用分部积分公式；
教学时数：
18学时
§5.1原函数与不定积分
教学要求：
积分法是微分法的逆运算。
要求学生：
深刻理解不定积分的概念，掌握原函数与不定积分的概念及其之间的区别；掌握不定积分的线性运算法则，熟练掌握不定积分的基本积分公式。
教学重点：
深刻理解不定积分的概念。
一、新课引入：
微分问题的反问题，运算的反运算.
二、讲授新课：
（一）不定积分的定义:
1、原函数
定义 设函数
在区间
有定义，存在函数
，若
，有
，则称函数
是
在区间
的原函数，或简称
是
的原函数。
定理 若
是函数
在区间
的一个原函数，则函数
的无限多个原函数仅限于
的形式。
2、不定积分
定义函数
的所有原函数
称为函数
的不定积分。
表为：
。
其中
称为被积函数，
称为被积表达式，
称为积分常数。
可见，若
有原函数
，则
的全体原函数所成集合为
{
│
Ｒ}.
例1填空:
;（
;
;
;
;
.
（二）基本积分表及其使用
1.运算法则：
（1）
或
；
（2）
或
；
（3）
（
）；
（4）
。
2.积分公式：
1、
，其中
为常数。
特别地：
；
2、
，其中
是常数，且
；
3、
；
4、
，其中
，且
；特别地
；
5、
；
6、
；
7、
；
8、
；
9、
；
10、
；
11、
；
12、
。
3.例题
例2求
。
例3求
。
例4求
。
例5求
.
例6求
。
（三）不定积分的基本性质:
以下设
和
有原函数.
（1）
.
（先积分后求导,形式不变应记牢！
）.
（2）
.
（先求导后积分,多个常数需当心！
）
（3）
时，
（被积函数乘系数，积分运算往外挪！
）
（4）
由（3）（4）可见,不定积分是线性运算,即对
有
（当
时,上式右端应理解为任意常数.）
例7
.求
.（
=2）.
（四）．利用初等化简计算不定积分:
例8
.求
.
例9
.
例10
.
例11
.
例12
.
例13
.
三、小结
练习P2021（1,3,5,7,9,11,13,15）23
作业P2021（2,4,6,8,10）4
§5.2换元积分法
教学要求：
换元积分公式在本章中处于十分重要的地位。
要求学生：
牢记换元积分公式和选取替换函数（或凑微分）的原则，并能恰当地选取替换函数（或凑微分），熟练地应用换元积分公式；独立地完成一定数量的不定积分练习题，从而逐步达到快而准的求出不定积分。
教学重点：
熟练地应用换元积分公式;
一、新课引入：
由直接积分的局限性引入
二、讲授新课：
（一）.第一类换元法——凑微分法：
定理1（第一换元积分法）若函数
在
可导，且
。
有
，则函数
存在原函数
，即
。
常见微分凑法：
凑法1
例1 求
。
例2 求
。
例3 求
。
例4求
。
例5求
。
凑法2
.特别地,有
和
.
例6求
。
例7求
。
例8求
。
凑法3
例9
（1）
（2）
例10
其他凑法举例:
例11
.
例12
例13
.
例14
.
例15
.
（二）第二类换元法——拆微法：
从积分
出发，从两个方向用凑微法计算，即
=
=
=
引出拆微原理.
定理2（第二换元积分法）若函数
在
可导，
，且
，函数
在
有定义，
，有
，则函数
在
存在原函数，且
。
例16求
。
例17求
。
例18求
。
例19求
，
常用代换有所谓无理代换,三角代换,双曲代换,倒代换,万能代换,Euler代换等.
我们着重介绍三角代换和无理代换.
1.三角代换:
（1）正弦代换:
正弦代换简称为“弦换”.是针对型如
的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:
令
则
例20
解法一直接积分;解法二用弦换.
例21
.
例22
.
（2）正切代换:
正切代换简称为“切换”.是针对型如
的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:
利用三角公式
即
令
.此时有
变量还原时,常用所谓辅助三角形法.
例23
.
解令
有
.利用例22的结果,并用辅助三角形,有
=
=
例24
（3）正割代换:
正割代换简称为“割换”.是针对型如
的根式施行的,目的是去掉根号.方法是:
利用三角公式
令
有
变量还愿时,常用辅助三角形法.
例25
解
.
例26
.
解法一（用割换）
解法二（凑微）
2. 无理代换:
若被积函数是
的有理式时,设
为
的最小公倍数,作代换
有
.可化被积函数为
的有理函数.
例27
.
例28
.
若被积函数中只有一种根式
或
可试作代换
或
.从中解出
来.
例29
.
例30
例31
（给出两种解法）
例32
.
本题还可用割换计算,但较繁.
3. 双曲代换:
利用双曲函数恒等式
令
可去掉型如
的根式.
.化简时常用到双曲函数的一些恒等式,如:
例33
.
本题可用切换计算,但归结为积分
该积分计算较繁.参阅后面习题课例3.
例34
解
.
例35
.
解
4. 倒代换:
当分母次数高于分子次数,且分子分母均为“因式”时,可试用倒代换
例36
.
5. 万能代换:
万能代换常用于三角函数有理式的积分（参[1]P261）.令
，
就有
，
，
例37
.
解法一（用万能代换）
.
解法二（用初等化简）
.
解法三（用初等化简,并凑微）
例38
解
=
.
代换法是一种很灵活的方法.
三、小结
练习P213123
作业P2132（2,4,6,8,10）3（1,3,5,7）
§5.3分部积分法
教学重点：
分部积分的应用。
教学难点：
分部积分适用的条件。
基本内容：
分部积分；
基本要求：
记住分部积分公式，知道求哪些函数的不定积分应用分部积分公式；并能适当的选取换元函数，熟练地应用换元公式。
一、分部积分法
设
、
是
的可导函数，则
，
，因此
或
，称为分部积分公式。
一般来说，被积函数形式为：
，
，
，
，
等都用分部积分法。
二.分部积分法的形式:
导出分部积分公式.介绍使用分部积分公式的一般原则.
1.幂
X型函数的积分:
分部积分追求的目标之一是:
对被积函数两因子之一争取求导,以使该因子有较大简化,特别是能降幂或变成代数函数.代价是另一因子用其原函数代替（一般会变繁）,但总体上应使积分简化或能直接积出.对“幂
”型的积分,使用分部积分法可使“幂”降次,或对“
”求导以使其成为代数函数.
例1
（幂对搭配，取对为u）
例2
（幂三搭配，取幂为u）
例3
（幂指搭配，取幂为u）
例4
（幂指搭配，取幂为u）
例5
例6
（幂反搭配，取反为u）
2 建立所求积分的方程求积分:
分部积分追求的另一个目标是:
对被积函数两因子之一求导,进行分部积分若干次后,使原积分重新出现,且积分前的符号不为1.于是得到关于原积分的一个方程.从该方程中解出原积分来.
例7
例8求
和
解
解得
例9
解
=
=
（参阅例41）
解得
例10
=
，
解得
.
例11
=
=
解得
.
三、小结（略）
练习P2171（1,3,5,7）2（2,4,6,8）
作业P2171（2,4,6,8）2（1,3,5,7）
§5.4广义积分
教学重点：
无穷积分的性质及敛散性判别。
教学难点：
无穷积分的敛散性判别。
主要内容：
1、三种无穷积分（
）的概念以及它们收敛与发散的概念；2、无穷积分与级数收敛性的关系；3、无穷积分的性质，包括Cauchy准则、收敛的线性性、分部积分公式；4、无穷积分的绝对收敛于条件收敛的概念及判别法，优函数的绝对收敛判别法，条件收敛的判别法。
基本要求：
1、掌握无穷积分收敛与发散的判别法，基本上会用收敛定义和性质计算无穷积分和证明无穷积分的有关问题；2、基本会用敛散性定义和各种敛散性判别法判别无穷积分的敛散性。
基本方法：
无穷积分的计算方法与敛散性判别方法。
一、无穷积分
定义：
设函数
在
上有定义，并且对任意b，
在[a,b]上可积，如果当
时，极限
存在，那么就称此极限为函数在
上的无穷积分。
记作：
.
例1
（1） 讨论积分
,
,
的敛散性.
（2） 计算积分
.
例2 讨论以下积分的敛散性:
（1）
;
（2）
.
例3讨论积分
的敛散性.
二、无穷积分的性质:
（1）
在区间
上可积,
—Const,则函数
在区间
上可积,且
.
（2）
和
在区间
上可积,
升级会员 