关于中学生竞赛最优决策2的线性规划3及量化研究数学建模论文Word格式文档下载.docx

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2．问题重述………………………………………………………………………………………………2

3．基本假设………………………………………………………………………………………………2

4．问题分析………………………………………………………………………………………………2

5．基本符号说明………………………………………………………………………………………3

6．建立模型………………………………………………………………………………………………3

7．模型求解与分析……………………………………………………………………………………8

8．对于模型的建立与推广……………………………………………………………………………9

9．模型的优缺点及改进方向………………………………………………………………………10

10．参考文献……………………………………………………………………………………………10

附录…………………………………………………………………………………………………11

关于中学生竞赛最优决策2的线性规划3及量化研究

1．摘要

（一）摘要

近年来，随着全方位的素质教育日益为社会所重视，学科竞赛教学也一改传统的应试教学格局，更加注重素质并重。

然而“以学科竞赛决定学生未来”的理论在竞赛已延续几十年的今天依旧屡受社会舆论的负面抨击，面对这样的情况，我们应该科学、全面、客观地正确面对“学习竞赛”这一选择，通过决策与权衡，选择对学生自身发展最有益的一门竞赛。

本文采用量化模型及线性规划的方法，为中学生从多个竞赛中选择最优选项1,这对于高效地提高学生综合素养至关重要。

首先利用层次分析法确定了多种因素对学生选择影响的权重4，再把学生预想成果与各方面决策成本的权重，建立双向选择的权重计算模型，然后确定最优方案模型，学生对某门学科竞赛的权重之和最大时的人员选取即为所求。

通过最优化理论提出一个数学模型,它用参数表示系统中不同影响学生选择学科竞赛的因素，即个人兴趣、国家政策、竞争趋势等实体,使用数学方法表示实体与结果之间的关系,通过对资源进行分类比较不同因素。

最后利用Matlab和Lingo编程对上述模型和算法进行了实践求解。

模型使用较少的主观参数,以实现对选择不同学科竞赛精确、客观的评价，以达成实现中学生自身综合素质发展的目标。

最后给出了模型的实施步骤与模型分析,并且通过实验验证了模型的正确性、分析了模型的优缺点和改进方向。

针对实际本文还充分考虑了多种情况下各种因素对决策的影响并提出了一些实用型的建议，较完满地解决了学生正确选择竞赛的问题。

（二）关键词

最优化理论、量化模型、线性规划、中学竞赛、综合发展

二．问题重述

用数学建模的方法为学生做出最优竞赛选择的决策。

三．基本假设

1.假设该学生能且仅能选择一门学科竞赛。

2.假设在该学生面前有五门学科竞赛可供选择——数学竞赛、化学竞赛、物理竞赛、生物竞赛、信息技术竞赛。

3.假设影响该学生决策的因素有：

1）特长生招生政策（国家科技发展程度）；

2）对口大学，就业方向；

3）竞争对手情况；

4）学生自身兴趣及能力。

4.假设学生做出决策时不受他人的影响。

5.假设学生在选择某门学科竞赛后不能中途退出且不能加选或改选其他竞赛。

6.各个因素的权重客观准确地反映了学生的真实能力或实际情况。

（权重由大到小分为十个等级，即1~10）

7.竞赛种类对于学生能力的要求不变，客观背景形式在决策期间不变。

8.学生对竞赛的选择只与我们所求出的权重有关。

四．问题分析

1.通过对题目的仔细分析我们得出以下几点重要信息：

1）该学生只能选择一门竞赛并且不能中途退出；

2）由于决策建立在学生个人思维基础上，是个人对事物的分析、判断和兴趣来作出决定。

两种极端的决策准则是：

“决策的结果最好”和“决策的成本最小。

3）每一步达到最优是不可能实现的，所以我们只能在限定条件下在最好决策与成本最小之间做权衡。

题目要求根据学生的实际需要，建立最优的学科竞赛选择方案。

而竞赛选择方案的确定主要需要解决两个问题：

如何确定每个因素对学生的权重；

在知道各方面考虑的权重后，如何决策使被选竞赛的权重之和最大。

学科竞赛和学生的关系从两个方面来体现：

决策成本和预期效果，其中决策成本（影响因素）权重的确定相对较复杂，要根据层次分析法分三个阶段完成，即分别算出学习兴趣、学习能力对各科竞赛的权重；

预期效果影响比较单一，主要看学生能否在冬令营之前或在冬令营中取得自己理想的成绩，为使成本影响和预期效果影响统一化，我们把各科笔试分数除以最高分得到的权重，再乘以比例系数r，所得到的数字构成对各科的总权重f，得到权重矩阵5Q，其中r的值根据各科老师对笔试的重视程度而定。

这样第一个问题就解决了。

当考虑应聘者的意愿时，建立矩阵S。

5．基本符号说明

U、v、T、D：

分别表示各门竞赛编号，编号按照数学、物理、化学、生物、信息技术；

I:

学生自身的能力

a:

学生对该学科竞赛的兴趣

t:

时间（自变量）

6．建立模型

背景假设：

某同学在升入高中后进行了一次能力测试的考试，并在该次考试后面临选择一门学科竞赛的决策。

考虑到人类对于某门学科竞赛的态度受时间的影响受个体差异影响产生差别，在这里我们大致把情况分成两类：

1.随着时间的推移，越来越喜爱这门学科（图一）；

2.随着时间的推移，学习兴趣呈下降态势（图二）。

由此我们可以以两种不同人群得出如下两种不同的大致图像：

（这里假设学习兴趣越浓厚则学习效率越高且定义：

学习效率=单位时间内个人能力的提升。

X=TimeY=ability）

P.S两根曲线代表两种不同的学科。

f（0）较小曲线可视为兴趣学科，较大曲线可视为优势学科。

现在我们带入模型具体分析。

图一

图二

由上述已知，该学生入学测试物理化学分数分别为96，90（满分均为100），我们不妨以他的入学分数的50倍作为起点—f（0）.则有如下几种情况：

（化学为兴趣学科，物理为优势学科，竞赛学习时间通常为2年，假设有效学习时间为20个月）

1.假设该名学生对某门竞赛的热爱随时间的推移递增。

1）该曲线若为二次函数局部图像，即该同学在该学科上的能力变化量（单位：

p）与时间（单位：

m）呈平方关系Y=ax2+c（图三）。

假设该同学对化学的热爱度是物理的两倍，设a（物理）=1a（化学）=2，即

Y（物理）=x2+4800

Y（化学）=2x2+4500

图三

显然，兴趣学科在经过20个月的学习过后，成为了优势学科。

同理，其余高次高次函数也将得到相同结果。

2）该曲线若为指数函数图像平移后的局部图像，即该同学在该学科的能力变化量与时间呈指数关系Y=a^x+c（图四）,这里同样假设a（物理）=?

a（化学）。

为控制区分度，故a^x∈【0，200】时最佳，故选择a=1.3，即

Y（物理）=1.3^x+4800

Y（化学）=2.6^x+4500

图四

显然，兴趣学科经过一段时间的优势远远大于目前的优势学科。

通过对以上几种情况的讨论，我们得出结论：

在学生对选择竞赛的兴趣随时间增加的情况下，因其具有较大的发展空间与自身的发展潜力，应优先选择兴趣学科。

下面是对第二种情况的讨论。

2.假设该名学生对某门竞赛的热爱随时间的推移递减。

1）假设该曲线为平方根函数平移后图像局部，即能力变化量与时间成平方根的关系Y=avx+c（图五），为控制区分度，这里设a（物理）=100，a（化学）=200。

Y（物理）=100vx+4800

Y（化学）=200vx+4500

图五

如图，后期兴趣学科超过优势学科。

2）假设该曲线为对数函数平移后的图像，即能力变化量与时间成对数关系。

即

Y=alogb（z,x+1）+c（图六）。

为控制区分度，alogb（z，x）,∈【0，200】时最佳，故选择z=4.5，a（物理）=100

a（化学）=200，即

y（物理）=100logb（x+1,4.5）+4800

y（化学）=200logb（x+1,4.5）+4500

图六

如图，最初的优势学科在经过一段时间后依旧处于优势。

由此可见，在以自身实力能够达到最高为目的进行决策的多种情况中，兴趣学科是占绝对优势的。

根据一般情况来讲1-1与2-1的存在更为普遍，在这里我们为之分别赋权0.4，2-2为赋权0.2，分别以最终能力作为标准，则有Ab（物理）=（20^2+4800）*0.4+（100*v20+4800）*0.4+【100logb（21，4.5）+4800】*0.2≈2080+2010+1000=5090（p）

Ab（化学）=（2*20^2+4500）*0.4+（200*v20+4500）*0.4+【200logb（21，4.5）+4500】*0.2≈2120+2160+980=5260（p）

注：

由于1-2属于较特殊情况，故不进入加权范围。

综上所述：

以参赛时自身实力最高为目的的决策中，选择兴趣学科具有较大优势。

（一）、对于该生学习竞赛的能力的权重评定

通过该生对各科竞赛的能力比较，我们发现该生只有物理、化学、信息技术三个科目满足各科竞赛学习要求，其余均不能达到学习水平的要求，为优化决策，我们认为学生应该选择学习效率更高的一门竞赛，在这里我们引入权重的概念来标识各科竞赛对该生的适合程度。

我们认定该生的能力满足学习竞赛水平要求时，权重设定为1，能力与最低参加竞赛水平稍差时，权重设定为1／2；

能力与最低参加竞赛水平明显相差很多时，权重设定为1／4：

能力与最低参加竞赛水平特别相差时，权重设定为t／8。

（1）求该生决策成本（各影响因素）对每科竞赛的权重

我们可以从单一工作类别出发来求解各个权重，这样可以使复杂的问题简化。

求该生学习兴趣对每科竞赛的权重时，我们采用了层次分析法的思想，在这种方法中，需要先建立成对比较矩阵。

如对物理竞赛，要求学生的理解能力和应变能力（学习能力）最高（10），其次为学习兴趣（6），最后为预期效果（3），故得成对比较矩阵如下：

11／221／2

2141

A=

1／21／411／4

其中al2=1／2~J]表示理解能力和应变能力对学科竞赛1）的重要性之比为1：

2，a23=4即表示应变能力和理解能力对学科竞赛~EJ1）的重要性之比为4：

1。

求出对比矩阵的最大特征根为4．0000，对应的特征向量归一化后为

=（0．1618，0．3636，0．0909，0．3636）T

即为四种能力对于学科竞赛1）的权重。

由此，可知理解能力和学习兴趣对工作类别1）的权重最大，其次为理解能力，最后是应变能力。

同理可求得四种能力对于其它三个工作类别的权重，从而得四种能力分别对于四种