高中数学 131二项式定理课后训练 新人教A版选修23Word文档下载推荐.docx
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4.对于二项式(n∈N*),有以下四种判断:
①存在n∈N*,展开式中有常数项;
②对任意n∈N*,展开式中没有常数项;
③对任意n∈N*,展开式中没有x的一次项;
④存在n∈N*,展开式中有x的一次项.
其中正确的是( )
A.①与③B.②与③
C.②与④D.①与④
二项式的展开式的通项为Tk+1=x4k-n,由通项公式可知,当n=4k(k∈N*)和n=4k-1(k∈N*)时,展开式中分别存在常数项和一次项.
5.(xx湖北高考)若二项式的展开式中的系数是84,则实数a等于( )
A.2B.C.1D.
二项式通项Tr+1=(2x)7-r(ax-1)r=27-rarx7-2r.
由题意知7-2r=-3,则r=5.
令22a5=84,解得a=1.
6.(a+x)5展开式中x2的系数为10,则实数a的值为 .
二项展开式的通项是Tk+1=a5-kxk,所以T3=a3x2=10a3x2.所以10a3=10,解得a=1.
1
7.已知的展开式中x3的系数为,则常数a的值为 .
展开式的通项是Tr+1=a9-r·
(-1)r·
令r-9=3,得r=8.
依题意,得(-1)8×
2-4·
a9-8=,解得a=4.
4
8.233除以9的余数是 .
233=811=(9-1)11=×
911-×
910+×
99-…+×
9-,
除最后一项-1外,其余各项都能被9整除,故余数为9-1=8.
8
9.已知在的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3,求展开式中的常数项.
解:
T5=)n-4·
24x-8=16,T3=)n-2·
22x-4=4.
由题意知,,
解得n=10.
Tk+1=)10-k·
2kx-2k=2k,令5-=0,解得k=2,
∴展开式中的常数项为×
22=180.
10.求的展开式中x2y2的系数.
设的第r+1项中含有x2y2,则Tr+1=·
因此8-r-=2,r-=2,即r=4.
故x2y2的系数为×
(-1)4==70.
11.已知在的展开式中,第9项为常数项,求:
(1)n的值;
(2)展开式中x5的系数;
(3)含x的整数次幂的项的项数.
已知二项展开式的通项
Tk+1==(-1)k.
(1)因为第9项为常数项,即当k=8时,2n-k=0,解得n=10.
(2)令2n-k=5,
得k=(2n-5)=6,
所以x5的系数为(-1)6×
.
(3)要使2n-k为整数,即为整数,只需k为偶数,由于k=0,1,2,3,…,9,10,故符合要求的有6项,分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项.
1.
在(1-x3)(1+x)10的展开式中,x5的系数是( )
A.-297B.-252C.297D.207
(1-x3)(1+x)10=(1+x)10-x3(1+x)10展开式中含x5的项的系数为=207.
2.1-2+4-8+…+(-2)n等于( )
A.1B.-1C.(-1)nD.3n
逆用二项式定理,将1看成公式中的a,-2看成公式中的b,可得原式=(1-2)n=(-1)n.
3.(xx湖南高考)的展开式中x2y3的系数是( )
A.-20B.-5C.5D.20
由已知,得
Tr+1=(-2y)r=(-2)rx5-ryr(0≤r≤5,r∈Z),
令r=3,得T4=(-2)3x2y3=-20x2y3.
A
4.(xx四川高考)在x(1+x)6的展开式中,含x3项的系数为( )
A.30B.20C.15D.10
含x3的项是由(1+x)6展开式中含x2的项与x相乘得到的,又(1+x)6展开式中含x2的项的系数为=15,故含x3项的系数是15.
5.若(1+2x)6的展开式中的第2项大于它的相邻两项,则x的取值范围是 .
由解得<
x<
6.设m为大于1且小于10的正整数,若的展开式中有不含x的项,满足这样条件的m有 个.
的展开式的通项为
Tr+1=·
(x3)m-r·
=(-1)r·
x3m-5r.
因为展开式中有不含x的项,
所以有3m-5r=0,
即3m=5r.
又1<
m<
10(0≤r≤m),
且m∈N*,r∈N,
所以满足条件的m只有m=5.
7.(xx安徽高考)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a= .
由题意得a1==3,
∴n=3a;
a2==4,
∴n2-n=8a2.
将n=3a代入n2-n=8a2得9a2-3a=8a2,即a2-3a=0,解得a=3或a=0(舍去).
∴a=3.
3
8.已知的展开式中,第4项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍,求展开式中x的一次项.
依题意=7,整理可得(n-1)(n-2)=6×
7,因为n>
0,所以n=8.设展开式中含x的项是第k+1项,则Tk+1=)8-k=(-2)k.所以=1,解得k=2.故展开式中含x的项为第3项,即T3=(-2)2x=112x.
9.(xx山东高考改编)若的展开式中x3项的系数为20,求a2+b2的最小值.
的展开式的通项为Tr+1=(ax2)6-r·
a6-rbrx12-3r,令12-3r=3,得r=3,由a6-3b3=20得ab=1,所以a2+b2≥2ab=2,故a2+b2的最小值为2.
10.
(1)求(x2-x+1)(1+x)8展开式中x4项的系数;
(2)求(1-x)5(1-2x)6展开式中x3项的系数.
(1)(1+x)8展开式中x2,x3,x4的系数分别为,(1+x)8与(x2-x+1)相乘后,
得x4项的系数为=42.
(2)(1-x)5的展开式中,x0,x1,x2,x3项的系数分别为,-,-,
(1-2x)6的展开式中,x0,x1,x2,x3项的系数依次为,(-2),(-2)2,(-2)3,
因此,(1-x)5(1-2x)6的展开式中,x3项的系数是
(-2)3·
+(-)·
(-2)2·
(-2)·
=-590.
11.已知f(x)=(1+2x)m+(1+4x)n(m,n∈N*)的展开式中含x项的系数为36,求展开式中含x2项的系数的最小值.
(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x的项为·
2x+·
4x=(2+4)x,
∴2+4=36,即m+2n=18.
(1+2x)m+(1+4x)n展开式中含x2的项的系数为t=22+42=2m2-2m+8n2-8n.
∵m+2n=18,
∴m=18-2n.
∴t=2(18-2n)2-2(18-2n)+8n2-8n
=16n2-148n+612=16,
∴当n=时,t取最小值,但n∈N*,
∴当n=5时,t即x2项的系数最小,最小值为272.
2019-2020年高中数学1.3.1二项式定理课时作业新人教A版选修2-3
一、选择题
1.在(x-)10的二项展开式中,x4的系数为( )
A.-120 B.120
C.-15 D.15
[答案] C
[解析] Tr+1=Cx10-r(-)r=(-)r·
Cx10-2r
令10-2r=4,则r=3.
∴x4的系数为(-)3C=-15.
2.在(-)6的二项展开式中,x2的系数为( )
A.-B.
C.-D.
[解析] ∵Tr+1=C()6-r·
(-)r
=C(-1)r22r-6x3-r(r=0,1,2,…,6),
令3-r=2得r=1.
∴x2的系数为C(-1)1·
2-4=-,故选C.
3.(xx·
湖北理,3)已知(1+x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )
A.29B.210
C.211D.212
[答案] A
[解析] 由题意可得,二项式的展开式满足Tr+1=Cxr,且有C=C,因此n=10.令x=1,则(1+x)n=210,即展开式中所有项的二项式系数和为210;
令x=-1,则(1+x)n=0,即展开式中奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数之差为0,因此奇数项的二项式系数和为(210+0)=29.故本题正确答案为A.
4.(xx·
湖南理,4)(x-2y)5的展开式中x2y3的系数是( )
A.-20B.-5
C.5D.20
[解析] 展开式的通项公式为Tr+1=C(x)5-r·
(-2y)r=()5-r·
(-2)rCx5-ryr.
当r=3时为T4=()2(-2)3Cx2y3=-20x2y3,故选A.
5.(xx·
辽宁理,7)使(3x+)n(n∈N+)的展开式中含有常数项的最小的n为( )
A.4 B.5
C.6 D.7
[答案] B
[解析] 由二项式的通项公式得Tr+1=C3n-rxn-r,若展开式中含有常数项,则n-r=0,即n=r,所以n最小值为5.选B.
6.在(1-x3)(1+x)10的展开式中x5的系数是( )
A.-297B.-252
C.297D.207
[答案] D
[解析] x5应是(1+x)10中含x5项与含x2项.
∴其系数为C+C(-1)=207.
二、填空题
7.(xx·
重庆理,12)5的展开式中x8的系数是________(用数字作答).
[答案]
[解析] 由二项式定理得Tr+1=C(x3)5-r()r=C()rx15-
令15-=8时,易得r=2,故x8系数为C()2=.
8.(xx·
景德镇市高二质检)设a=sinxdx,则二项式(a-)6的展开式中的常数项等于________.
[答案] -160
[解析] a=sinxdx=(-cosx)|=2,二项式(2-)6展开式的通项为Tr+1=C
(2)6-r·
(-)r=(-1)r·
26-r·
Cx3-r,令3-r=0得,r=3,∴常数项为(-1)3·
23·
C=-160.
9.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn(n∈N*),若a0+a1+…+an=30,则n等于________.
[答案] 4
[解析] 令x=1得a0+a1+…+an=2+22+…+2n=30得n=4.
三、解答题
10.求二项式(a+2b)4的展开式.
[解析] 根据二项式定理
(a+b)n=Can+Can-1b+…+Ca