二项式定理及其应用.docx

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二项式定理及其应用

二项式定理及其应用

摘要

二项式定理是初中的多项式乘法的延伸，是初等数学中的一个重要定理，是高考中必考内容，研究二项式定理及其内容是重要且有意义的.本文阐述了二项式定理的基本性质，探究它在求二项展开式，二项式系数，二项式有理项，证明不等式和求组合问题中的应用，并给出了典型例题.这些研究将有助于学生掌握二项式定理和灵活运用二项式定理来解决问题.

关键词：

二项式定理；二项展开式；计算；证明

Thebinomialtheoremanditsapplication

Abstract:

Thebinomialtheoremisanextensionofthejuniorhighschoolofthepolynomialmultiplication,isoneoftheimportanttheoremsinelementarymathematics,isthecompulsorycontentinthecollegeentranceexamination,thebinomialtheoremanditsresearchcontentisimportantandmeaningful.Inthispaper,thebasicpropertiesofthebinomialtheorem,exploreitinforthebinomialexpansions,binomialcoefficient,binomialrationalthatinequalityandcombinatorialproblemsinapplication,andgivesatypicalexample.Thesestudieswillhelpstudentstograspbinomialtheoremandflexibleuseofthebinomialtheoremtosolvetheproblem.

Keywords:

binomialtheorem;twoexpansion;calculation;poor

目录

1引言1

2文献综述1

2.1国内外研究现状1

2.2国内外研究现状评价2

2.3提出问题2

3二项式定理及其应用2

3.1二项式定理2

3.2二项式定理性质2

3.3二项式定理的应用4

3.3.1求二项展开式4

3.3.2求二项式系数5

3.3.3求二项式有理项6

3.3.4求近似值7

3.3.5求整除或余数问题7

3.3.6证明不等式8

3.3.7求组合数问题10

4.结论12

4.1主要发现12

4.2启示12

4.3局限性13

4.4努力方向13

参考文献14

1引言

从古代到现在二项式定理一直是一个非常重要的研究内容，所以在高中二项式定理是非常重要的一节，高中主要是初步的认识二项式定理，教材针对二项式乘方的展开式作出介绍与研究.在历年高考中基本都有二项式定理题型，题型多为选择题、填空题、证明题，针对高考的题型，本论文对于二项式定理及其应用作出基本的研究，帮助人们在解决二项式定理问题上作出一个全面的认识，更加全面的了解及掌握解决二项式定理问题的方法.

二项式定理是高中的一个重要内容，同时在每年高考中分数占很大的比值.关于二项式定理最早在1664到1665年间由艾萨克牛顿提出，所以二项式定理又称牛顿二项式定理,这一项定理主要由两个数之和的整数次幂的恒等式组成，诸如展开为项之和的恒等式.而对于这一项定理早在我国南宋时期1261年数学家杨辉所著的《详解九章算法》就已经出现过二项式系数表，这一表被称为杨辉三角.在我国北宋时期的数学家贾宪（约公元11世纪）已经学会运用这一表去解决数学问题，而在欧洲这一表被认为是法国数学家帕斯卡首先发现的，所以在欧洲这一表被称为帕斯卡三角.通过研究发现我国的发现比欧洲国家早了五百年左右，可见在我国古代时期对于数学的研究是非常值得中华名族自豪的.

2文献综述

2.1国内外研究现状

现查阅到的参考文献[1-18]．其中金敏在[1]中就如何处理学生在遇到二项式定理难点作出探究.耿玉霞在[2]中对二项式定理的推广及其应用展开论述，文献中列举全面，举例说明详尽.邓勇在[3]中基于二项式定理的应用作出探究，从新的角度利用二项式定的推广形式对初等数学论中费尔马小定理进行探究性的证明.文献统编高中数学[3]对二项式定理基础作出全面的证明及举例，从基础上进行探究说明.陈正思在[5]中对组合总数公式的证法与意义进行了全面的解释，引导学生发现公式，证明公式.陈镇邃在[6]中对于证明组合不等式提供了不同的方法，探究组合恒等式的规律及证法.孙运娜与田发胜、张焕明在[7-8]中就二项式定理问题的常见题型举例说明，并给出不一样的解题策略.席宏学、徐春生、时怀廷、彭现省[9-12]各自运用不同的方法解答不同的二项式定理题型.钱有成在[13]中对高考中二项式定理问题进行归类与解析，明确目标，突出重点.高洪武[14]从五个大层面，十三个方向非常全面的就二项式定理的不同作出举例说明高考常见题型.蔡玉书、刘武、邓宝银、雷淇未[15-17]就构造二项式定理证明不等式可方便快捷地解决不等式中的一些问题.林观有在文献[18]中举例说明证明幂不等式的六种情形.

2.2国内外研究现状评价

二项式定理作为高中数学的一个重要内容，同时也是历年高考题中必考的一个知识点，文献[1-18]分别就求二项式定理展开式的系数，指定项，求解整除和余数问题作了总结、分析，并且举例说明，都非常具有代表性.各自介绍了二项式定理及其应用问题必备的解题方法和需要掌握的相关概念，对于学习二项式定理知识很有帮助，值得大家去查阅.而根据近几年的高考趋势，高考数学中二项式定理问题仍然是高考考查的重点、难点，我们必须掌握相关的知识，并对其加以重视.

2.3提出问题

部分高中生已具备较强的学习能力，在课堂上能够根据老师讲的知识作出知识上的延伸.但是对于部分学生要更好的学习这些比较困难，因此，但都只是单方面探讨一项，针对性不强.对学生在应用中存在的问题也未给出详细深入的说明，本文全面探讨与二项式定理有关问题，并利用典型例题说明.除对解决问题的过程中应用的二项式定理作介绍外，还需对应用二项式定理过程中学生可能遇到的难点及解决办法作探讨，包括对使用这些方法的目的、作用作阐述.

3二项式定理及其应用

二项式定理是初中的多项式乘法的延伸，是初等数学中的一个重要定理，是高考中必考内容，在能力上着重考察运用二项式定理分析问题、解决问题的能力.本文阐述了二项式定理的基本性质，探究它在求二项展开式，二项式系数，二项式有理项，证明不等式和求组合问题中的应用，并给出了典型例题.这些研究将有助于学生掌握二项式定理和灵活运用二项式定理来解决问题.

3.1二项式定理

在高中数学课程中，就已经对二项式定理作出了一个明确的定义：

一般地，对于任意正整数，有

（）

这个公式表示二项式定理，其中右边的多项式叫做的二项展开式，一共有项，而其中每一项的系数为叫做二项式系数.

例1证明二项式定理（）

证明:

记

因为，，

+

所以，.

又因为，即是首项为，公比为的等比数列，所以得

=

因此，得证（

3.2二项式定理性质

（1）二项式系数的对称性：

与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，

二项式系数和：

令,则，

（2）奇数项的二项式系数和=偶数项式系数和：

在二项式定理中，令，则，

从而得

（3）二项式系数的最大项：

当二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数取得最大值；当二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数同时取得最大值.

（4）系数的最大项：

求展开式中的最大的项，一般采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为，设第r+1项系数最大，应有，从而解出来.

例2证明在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.

证明：

在展开式（）中，令则有

即

即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.

3.3二项式定理的应用

在历年高考，二项式定理是必考的内容，在能力上着重考查运用二项式定理分析问题、解决问题的能力.二项式定理既是排列组合的直接运用，有与概率论中的三大概率分布之一的二项分布有关联.以下探究二项式定理的基本性质，探究它在求二项展开式，二项式系数，二项式有理项，证明不等式和求组合问题中的应用，并给出了典型例题.

3.3.1求二项展开式

这是二项式考题中最普通的题型，解决的基本手段是运用二项展开式的通项，主要考查对公式的运用熟练程度，而按所问不同，有如下类型.

例3展开；

解法一分析：

用二项式定理展开；

=+++++

=-+-+-.

解法二分析：

对于较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开

==

=[+]

=

=.

小结：

求二项展开式首先要熟记、记准二项式的展开式，是解决二项展开式的首要条件，对于式子较为繁杂的二项式，先化简再展开较简单.

3.3.2求二项式系数

利用二项式展开式的通项公式和二项式系数的性质，利用二项展开式的恒等变换，历年高考针对利用二项式定理求二项式系数所占比例很高，主要分为求单一二项式指定幂的系数、两个二项式乘积的展开式指定幂的系数、可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数.

例4展开式中的系数.

分析：

不是二项式，则可以通过=或,把它看成二项式展开.

解：

方法一：

==

其中含的项=

含项的系数为.

方法二：

=

=+

其中含的项为=

所以项的系数为6.

方法三：

本题还可以通过把看成六个相乘，每个因式各取一项相乘，可得到乘积的一项，项可由下列几种可能得到，

五个因式中取，一个取1得到；

三个因式中取，一个取，两个取1得到；

一个因式中取，两个取，三个取1得到；

合并同类项为++=6

项的系数为6.

小结：

这一种主要是运用组合方式解决问题，但方法较为繁琐，在解决题时可以加以借鉴.

3.3.3求二项式有理项

利用二项式定理求二项式有理项问题，是高考中一种非常典型求特定项的问题，利用二项式展开式的通项公式求二项式中的某一项或某一项的系数，主要考查学生对通项公式的熟练掌握和灵活运用.

例5在二项式的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项.

分析：

本题给定一个二项式，在不知道指数的情况下，但是题目给出前三项的系数成等差数列，根据这一个条件，可以将指数求出，在最后利用二项展开通项公式求出满足有理项项数.

解：

二项式的展开式的通项公式为：

==

前三项的所以

前三项系数为：

，，，

由已知前三项的系数成等差数列则：

，

即，

解得

通项公式为,其中是有理项的，

所以依次得到有理项：

，，.

小结：

本题通过抓住给定条件已知前三项的系数成等差数列，利用通项公式求出的取值，从而得到有理项.

3.3.4求近似值

利用二项式定理求近似值在近几年的高考题中没有出现过，但是按照新课标要求，对高中生的计算能力有一定的要求，涉及到学生的估算能力，所以在此提出作为一项.

例6求的近似值，使误差小于0.001；

分析：

因为=，所以可以用二项式定理展开计算.

解：

，

所以从第3项以后的绝对值都小于0.001，

所以从第3项起，以后每一项都可以忽略不计，

小结：

本题主要由，当的绝对值与1相比很小且很大时，，等项的绝对值都很小，所以在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此可以用近似计算公式：

.

3.3.5求整除或余数问题

解决有关整除或余数问题，应该把问题先转化为一个二项式，利用二项式展开式