苏教版数学必修2 第2章 214 两条直线的交点Word文件下载.docx

苏教版数学必修2 第2章 214 两条直线的交点Word文件下载.docx

《苏教版数学必修2 第2章 214 两条直线的交点Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《苏教版数学必修2 第2章 214 两条直线的交点Word文件下载.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

1．直线x＋2y－1＝0与直线x＋y－5＝0的交点坐标为________.

【导学号：

41292086】

【解析】　联立方程组解得所以交点坐标为（9，－4）．

【答案】　（9，－4）

2．已知直线3x＋5y＋m＝0与直线x－y＋1＝0交点在x轴上，则m＝________.

【解析】　直线x－y＋1＝0与x轴的交点为（－1,0），则（－1,0）在直线3x＋5y＋m＝0上，∴3×

（－1）＋5×

0＋m＝0，∴m＝3.

【答案】　3

教材整理2　直线系方程

阅读教材P94～P95，完成下列问题．

1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：

Ax＋By＋m＝0（m≠C）．

2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：

Bx－Ay＋m＝0（m为参数）．

3．过直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0与l2：

A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线：

A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0.（注意：

该直线不包括直线l2）

1．判断（正确的打“√”，错误的打“×

”）

（1）任意一条直线都可以用一个二元一次方程来表示．（√）

（2）直线上点的坐标都是直线所对应的二元一次方程的解，反之，以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上．（√）

（3）直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0表示经过直线A1x＋B1y＋C1＝0和直线A2x＋B2y＋C2＝0交点的所有直线．（×

）

（4）直线A1x＋B1y＋C1＝0与直线A2x＋B2y＋C2＝0有交点的等价条件是A1B2－A2B1≠0.（√）

2．过点（1,1）与直线2x＋y＝4平行的直线方程为________．

【解析】　设所求直线方程为2x＋y＝m，

将点（1,1）代入方程得m＝3，

∴所求直线方程为2x＋y－3＝0.

【答案】　2x＋y－3＝0

[小组合作型]

两直线位置关系的判定方法

判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：

（1）l1：

2x＋y＋3＝0，l2：

x－2y－1＝0；

（2）l1：

x＋y＋2＝0，l2：

2x＋2y＋3＝0；

（3）l1：

2x－3y＋5＝0，l2：

4x－6y＋10＝0.

【精彩点拨】　根据它们组成的方程组的解的个数或方程的系数特征进行判断．

【自主解答】　

（1）由方程组

得

∴直线l1与l2相交，交点坐标为（－1，－1）．

（2）解方程组

①×

2－②得：

1＝0矛盾，∴方程组无解．

∴两直线无公共点，l1∥l2.

（3）解方程组

2得4x－6y＋10＝0，

∴①和②可以化为同一方程，

即l1与l2是同一直线，l1与l2重合．

判定直线的位置关系有以下两种方法：

（1）利用方程组解的个数判断．

（2）利用直线平行、重合、垂直和相交的条件判断，两直线l1：

A1x＋B1y＋C1＝0，l2：

A2x＋B2y＋C2＝0.

①当A1B2－A2B1≠0时，两直线相交；

②当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1＝0（或A1C2－A2C1＝0）时，两直线重合；

③当A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0（或A1C2－A2C1≠0）时，两直线平行；

④当A1A2＋B1B2＝0时，两直线垂直．

[再练一题]

1．下列各组直线中，其中为相交直线的序号为________．

①y＝x＋2和y＝1；

②x－y＋1＝0和y＝x＋5；

③x＋my－1＝0（m≠2）和x＋2y－1＝0；

④2x＋3y＋1＝0和4x＋6y－1＝0.

【解析】　①显然相交；

②平行；

③直线x＋my－1＝0过点（1,0），直线x＋2y－1＝0过点（1,0），故两直线相交；

④两直线平行．

【答案】　①③

2．两条直线2x＋3y－m＝0和x－my＋12＝0的交点在x轴上，那么m的值是________.

41292087】

【解析】　在2x＋3y－m＝0中，令y＝0，得x＝；

在x－my＋12＝0中，令y＝0，得x＝－12.由题意知＝－12，故m＝－24.

【答案】　－24

直线交点的应用

　当k为何值时，直线l1：

y＝kx＋3k－2与直线l2：

x＋4y－4＝0的交点P在第一象限？

【精彩点拨】　在相交的条件下，联立方程组求交点，根据条件列关于k的不等式组求解．

【自主解答】　当k＝－时，l1与l2平行，不符合题意．

当k≠－时，由

∵点P在第一象限，∴

∴<

k<

1.

已知两条直线交点的情况，确定直线方程中的参数的值或取值范围，方法是先求出交点坐标，再根据题意列出关于参数的方程或不等式，从而求出参数的值或取值范围．

3．如图2－1－11，以Rt△ABC的两条直角边AB，BC向三角形外分别作正方形ABDE和正方形BCFG.连结EC，AF，两直线交于点M.求证：

BM⊥AC.

图2－1－11

【证明】　以两条直角边所在直线为坐标轴，建立直角坐标系．设正方形ABDE和正方形BCFG的边长分别为a，b，则A（0，a），C（b,0），B（0,0），E（－a，a），F（b，－b）．

直线AF的方程是＝，

即（a＋b）x＋by－ab＝0.

直线EC的方程是

＝，

即ax＋（a＋b）y－ab＝0.

解方程组

即M点的坐标为

，

故kBM＝，又kAC＝＝－，

所以kBM·

kAC＝－1.

因此BM⊥AC.

[探究共研型]

过两直线交点的直线系方程的应用

探究1　过原点（0,0）且过直线x＋y－2＝0与直线x－y＋3＝0的交点的直线方程怎样求？

有几种方法？

【提示】　有两种方法，方法一，先求直线x＋y－2＝0与直线x－y＋3＝0的交点，再利用两点式求出方程．

方法二，设所求直线为x＋y－2＋λ（x－y＋3）＝0，

将点（0,0）代入得3λ－2＝0，∴λ＝，

所求直线为x＋y－2＋（x－y＋3）＝0，

即5x＋y＝0.

探究2　过点M（2,0），与直线x＋2y－b＝0（b≠2）平行的直线怎样求？

【提示】　设所求直线为x＋2y＋m＝0，将点（2,0）代入方程，求出m的值即可，直线为x＋2y－2＝0.

　求经过两直线l1：

x－2y＋4＝0和l2：

x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：

3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．

【精彩点拨】　可先求交点坐标，再利用点斜式求直线方程；

或利用过两直线交点的直线系方程求解．

【自主解答】　法一：

得P（0,2）．

∵kl3＝，且l⊥l3，∴kl＝－.

由斜截式可知l的方程为y＝－x＋2，

即4x＋3y－6＝0.

法二：

设直线l的方程为x－2y＋4＋λ（x＋y－2）＝0，即（1＋λ）x＋（λ－2）y＋4－2λ＝0.

又∵l⊥l3，

∴3×

（1＋λ）＋（－4）×

（λ－2）＝0，

解得λ＝11.∴直线l的方程为4x＋3y－6＝0.

两条直线的交点坐标就是联立两直线方程所得方程组的解．本题解法一采用常规方法，先通过方程组求出两直线交点，再根据垂直直线求出斜率，由点斜式求解；

而解法二则采用了过直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：

A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据垂直条件求出待定系数即可．

4．求经过两条直线l1：

2x＋y－8＝0和l2：

x－2y＋1＝0的交点且与两坐标轴围成的三角形面积为的直线的方程．

【解】　法一：

由解得

由题意可知所求的直线在x轴，y轴上的截距都存在且不为零，设所求的直线的方程为＋＝1.

所以

即或

解得或

所以所求的直线的方程为＋＝1或＋＝1，即x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.

易知直线x－2y＋1＝0与坐标轴围成的三角形的面积S＝×

1×

≠，

所以所求的直线的方程不可能是x－2y＋1＝0.

故可设所求的直线的方程为（2x＋y－8）＋λ（x－2y＋1）＝0（λ为任意实数），

即（2＋λ）x＋（1－2λ）y＋（λ－8）＝0.

由题意得（2＋λ）·

（1－2λ）·

（λ－8）≠0，

令x＝0，得y＝－；

令y＝0，得x＝－.

所以所求直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为·

·

所以（λ－8）2＝|（1－2λ）（2＋λ）|.

解得λ＝3或λ＝－22.

当λ＝3时，所求直线的方程为x－y－1＝0；

当λ＝－22时，所求直线的方程为4x－9y＋6＝0.

故所求直线的方程是x－y－1＝0或4x－9y＋6＝0.

1．直线2x＋3y＋8＝0与直线x－y－1＝0的交点坐标为________．

【解析】　由解得

∴交点为（－1，－2）．

【答案】　（－1，－2）

2．直线l1：

2x－y＝7与l2：

3x＋2y－7＝0的交点坐标为________．

∴交点（3，－1）．

【答案】　（3，－1）

3．已知直线l：

2x＋my＋1＝0与直线y＝x＋1相交，则m的取值范围是________.

41292088】

【解析】　若m＝0，两直线显然相交；

若m≠0，则－≠1，即m≠－2.

故m的取值范围为（－∞，－2）∪（－2，＋∞）．

【答案】　（－∞，－2）∪（－2，＋∞）

4．过l1：

3x－5y－10＝0和l2：

x＋y＋1＝0的交点，且平行于l3：

x＋2y－5＝0的直线方程为________．

【解析】　由解得交点坐标为，故所求直线过点且与x＋2y－5＝0平行，可设直线方程为x＋2y＋C＝0，

所以＋2×

＋C＝0，故C＝，所以所求直线方程为x＋2y＋＝0，即为8x＋16y＋21＝0.

【答案】　8x＋16y＋21＝0

5．已知直线x＋y－3m＝0和2x－y＋2m－1＝0的交点M在第四象限，求m的取值范围．

【解】　由得

∴交点M的坐标为.

∵交点M在第四象限，∴

解得－1<

m<

∴m的取值范围是.