苏教版数学必修5 第2章 233 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和Word文档格式.docx

苏教版数学必修5 第2章 233 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和Word文档格式.docx

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3．裂项相消法求和

将某些特殊数列的每一项拆成两项的差，并使它们求和的过程中出现相同的项，且这些相同的项能够相互抵消，从而达到将求n个数的和的问题转化为求少数的几项的和的目的．这种求和的方法叫裂项相消法．

4．数列{an}的an与Sn的关系：

数列{an}的前n项和Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则an＝

1．若an＝，则数列{an}的前10项和S10＝.

【解析】　∵an＝＝－，

∴S10＝＋＋…＋＝.

【答案】　

2．数列1，2，3，4，…的前n项和是．

【解析】　Sn＝（1＋2＋3＋…＋n）＋＝＋1－.

【答案】　＋1－

[小组合作型]

分组求和

　求和：

Sn＝＋＋…＋.

【精彩点拨】　先分析通项an＝＝x2n＋＋2，再分组求和，注意x的取值范围．

【自主解答】　当x≠±

1时，

Sn＝＋＋…＋

＝＋＋…＋

＝（x2＋x4＋…＋x2n）＋2n＋

＝＋＋2n

＝＋2n；

当x＝±

1时，Sn＝4n.

综上知，Sn＝

分组求和法的求和策略

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将其每一项拆开，可分为几个等差、等比或常数列，然后分别求和，再将其合并即可．像这种数列求和方法称为分组求和法，运用这种方法的关键是将通项变形．

[再练一题]

1．已知数列1＋1，＋4，＋7，…，＋3n－2，…，求其前n项的和．

【解】　设Sn＝（1＋1）＋＋＋…＋将其每一项拆开再重新组合得，

Sn＝＋（1＋4＋7＋…＋3n－2），

当a＝1时，Sn＝n＋＝；

当a≠1时，

Sn＝＋＝＋.

错位相减法求和

　已知数列{an}，a1＝1，an＝2·

3n－2（n≥2），求数列{nan}的前n项和Tn.

【精彩点拨】　利用错位相减法求Tn，但本题需注意n的范围．

【自主解答】　Tn＝a1＋2a2＋3a3＋…＋nan.

当n＝1时，T1＝1；

当n≥2时，Tn＝1＋4·

30＋6·

31＋…＋2n·

3n－2，①

3Tn＝3＋4·

31＋6·

32＋…＋2n·

3n－1，②

①－②得：

－2Tn＝1＋（4－3）＋2（31＋32＋…＋3n－2）－2n·

3n－1

＝2＋2·

－2n·

＝－1＋（1－2n）·

3n－1，

∴Tn＝＋（n≥2）．

又∵T1＝a1＝1也满足上式，

∴Tn＝＋（n∈N*）．

1．若cn＝an·

bn，其中{an}为等差数列，{bn}为等比数列，则{cn}的前n项和可用错位相减法求得．

2．用错位相减法求和时应注意：

①两式相减后除首、末项外的中间的项转化为一个等比数列求和．②注意两式相减后所得式子第一项后是加号，最后一项前面是减号．

2．求数列的前n项和Sn.

【解】　Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，

Sn＝1×

＋2×

＋3×

＋…＋n×

，①

＋…＋（n－1）×

＋n×

，②

①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－n×

＝－n×

＝1－－n×

，

∴Sn＝2－－.

裂项相消法求和

＋＋＋…＋，n≥2.

【精彩点拨】　由＝＝

逐项裂项相消求和．

【自主解答】　∵＝＝，

∴原式＝

＝

＝－.

1．裂项相消法的裂项方法

（1）＝；

（2）若{an}为等差数列，公差为d，则＝；

（3）＝－.

2．如果数列的通项公式可转化为f（n＋1）－f（n）的形式，常采用裂项相消法求和．

3．求和：

1＋＋＋…＋.

【导学号：

92862061】

【解】　∵＝＝2，

∴原式＝2

＝2

＝.

[探究共研型]

数列求和的综合应用

探究1　如何求数列{（－1）n}的前n项的和？

【提示】　分n为奇、偶数两类分别求数列{（－1）n}的和．

探究2　若数列{an}的前n项和为Sn，则an与Sn间存在怎样的关系？

如何由Sn求通项an?

【提示】　由Sn＝a1＋a2＋…＋an可知

Sn－1＝a1＋a2＋…＋an－1（n≥2），

∴an＝Sn－Sn－1（n≥2），

又a1＝S1，

∴an＝

　已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn＝（－1）n－1，求数列{bn}的前n项和Tn.

【精彩点拨】　

（1）由S＝S1S4列出关于a1的方程，求a1，从而求出an.

（2）对bn进行裂项，并对n为奇数和偶数分类求和．

【自主解答】　

（1）因为S1＝a1，S2＝2a1＋×

2＝2a1＋2，

S4＝4a1＋×

2＝4a1＋12，

由题意得（2a1＋2）2＝a1（4a1＋12），解得a1＝1，

所以an＝2n－1.

（2）bn＝（－1）n－1＝（－1）n－1·

＝（－1）n－1.

当n为偶数时，

Tn＝－＋…＋－＝1－＝.

当n为奇数时，

Tn＝－＋…－＋＝1＋＝.

所以Tn＝

奇偶性分析适用的数列往往是与（－1）n有关的摆动数列，常用的思路有两个：

一是邻项相并，二是利用Sn＝S奇＋S偶，两种思路都要考虑奇数项、偶数项的项数.

4．求和：

Sn＝－1＋3－5＋7－…＋（－1）n（2n－1）．

【解】　当n为奇数时，

Sn＝（－1＋3）＋（－5＋7）＋（－9＋11）＋…＋[（－2n＋5）＋（2n－3）]＋（－2n＋1）

＝2·

＋（－2n＋1）＝－n.

当n为偶数时，Sn＝（－1＋3）＋（－5＋7）＋…＋[（－2n＋3）＋（2n－1）]＝2·

＝n.

∴Sn＝（－1）nn（n∈N*）．

1．数列{an}的通项公式an＝2n＋2n－1，则其前n项和Sn＝.

【解析】　Sn＝（2＋22＋…＋2n）＋[1＋3＋…＋（2n－1）]

＝＋＝2n＋1－2＋n2.

【答案】　2n＋1＋n2－2

2．已知an＝（－1）nn，则S2017＝.

【解析】　∵a1＋a2＝1，a3＋a4＝1，…，a2015＋a2016＝1，a2017＝－2017.

∴S2017＝1008－2017＝－1009.

【答案】　－1009

3．已知an＝，则Sn＝.

∴Sn＝－＋－＋…＋－＝－.

【答案】　－

4．若数列{an}的前n项和为Sn＝an＋，则数列{an}的通项公式是.

92862062】

【解析】　当n＝1时，a1＝S1＝a1＋，

解得a1＝1.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝an－an－1，

整理可得an＝－an－1，即＝－2，

故数列{an}是以1为首项，－2为公比的等比数列，故an＝（－2）n－1.

【答案】　an＝（－2）n－1

5．求和：

Sn＝＋＋＋…＋.

【解】　当a＝1时，Sn＝n（n＋1）；

Sn＝＋＋＋…＋，

aSn＝1＋＋＋＋…＋，

（1－a）Sn＝－1－－－－…－＋

＝－1－＋，

∴Sn＝（a≠1），

∴Sn＝