全国通用高考数学二轮复习专题提分教程第二编专题五解析几何第1讲直线与圆练习理Word文档下载推荐.docx

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（1）标准方程：

（x－a）2＋（y－b）2＝r2.

（2）一般方程：

方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是D2＋E2－4F>

0，其中圆心是，半径r＝.

5．直线与圆的位置关系

设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r.

d与r的关系

直线与圆的关系

d>

r

相离

d＝r

相切

d<

相交

6．两圆的位置关系

设圆O1的半径为r1，圆O2的半径为r2.

热点考向探究

考向1　直线的方程及应用

例1　

（1）（2019·

天津九校联考）“m＝2”是“直线l1：

mx＋4y－6＝0与直线l2：

x＋my－3＝0平行”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　D

解析　若直线l1：

x＋my－3＝0平行，则m2＝4，m＝±

2，

当m＝2时，直线l1：

2x＋4y－6＝0与直线l2：

x＋2y－3＝0，两直线重合，舍去，

所以“直线l1：

x＋my－3＝0平行”等价于“m＝－2”，

所以“m＝2”是“直线l1：

x＋my－3＝0平行”的既不充分也不必要条件．故选D.

（2）已知直线l：

ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是（　　）

A．1B．－1

C．－2或－1D．－2或1

解析　①当a＝0时，y＝2不符合题意．②当a≠0时，令x＝0，得y＝2＋a，令y＝0，得x＝，则＝a＋2，得a＝1或a＝－2.故选D.

（3）已知直线l：

x－y－1＝0，l1：

2x－y－2＝0.若直线l2与l1关于l对称，则l2的方程是（　　）

A．x－2y＋1＝0B．x－2y－1＝0

C．x＋y－1＝0D．x＋2y－1＝0

答案　B

解析　因为l1与l2关于l对称，所以l1上任一点关于l的对称点都在l2上，故l与l1的交点（1,0）在l2上．又易知（0，－2）为l1上一点，设它关于l的对称点为（x，y），则解得即（1,0），（－1，－1）为l2上两点，可得l2的方程为x－2y－1＝0，故选B.

（1）在使用不同形式的直线方程时要注意其适用条件．

（2）讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．

1．（2019·

湘赣十四校高三联考）若cosθ＝，sinθ＝－，则角θ的终边所在的直线方程为（　　）

A．3x－4y＝0B．4x＋3y＝0

C．3x＋4y＝0D．4x－3y＝0

答案　C

解析　因为cosθ＝，sinθ＝－，所以tanθ＝＝－，因此角θ的终边所在的直线斜率为－.故选C.

2．已知直线l的倾斜角为π，直线l1经过点A（3，2），B（a，－1），且l1与l垂直，直线l2：

2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于（　　）

A．－4B．－2

C．0D．2

解析　由题意知l的斜率为－1，则l1的斜率为1，即kAB＝＝1，∴a＝0.由l1∥l2，得－＝1（b≠0），∴b＝－2（经检验满足题意），∴a＋b＝－2，故选B.

3．直线xcosα＋y＋b＝0（α，b∈R）的倾斜角的取值范围是________．

答案　∪

解析　∵直线的斜率k＝－cosα，α∈R，∴－1≤k≤1，直线的倾斜角的取值范围为∪.

考向2　圆的方程及应用

例2　

（1）（2019·

成都市高三二诊）已知a∈R且为常数，圆C：

x2＋2x＋y2－2ay＝0，过圆C内一点（1,2）的直线l与圆C相交于A，B两点，当弦AB最短时，直线l的方程为2x－y＝0，则a的值为（　　）

A．2B．3

C．4D．5

解析　圆C：

x2＋2x＋y2－2ay＝0化简为（x＋1）2＋（y－a）2＝a2＋1，圆心坐标为C（－1，a），半径为.

如图，由题意可得，当弦AB最短时，过圆心与点（1,2）的直线与直线2x－y＝0垂直．则＝－，即a＝3.故选B.

（2）与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是（　　）

A．（x＋2）2＋（y－2）2＝2B．（x－2）2＋（y＋2）2＝2

C．（x＋2）2＋（y＋2）2＝2D．（x－2）2＋（y－2）2＝2

解析　由题意知，曲线方程为（x－6）2＋（y－6）2＝18，过圆心（6,6）作直线x＋y－2＝0的垂线，垂线方程为y＝x，则所求的最小圆的圆心必在直线y＝x上，又（6,6）到直线x＋y－2＝0的距离d＝＝5，故最小圆的半径为，圆心坐标为（2,2），所以标准方程为（x－2）2＋（y－2）2＝2.

（3）已知过定点P（2,0）的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为（　　）

A．150°

B．135°

C．120°

D．不存在

答案　A

解析　由y＝得x2＋y2＝2（y≥0），它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图形如图所示．设过点P（2，0）的直线为y＝k（x－2），则圆心到此直线AB的距离d＝，因为S△AOB＝|OA||OB|·

sin∠AOB＝sin∠AOB，所以当∠AOB＝时，S△AOB取最大值，此时圆心O到直线AB的距离为1，由＝1得k＝－，故直线l的倾斜角为150°

.

（1）求圆的方程就是求出圆心坐标和圆的半径，一般是根据已知条件写出方程即可．

（2）方程Ax2＋By2＋Dx＋Ey＋F＝0（AB≠0）表示圆的充要条件是A＝B且D2＋E2－4AF>

0.

1．在平面直角坐标系xOy中，已知A（－1,0），B（0,1），则满足|PA|2－|PB|2＝4且在圆x2＋y2＝4上的点P的个数为（　　）

A．0B．1

C．2D．3

解析　设P（x，y），则由|PA|2－|PB|2＝4，得（x＋1）2＋y2－x2－（y－1）2＝4，所以x＋y－2＝0.求满足条件的点P的个数即为求直线与圆的交点个数，圆心到直线的距离为＝<

2＝r，所以直线与圆相交，交点个数为2.故满足条件的点P有2个，选C.

2．（2019·

宜宾市高三第二次诊断）过直线3x－4y－14＝0上一点P作圆C：

（x＋1）2＋（y－2）2＝9的切线，切点分别为A，B，则当四边形PACB面积最小时，直线AB的方程是（　　）

A．4x－3y＋2＝0B．3x－4y＋2＝0

C．3x－4y－2＝0D．4x－3y－2＝0

解析　根据题意，圆C：

（x＋1）2＋（y－2）2＝9的圆心C为（－1,2），半径r＝3；

点P为直线3x－4y－14＝0上一点，PA，PB为圆C的切线，则PA⊥CA，PB⊥CB，

则有|PA|＝|PB|

＝＝，

则S四边形PACB＝2S△PCA＝2×

×

|CA|×

|PA|＝3，

则当|PC|取得最小值时，四边形PACB面积最小，此时CP与直线3x－4y－14＝0垂直，

且|CP|＝＝5，则C到直线AB的距离d＝，

又由CP⊥AB，则直线AB与直线3x－4y－14＝0平行，设直线AB的方程为3x－4y－m＝0，

则d＝＝，解得m＝－2或－20（舍去），则直线AB的方程为3x－4y＋2＝0.故选B.

3．圆（x－2）2＋y2＝4关于直线y＝x对称的圆的方程是（　　）

A．（x－）2＋（y－1）2＝4

B．（x－）2＋（y－）2＝4

C．x2＋（y－2）2＝4

D．（x－1）2＋（y－）2＝4

解析　（x－2）2＋y2＝4的圆心为（2,0），其关于y＝x对称的点为（x，y），则解得x＝1，y＝，所以所求圆的方程为（x－1）2＋（y－）2＝4，故选D.

考向3　直线与圆、圆与圆的位置关系

例3　

（1）（2019·

东北三省高三第二次模拟）圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有（　　）

A．1条B．2条

C．3条D．4条

解析　x2－4x＋y2＝0⇒（x－2）2＋y2＝22，圆心坐标为（2,0），半径为2.x2＋y2＋4x＋3＝0⇒（x＋2）2＋y2＝12，圆心坐标为（－2,0），半径为1.圆心距为4，两圆半径和为3，因为4>

3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D.

（2）一条光线从点（1，－1）射出，经y轴反射后与圆（x－2）2＋y2＝1相交，则入射光线所在直线的斜率的取值范围为（　　）

A.B.

C.D.

解析　由题意可知，反射光线必过（－1，－1）点，设反射光线斜率为k，则反射光线为kx－y＋k－1＝0，由题意可知<

1，∴0<

k<

.∴入射光线所在直线的斜率取值范围为.故选C.

ax＋by＋1＝0是圆x2＋y2－6y＋5＝0的对称轴，且直线l与直线x＋y＋2＝0垂直，则直线l的方程为（　　）

A．x＋y－2＝0B．x－y＋2＝0

C．x＋y－3＝0D．x－y＋3＝0

解析　x2＋y2－6y＋5＝0化为标准方程x2＋（y－3）2＝4，其圆心为（0,3），因为直线l：

ax＋by＋1＝0是圆x2＋y2－6y＋5＝0的对称轴，故3b＋1＝0，得b＝－，又直线l与直线x＋y＋2＝0垂直，故－＝1，所以a＝，故直线l的方程为x－y＋1＝0，即x－y＋3＝0，选D.

（1）处理直线与圆的位置关系问题时，主要利用几何法，即利用圆心到直线的距离与半径的大小关系判断，并依据圆的几何性质求解．

（2）直线与圆相交涉及弦长问题时，主要依据弦长的一半、弦心距、半径的关系求解．

（3）经过圆内一点，垂直于过这点的半径的弦最短．

1．已知圆C：

（x－3）2＋（y－4）2＝4和两点A（－m,0），B（m，0）（m>

0），若圆C上存在点P，使得∠APB＝90°

，则m的最大值为（　　）

A．7B．6

C．5D．4

解析　由题意知，点P在以原点O（0,0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在圆C上，所以只要两个圆有交点即可．圆心C（3,4）到O（0,0）的距离为5，所以|m－2|≤5≤m＋2，解得3≤m≤7，即m的最大值为7.故选A.

2．直线y＝kx＋3被圆（x－2）2＋（y－3）2＝4截得的弦长为2，则k＝（　　）

A．±

B．±

解析　圆（x－2）2＋（y－3）2＝4的圆心坐标为（2,3），半径r＝2，圆心（2,3）到直线y＝kx＋3的距离d＝，∵直线y＝kx＋3被圆（x－2）2＋（y－3）2＝4截得的弦长为2，∴由勾股定理得r2＝d2＋2，即4＝＋3，解得k＝±

.故选A.

3．（2019·

朝阳区高三第一次模拟）已知圆C：

（x－2）2＋y2＝2，直线l：

y＝kx－2，若直线l上存在点P，过点P引圆的两条切线l1，l2，使得l1⊥l2，则实数k的取值范围是（　　）

A．[0,2－）∪（2＋，＋∞）

B．[2－，2＋]

C．（－∞，0）