解题19计Word文档格式.docx

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n=1，r=0，x=1

对一般情况讲，就是x=r+1这就是本题第1空的答案.

［插语］本题是填空题，只要结果，不讲道理.因此没有必要就一般情况进行解析，而是以点带面，点到成功.要点明的是，这个顶点也可以不选大三角形的顶点.因为三角形中任一个数，都等于对应的“脚下”两数之和，所以选择任何一个“一头两脚”式的小三角形，都能解出x=r+1.

第2道填空，仍考虑以点带面，先抓无穷数列的首项.

［解Ⅱ］在三角形中先找到了数列首项，并将和数列中的各项依次“以点连线”（图右实线），实线所串各数之和就是an.这个an，就等于首项左上角的那个.因为在向下一分为二进行依次列项时，我们总是“取右舍左”，而舍去的各项（虚线所串）所成数列的极限是0.

因此得到这就是本题第2空的答案.

［点评］解题的关键是“以点破门”，这里的点是一个具体的数，采用的方法是以点串线——三角形中的实线，实线上端折线所对的那个数就是问题的答案.

事实上，三角形中的任何一个数（点）都有这个性质.例如从这个数开始，向左下连线（无穷射线），所连各数之和（的极限）就是这个数的左上角的那个数.用等式表示就是

［链接］本题型为填空题，若改编成解答题，那就不是只有4分的小题，而是一个10分以上的大题.有关解答附录如下.

［法1］由知，可用合项的办法，将的和式逐步合项.

［法2］第二问实质上是求莱布尼茨三角形中从第三行起每一行的倒数的和，即根据第一问所推出的结论只需在原式基础上增加一项，则由每一行中的任一数都等于其“脚下”两数的和，结合给出的数表可逐次向上求和为，故，从而

［法3］

（2）将代入条件式，并变形得

取令得

，

………

以上诸式两边分别相加，得

［说明］以上三法，都是对解答题而言.如果用在以上填空题中，则是杀鸡动用了牛刀.为此我们认识到“芝麻开门，点到成功”在使用对象上的真正意义.

●对应训练

1．如图把椭圆的长轴AB分成8份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的一个焦点，则|P1F|+|P2F|+……+|P7F|=_______.

2．如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且A1P=CQ，则四棱锥B1—A1PQC1的体积与多面体ABC—PB1Q的体积比值为.

●参考解答

1．找“点”——椭圆的另一个焦点F2.

连接P1F2、P2F2、…、P7F2，由椭圆的定义FP5+P5F2=2a=10

如此类推FP1+P1F2=FP2+P2F2=…=FP7+P7F2=7×

10=70

由椭圆的对称性可知，本题的答案是70的一半即35.

2．找“点”——动点P、Q的极限点.

如图所示，令A1P=CQ=0.即动点P与A1重合，动点Q与C重合.

则多面体蜕变为四棱锥C—AA1B1B，四棱锥蜕化为三棱锥C—A1B1C1.

显然V棱柱.

∴∶=

于是奇兵天降——答案为.

［点评］“点到成功”的点，都是非一般的特殊点，它能以点带面，揭示整体，制约全局.这些特殊点，在没被认识之前，往往是人们的盲点，只是在经过点示之后成为亮点的.这个“点”字，既是名词，又是动词，是“点亮”和“亮点”的合一.

第2计西瓜开门滚到成功

比起“芝麻”来，“西瓜”则不是一个“点”，而一个球.因为它能够“滚”，所以靠“滚到成功”.球能不断地变换碰撞面，在滚动中能选出有效的“触面”.

数学命题是二维的.一是知识内容，二是思想方法.基本的数学思想并不多，只有五种：

①函数方程思想，②数形结合思想，③划分讨论思想，④等价交换思想，⑤特殊一般思想.数学破题，不妨将这五种思想“滚动”一遍，总有一种思想方法能与题目对上号.

［题1］（2006年赣卷第5题）

对于R上可导的任意函数f（x），若满足（x－1）f（x）0，则必有

A.f（0）＋f

（2）<

2f

（1）B.f（0）＋f

（2）≤2f

（1）

C.f（0）＋f

（2）≥2f

（1）D.f（0）＋f

（2）2f

（1）

［分析］　用五种数学思想进行“滚动”，最容易找到感觉应是③：

分类讨论思想.　这点在已条件（x-1）f＇（x）≥0中暗示得极为显目.

其一，对f＇（x）有大于、等于和小于0三种情况；

其二，对x-1，也有大于、等于、小于0三种情况.

因此，本题破门，首先想到的是划分讨论.

［解一］（i）若f＇（x）≡0时，则f（x）为常数：

此时选项B、C符合条件.

（ii）若f＇（x）不恒为0时.则f＇（x）≥0时有x≥1，f（x）在上为增函数；

f＇（x）≤0时x≤1.即f（x）在上为减函数.此时，选项C、D符合条件.

综合（i），（ii），本题的正确答案为C.

［插语］考场上多见的错误是选D.忽略了f＇（x）≡0的可能.以为（x-1）f＇（x）≥0中等号成立的条件只是x-1=0，其实x-1=0与f＇（x）=0的意义是不同的：

前者只涉x的一个值，即x=1，而后是对x的所有可取值，有f＇（x）≡0.

［再析］本题f（x）是种抽象函数，或者说是满足本题条件的一类函数的集合.而选择支中，又是一些具体的函数值f（0），f

（1），f

（2）.　因此容易使人联想到数学⑤：

一般特殊思想.

［解二］（i）若f＇（x）=0，可设f（x）=１.　选项Ｂ、Ｃ符合条件.

（ii）f＇（x）≠0.可设f（x）=（x-1）2又　f＇（x）=2（x-1）.

满足　（x-1）f＇（x）=2（x-1）2≥0，而对f（x）=（x-1）2.有f（0）=f

（2）=1，f

（1）=0

选项C，D符合条件.综合（i），（ii）答案为C.

［插语］在这类f（x）的函数中，我们找到了简单的特殊函数（x-1）2.如果在同类中找到了（x-1）4，（x-1），自然要麻烦些.由此看到，特殊化就是简单化.

［再析］本题以函数（及导数）为载体.数学思想①——“函数方程（不等式）思想”.贯穿始终，如由f（x）=0找最值点x=0，由f（x）>

0（<

0）找单调区间，最后的问题是函数比大小的问题.

由于函数与图象相联，因此数形结合思想也容易想到.

［解三］（i）若f（0）=f

（1）=f

（2），即选B，C，则常数f（x）=1符合条件.（右图水平直线）

（ii）若f（0）=f

（2）<

f

（1）对应选项A.（右图上拱曲线），但不满足条件（x-1）f（x）≥0

若f（0）=f

（2）>

f

（1）对应选项C，D（右图下拱曲线）.则满足条件（x-1）f（x）≥0.

［探索］本题涉及的抽象函数f（x），没有给出解析式，只给出了它的一个性质：

（x-1）f（x）≥0，并由此可以判定f（0）+f

（2）≥f

（1）.自然，有这种性质的具体函

数是很多的，我们希望再找到一些这样的函数.

［变题］以下函数f（x），具有性质（x-1）f（x）≥0从而有f（0）+f

（2）≥2f

（1）的函数是

A.f（x）=（x-1）3B.f（x）=（x-1）C.f（x）=（x-1）D.f（x）=（x-1）

［解析］对A，f（0）=-1，f

（2）=1，f

（1）=0，不符合要求；

对B，f（0）无意义；

对C，f（0）=-1，f

（2）=1，f

（1）=0，不符合要求；

答案只能是D.对D，f（0）=1，f

（1）=0，f

（2）=1.

且f（x）=（x-1）使得（x-1）f＇（x）=（x-1）（x-1）≥0.

［说明］以x=1为对称轴、开口向上的函数都属这类抽象函数.如f（x）=（x-1），其中m，n都是正整数，且n≥m.

［点评］解决抽象函数的办法，切忌“一般解决”，只须按给定的具体性质“就事论事”，抽象函数具体化，这是“一般特殊思想”在解题中具体应用.

［题2］已知实数x，y满足等式，试求分式的最值。

［分析］“最值”涉及函数，“等式”连接方程，函数方程思想最易想到.

［解一］（函数方程思想运用）

令y=k（x-5）与方程联立

消y，得：

根据x的范围应用根的分布得不等式组：

解得即≤≤即所求的最小值为，最大值为.

［插语］解出≤≤，谈何易！

十人九错，早就应该“滚开”，用别的思想方法试试.

［解二］（数形结合思想运用）

由得椭圆方程，

看成是过椭圆上的点（x，y），（5，0）的直

线斜率（图右）.

联立得

令得，故的最小值为，最大值为.

［插语］这就是“滚动”的好处，解二比解一容易多了.因此，滚动开门，不仅要善于“滚到”，还要善于“滚开”.

［点评］“西瓜开门”把运动学带进了考场解题.滚动能克服解题的思维定势.

解题时，要打破思维固化，在思想方法上要“滚动”，在知识链接上要“滚动”，在基本技能技巧上也要“滚动”.总之，面对考题，在看法、想法和办法上要注意“滚动”.

1.若动点P的坐标为（x,y），且lgy，lg|x|，lg成等差数列，则动点P的轨迹应为图中的（）

2.函数y=1-（-1≤x<

0）的反函数是（）

A.y=-（0<

x≤1）B.y=（0<

x≤1）

C.y=-（-1≤x<

0）D.y=（-1≤x<

0）

3.设a,b,c∈R,且4a-4b+c>

0,a+2b+c<

0,则下列结论中正确的是（）

A.b2≤acB.b2>

acC.b2>

ac且a>

0D.b2>

ac且a<

0

●参考答案

1.【思考】利用题设的隐含条件.由条件知x≠0,y>

0且y>

x.选项B中无x<

0的图像，选项D中无x>

0的图像，均应否定；

当x=y∈R+时，lg无意义，否定A,选C．

【点评】上面的解法中条件与选项一并使用，滚滚碰碰中终于找到了正确的选项.本题的常规解法是：

当x≠0且y>

x时，由lgy+lg=2lg|x|，化简可得（x+y）（2x-y）=0.∴y=-x或y=2x（x≠0,y>

0）.

2.【思考】分析各选项，仅解析式符号有区别.定义域中等号的位置有区别，所以拟从这两方面滚动着手排除错误的选项.

原函数定义域为-1≤x<

0，∴其反函数值域为-1≤y<

0，排除B、D.

∵原函数中f（-1）=1,∴反函数中f-1

（1）=-1,即x=1时f-1（x）有定义,排除C,∴选A．

3.解析一分析四个选择支之间的逻辑关系知,若C真,则B