毕业论文隐函数定理及其应用Word文档下载推荐.docx
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Keywords:
implicitfunctiontheorem;
Application;
Optimizationtheory;
proof
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绪论
通常我们遇到的函数都是因变量用自变量的一个解析式表示的,这种形式的函数我们称之为显函数.但在许多实际问题中,变量之间的函数关系往往不是用显式形式表示的,而是通过一个或多个方程来确定的,由此便产生了隐函数.隐函数的产生为许多数学问题的解决带来了极大的方便,本文就隐函数的存在性定理、连续性定理、可微性定理做了系统的研究.隐函数定理是高等数学和数学分析中的一个非常重要的定理,它不但是高等数学和数学分析中许多问题的理论基础,并且它也为许多数学分支,如微分几何、常微分方程、泛函分析等的进一步研究提供了坚实的理论依据.隐函数定理的应用围十分广泛,在数学分析、几何、优化理论、条件极值中均有重要作用.对隐函数定理与其应用的研究,可以加深我们对微分学的认识与理解.
现今国外很多学者都在研究隐函数定理与其应用这个课题,也把它的有关知识作为一种工具用于证明、计算其它定理.我国数学家文源、令先教授在1986年出版《隐函数定理》一书,在书中提出许多独到见解,并由隐函数定理得出许多推论.法国数学家扎芒斯凯在1989年出版《普通数学》一书,其中对隐函数定理进行了更深层次的研究.我国学者史艳维在2010年发表期刊《关于隐函数定理和Peano定理的一点注记》,其中给出了隐函数定理的另一种证明方法.我国学者王锋、蕴洁在2005年发表期刊《隐函数定理在经济学比较静态分析中的应用》,更好的诠释了隐函数定理在其他领域的应用.
本文主要论述了隐函数定理与隐函数定理的一些推论,并给出了隐函数定理在计算导数和偏导数、几何应用、条件极值、最优化问题这四个方面上的应用.
第1章隐函数
隐函数与我们以前接触的函数有所不同,它是数学分析中相对于显函数而言的一种函数变现形式.在这一章里,我们将具体地研究隐函数.
1.1隐函数
以前接触的函数(对应关系)多是用自变量的数学表达式表示的,一般称这样的函数为显函数.如,=等.
定义1.1[1]若自变量与因变量之间的对应关系是由某个方程所确定的,即有两个非空数集与,对任意,通过方程对应唯一一个,这种对应关系称为由方程所确定的隐函数.记为,,则成立恒等式
,
例如,二元方程在上确定(从中解得)一个隐函数.
隐函数不一定能写成的形式,如,因此隐函数不一定是函数,而是方程.其实总的来说,函数都是方程,而方程却不一定是函数[2].
1.2隐函数组的概念
定义1.2[3]设和为定义在区域上的两个四元函数,若存在平面区域,对于中每一点,分别在区间和上有唯一一对值,,它们与,一起满足方程组
(1-1)
则称方程组(1-1)确定了两个定义在区域上,值域分别在和的函数,称这两个函数为方程组(1-1)所确定的隐函数组.若分别记这两个函数为,则在上成立恒等式
1.3反函数组的概念
定义1.3[4]设有函数组
,(1-2)
如果能从此函数组(1-2)中,把,分别用,的二元函数表示出来,即
,(1-3)
则称(1-3)为函数组(1-2)的反函数组.
第2章隐函数定理
在第一章中我们已经介绍了隐函数的概念,设有方程,那么在什么条件下,此方程能确定一个隐函数?
在本章里,我们将讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅是出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.
2.1隐函数定理
定理2.1[5]若函数满足下列条件
(1)
(2)在点的一个邻域中,函数连续
(3)
则有下列结论成立:
①在点的某个邻域,方程唯一确定了一个定义在某区间的隐函数,满足且;
②在区间连续;
③在区间具有连续的导数,满足
证为了不失一般性,不妨设.
首先证明隐函数的存在性与惟一性.
由,我们知道是连续的,由的连续性与局部保号性可知,存在闭矩形域
有
所以,对任意的,在上严格单调增加.
因为,所以可得
又由于在上是连续的,所以存在,使得
所以,对于每一个固定的,在上都是严格单调增加的连续函数,并且有
因为零点存在定理,存在惟一的,使得.因此由与的对应关系就确定了一个函数,其定义域为,值域包含于,记为:
从而结论①得以证明.
其次证明隐函数的连续性.
任意取,对于任意给定的充分小的,可以得到
因为连续函数的保号性可知,存在,当时,有
因此,当时,由关于的单调性,相应于的隐函数值满足,于是,即,所以在连续.
最后证明隐函数的可微性.
任取和都属于,它们相对应的隐函数值为和,那么
由多元函数微分中值定理,可得
在这里,.因此,当充分小时
.
因为和是连续的,取极限可得
且在连续.
相应的,我们能够得出由方程所确定的元隐函数的存在定理:
定理2.2[6]如果满足下列条件
(1);
(2)在点的一个邻域,函数连续;
(3),
那么则有以下结论成立:
①在点的某个邻域,方程惟一确定了一个定义在点某邻域的隐函数,满足,且;
②在邻域连续;
③在邻域具有连续的偏导数,满足
例2.1验证方程在原点的某邻域确定唯一的连续函数.
证由于与都在上连续,当然在点的邻域连续,且
由此可知方程在点的某邻域确定唯一连续的隐函数.
2.2隐函数组定理
下面我们将给出由方程组所确定的隐函数组的存在定理.
定理2.3[7]设以与它们的一阶偏导数在以点为点的某区域连续,且满足
(2)
则方程组在的某邻域唯一确定两个隐函数,,有下列结论成立:
①,则有
②在邻域具有连续的一阶偏导数,且
例2.2[8]验证方程组在点的邻域确定隐函数组,并求,.
解令,
则:
与以与它们的一阶偏导数都连续
且,
所以由隐函数组定理可知题设方程组确定隐函数组
在方程两端同时对求导得
解得,
2.3反函数组定理
定理2.4[9]若函数组满足如下条件:
(1)均具有连续的偏导数
则函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
且有
,,,
与或
定理2.5若函数组满足如下条件:
则此函数组可确定唯一的具有连续偏导数的反函数组
且有
例2.2[10]在中的一点,其直角坐标与相应球坐标的变换公式为
其中,则函数组(除去轴上的点)可确定反函数组.
证由于
由反函数组定理,函数组(除去轴上的点)可确定分别是的函数,事实上,函数组的反函数组为,,.
第3章隐函数定理的应用
3.1计算导数和偏导数
3.1.1隐函数的导数[11]
设方程确定一个单值可导函数,将代入方程得恒等式,在恒等式两边对求导,便得到一个含有的方程,解出就求出了隐函数的导数,在恒等式两边对求导时,必须注意是的函数,要利用复合函数求导法.
例3.1求由方程所确定的隐函数对的导数.
解我们在方程两端对求导,注意是的函数,于是则是的复合函数,运用复合函数求导法可得所以.
3.1.2隐函数组的导数[12]
对方程组的各个方程两边对某自变量求导,遇见因变量就把它看作自变量的函数,最后解方程组,就可得到隐函数对各个自变量的导数或偏导数.
例3.2求函数的偏导数.
解
(1)当时,有
(