误区81 忽略直线的斜率不存在失误突破170分之江苏届高三数学复习提升秘籍解析版Word文档格式.docx

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（2）

（2）由和得交点B（2，1）

依题意AB和直线垂直距离最大。

又A（1，0）

距离最大值为

【点评】若忽视斜率不存在，则容易漏解．

【小试牛刀】已知椭圆C：

x2＋2y2＝4.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y＝2上，且OA⊥OB，试判断直线AB与圆x2＋y2＝2的位置关系，并证明你的结论．

（1）由题意得，椭圆C的标准方程为＋＝1，

所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2.

因此a＝2，c＝.故椭圆C的离心率e＝＝.

（2）直线AB与圆x2＋y2＝2相切．证明如下：

设点A，B的坐标分别为（x0，y0），（t，2），其中x0≠0.

因为OA⊥OB，所以·

＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－.

当x0＝t时，y0＝－，代入椭圆C的方程，得t＝±

，

故直线AB的方程为x＝±

，圆心O到直线AB的距离d＝.

此时直线AB与圆x2＋y2＝2相切．

当x0≠t时，直线AB的方程为y－2＝（x－t）．

即（y0－2）x－（x0－t）y＋2x0－ty0＝0.

圆心O到直线AB的距离d＝.

又x＋2y＝4，t＝－，故d＝＝＝.

【点评】注意本题第2问，要分x0＝t及x0≠t两种情况讨论，因为x0＝t时，直线AB的斜率不存在。

二、用直线的斜截式方程，忘记讨论斜率不存在而致误

方程表示斜率为k，且在y轴上的截距为b的直线，称作直线的斜截式方程，在利用直线的斜截式方程解题，也要判断直线的斜率是否存在，若有可能不存在，则要分斜率存在与不存在两种情况讨论．

【例2】已知椭圆C：

＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线l与椭圆C交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为，求△AOB面积的最大值.

【分析】第2问，在设直线l方程时要考虑斜率存在与不存在两种情况。

当且仅当9k2＝，即k＝±

时等号成立.当k＝0时，|AB|＝.综上所述：

|AB|max＝2.

∴当|AB|最大时，△AOB的面积取得最大值S＝×

|AB|max×

＝.

【牛刀小试】【2015湖北高考理21一种作图工具如图1所示．是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆通过处铰链与连接，上的栓子可沿滑槽滑动，且，．当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动一周（D不动时，N也不动），M处的笔尖画出的曲线记为C．以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系．

（1）求曲线的方程；

（2）设动直线与两定直线和分别交于两点．若直线

总与曲线有且只有一个公共点，试探究：

的面积是否存在最小值？

若

存在，求出该最小值；

若不存在，说明理由．

第21题图1

第21题图2

（1）设点，，依题意，

，且，

所以，且

即且

由于当点不动时，点也不动，所以不恒等于0，

于是，故，代入，可得，

即所求的曲线的方程为

（）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有.

三、直线方程在解题中的应用

方程表示经过点的直线，注意该方程可以表示经过点，斜率不存在的直线，但不表示经过点斜率为0的直线，所以若能判断直线过，且斜率可能不存在但不为0，可考虑设其方程为，这样可以避免讨论斜率是否存在。

【例3】【2015江苏高考18题】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的

离心率为，且右焦点到直线（其中）的距离为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程．

因此

则点的纵坐标为，

于是点的横坐标为，

又，故，

所以，

因为可得，

化简得，即，

化简得，计算得，

从而直线方程为或．

又，，

故，

因为，故，

即，即，

整理得，即，即，

解得，从而直线方程为或．

【牛刀小试】设抛物线C：

y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线L与C相交于A，B两点．

（1）设L的斜率为1，求|AB|的大小；

（2）求·

的值．

【解析】：

【迁移运用】

1.若直线过点P（－3，－）且被圆x2＋y2＝25截得的弦长是8，则该直线的方程为______________.

【答案】x＝－3或3x＋4y＋15＝0

【解析】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为x＝－3，代入圆的方程解得y＝±

4，故该直线被圆截得的弦长为8，满足条件；

若直线的斜率存在，不妨设直线的方程为y＋＝k（x＋3），即kx－y＋3k－＝0，因为该直线被圆截得的弦长为8，故半弦长为4.又圆的半径为5，则圆心（0，0）到直线的距离为＝，解得k＝－，此时该直线的方程为3x＋4y＋15＝0.

2．【2016届重庆市第一中学高三12月月考】已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：

在坐标平面上是否存在一个定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？

若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）；

（2）存在且定点为．

（2）假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，将它代入椭圆方程，并整理得．

设点的坐标分别为，则，

因为及，

所以

＝．

当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点，

所以，解得，

此时以为直径的圆恒过定点．

当直线的斜率不存在，与轴重合，以为直径的圆为也过点．

综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件．

3．【2016上海复旦大学附中届高三上期中】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点是椭圆的一个顶点，△是等腰直角三角形．

（2）设点是椭圆上一动点，求线段的中点的轨迹方程；

（3）过点分别作直线，交椭圆于，两点，设两直线的斜率分别为，，

且，探究：

直线是否过定点，并说明理由.

（1）

（2）（3）直线过定点（）．

所以，即．

所以，整理得．故直线的方程为，即（）．所以直线过定点（）．

若直线的斜率不存在，设方程为，设，，由已知，得．此时方程为，显然过点（）．

综上，直线过定点（）．

4．【2016届福建省上杭县一中高三上学期半期考试】设是椭圆上的两点，已知向量，若且椭圆的离心率，短轴长为2，O为坐标原点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c），（c为半焦距），求直线AB的斜率k的值；

（Ⅲ）试问：

△AOB的面积是否为定值？

如果是，请给予证明；

如果不是，请说明理由．

（Ⅰ）；

（Ⅱ）；

（Ⅲ）三角形的面积为定值1．

（Ⅱ）由题意，设AB的方程为，所以，

由已知得：

，解得．

（Ⅲ）

5．【2016届云南师范大学附属中学高考适应性月考】已知椭圆C：

的离心率为，连接椭圆四个顶点形成的四边形面积为4．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点A（1，0）的直线与椭圆C交于点M，N，设P为椭圆上一点，且O为坐标原点，当时，求t的取值范围．

（2）．

，即．

当直线MN的斜率不存在时，，此时，

．

6．已知椭圆C:

过点，且离心率为.

（2）过右焦点的直线与椭圆相交于两点,且,求直线的方程.

（2）当直线的斜率不存在时,其方程为,经验证，不符合题意；

当直线的斜率存在时,设直线的方程为.由

可得得

.

7．【2014高考福建理第19题】已知双曲线的两条渐近线分别为.

（1）求双曲线的离心率；

（2）如图，为坐标原点，动直线分别交直线于两点（分别在第一，

四象限），且的面积恒为8，试探究：

是否存在总与直线有且只有一个公

共点的双曲线？

若存在，求出双曲线的方程；

若不存在，说明理由.

由得,.因为,所以,又因为.所以,即与双曲线E有且只有一个公共点.

因此,存在总与有且只有一个公共点的双曲线E,且E的方程为.

8.已知椭圆，离心率为，两焦点分别为、，过的直线交椭圆于两点，且△的周长为.

（2）过点作圆的切线交椭圆于两点，求弦长的最大值.

又由l与圆得

9分

因为所以

且当时，|AB|=2，

由于当时，所以|AB|的最大值为2.12分

9.已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左、右焦点分别为F1和F2，且|F1F2|＝2，点（1，）在该椭圆上．

（2）过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的面积为.求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．

化简得：

17k4＋k2－18＝0，得k＝±

1，

∴r＝，圆的方程为（x－1）2＋y2＝2.

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