备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板专题30 应用基本不等式求最值的求解策略答案解析Word格式文档下载.docx

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点评：

本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。

【变式演练1】当时，求的最大值。

【答案】8.

试题分析：

由知，，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。

注意到为定值，故只需将凑上一个系数即可。

当，即x＝2时取等号当x＝2时，的最大值为8。

【变式演练2】求函数的最小值。

方法二分离法

第一步首先观察已知函数的表达式的特征，如分子（或分母）是二次形式且分母（或分子）是一次形式；

第二步把分母或分子的一次形式当成一个整体，并将分子或分母的二次形式配凑成一次形式的二次函数形式；

第三步将其化简即可得到基本不等式的形式，并运用基本不等式对其进行求解即可得出所求的结果.

例2求的值域。

【答案】详见解析.

当,即时,（当且仅当x＝1时取“＝”号）。

【方法点晴】本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x＋1）的项，再将其分离。

分式函数求最值，通常直接将分子配凑后将式子分开或将分母换元后将式子分开再利用不等式求最值。

即化为，g（x）恒正或恒负的形式，然后运用基本不等式来求最值。

【变式演练3】求函数的最值。

上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了应用均值不等式求最值时的条件，两个数都应大于零，因而导致错误。

因为函数的定义域为，所以必须对的正负加以分类讨论。

方法三函数法

在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况

第一步运用凑项或换元法将所给的函数化简为满足基本不等式的形式；

第二步运用基本不等式并检验其等号成立的条件，若等号取不到则进行第三步，否则，直接得出结果即可；

第三步结合函数的单调性，并运用其图像与性质求出其函数的最值即可；

第四步得出结论.

例3求函数的值域。

令，则

因，但解得不在区间，故等号不成立，考虑单调性。

因为在区间单调递增，所以在其子区间为单调递增函数，故。

所以，所求函数的值域为。

【变式演练4】下列函数中，最小值为4的是（）

A．　　　　　B．（）

C．　　　　D．

【答案】C

，当且仅当时等号成立，故选C.

考点：

基本不等式．

【高考再现】

1.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（）

（A）16（B）18（C）25（D）

【答案】B

【考点定位】函数与不等式的综合应用.

【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m、n满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现.

2.【2015高考湖南，文7】若实数满足，则的最小值为（）

A、B、2C、2D、4

【解析】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.

【考点定位】基本不等式

【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

3.【2015高考福建，文5】若直线过点，则的最小值等于（）

A．2B．3C．4D．5

【考点定位】基本不等式．

【名师点睛】本题以直线方程为背景考查基本不等式，利用直线过点寻求变量关系，进而利用基本不等式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三个条件“正，等，定”，属于中档题．

4.【2015高考重庆，文14】设,则的最大值为________.

【答案】

【解析】由两边同时加上

得两边同时开方即得：

（且当且仅当时取“=”），

从而有（当且仅当,即时，“=”成立），故填：

.

【考点定位】基本不等式.

【名师点睛】本题考查应用基本不等式求最值，先将基本不等式转化为（a>

0,b>

0且当且仅当a=b时取“=”）再利用此不等式来求解.本题属于中档题，注意等号成立的条件.

5.【2015高考天津，文12】已知则当a的值为时取得最大值.

【答案】4

【考点定位】本题主要考查对数运算法则及基本不等式应用.

【名师点睛】在利用基本不等式求最值时,一定要紧扣“一正、二定、三相等”这三个条件,注意创造“定”这个条件时常要对所给式子进行拆分、组合、添加系数等处理,使之可用基本不等式来解决,若多次使用基本不等式,必须保持每次取等的一致性.

6.【2015高考陕西，理9】设，若，，，则下列关系式中正确的是（）

A．B．C．D．

【解析】，，，函数在上单调递增，因为，所以，所以，故选C．

【考点定位】1、基本不等式；

2、基本初等函数的单调性．

【名师点晴】本题主要考查的是基本不等式和基本初等函数的单调性，属于容易题．解题时一定要注意检验在使用基本不等式求最值中是否能够取得等号，否则很容易出现错误．本题先判断和的大小关系，再利用基本初等函数的单调性即可比较大小．

【反馈练习】

1.【2016河南中原名校一联】在中，角，，的对边分别为，，，已知向量

，，且．

（1）求角的大小；

（2）若，求面积的最大值．

2.【2017届山西右玉一中高三上期中数学（理）试卷，理5】当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（）

【答案】D

设，因为，所以，则

，所以，因此要使不等式恒成立，则，所以实数的取值范围是，故选D.

均值不等式．

3.【2017届宁夏石嘴山三中高三10月月考数学试卷，文9】直线平分圆，则的最小值是（）

A.B.C.D.

原方程可化为：

圆心代入直线方程，故选C.

1、直线与圆；

2、重要不等式.

4.【2016-2017学年河北馆陶县一中高二上期中数学试卷，理6】已知点在直线上运动，则的最小值是（）

A.B.2C.2D.4

基本不等式性质

5.【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试试卷，理10】若实数满足，则的最大值为（）

A．B．C.D．

由实数满足，，设，解得，

则，当且仅当，及时等号成立，所以的最大值为，故选D.

基本不等式的应用.

6.【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试试卷，文10】设，对于使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做的下确界．若为正实数，且，则的下确界为（）

7.【2016-2017学年河南郑州一中网校高二上期中联考文数试卷，文11】设则的最小值是（）

A．1B．2C．3D．4

因为，所以，所以

，当且仅当且

，即且时取等号，所以则的最小值是，故选D．

8.【2016-2017年河南西平县高级中学高二十月月考数学试卷，文9】已知，且，，则的取值范围是（）

由，且得，所以

，当且仅当等号是成立的，所以的取值范围是，故选D.

9.【2017届山东潍坊中学高三上学期月考一数学试卷，文9】已知，且，若恒成立，则实数的最大值为（）

【答案】A

基本不等式求最值

10.【2016-2017学年重庆市第一中学高二10月月考数学试卷，理10】若正实数满足，则的最小值是（）

A．12B．6C．16D．8

【解析】

由化简得，.

11.【2017届河北武邑中学高三上期中数学试卷，理15】已知定义在上的单调函数满足对任意的，都有成立．若正实数满足，则的最小值为___________．

试题分析:

令可得,再令,则,即,也即,故函数是奇函数,故由可得,所以,故应填答案.

函数的奇偶性及基本不等式的综合运用．

12.【2016广西桂林调研考试】已知、为正实数,向量,若,则的最小值为______．

基本不等式的运用．

13.【2016届浙江绍兴柯桥区高三教学质量调测二模理数试卷，理15】已知正实数满足,则的最小值为,的取值范围是．

试题分析:

因,故,又因为.因,故,即,所以.故应填答案..

考点：

14.【2016-2017学年河南郑州一中高二上期中考试理数试卷，理13】若，则的最小值为__________.

【答案】

基本不等式求最值.

15.【2016-2017学年辽宁大连二十高级中高二上期中数学试卷，文19】已知正数满足．

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）求的最小值.

（Ⅰ）（Ⅱ）

（Ⅰ）将已知中的利用转化为表示，进而解的不等式求得其最值；

（Ⅱ）将变形为代入转化为用表示的函数，从而可求得函数最值

试题解析：

（Ⅰ），设，所以，解得，

所以最小值为，当，即时取到.

（Ⅱ）由题可得，

所以，即最小值为，

当，即时取到.

均值不等式求最值