罗尔定理PPT资料.ppt

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第1节微分中值定理,一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西定理,一、罗尔定理,（iii）f（a）=f（b）.,若函数f（x）满足下列条件：

@#@,（i）在闭区间a,b上连续；@#@,（ii）在开区间（a,b）内可导；@#@,罗尔定理的几何意义:

@#@,如果连续曲线除端点外处处都具有不垂直轴的切线，且两端点处的纵坐标相等，那么其上至少有一条平等于轴的切线.,值得注意的是，该定理要求函数y=f（x）应同时满足三个条件.若定理的三个条件不完全满足的话，则定理的结论可能成立，也可能不立.（如图3-2）,区间内有不可导的点,两端点的函数值不相等,区间内有不连续的点,图3-2,并指出它们所在的区间。

@#@,分别在区间（1,1）,（1,2）,（2,3）内。

@#@,证：

@#@,显然,f（x）分别在闭区间1,1,1,2,2,3上连续，,例1设函数f（x）=（x+1）（x1）（x2）（x3），,证明方程f（x）=0有三个实根，,且f

（1）=f

（1）=f

（2）=f（3）,.由罗尔定理，,在（1,1）,（1,2）,（2,3）内分别存在点1,2,3，,使得f

（1）=f

（2）=f（3）=0,即方程f（x）=0有三个实根，,在开区间（1,1）,（1,2）,（2,3）内可导，,二、拉格朗日定理,若函数f（x）满足下列条件：

@#@,（i）在闭区间a,b上连续；@#@,则至少存在一点（a,b），使,（ii）在开区间（a,b）内可导，,拉格朗日定理的几何意义：

@#@,曲线y=f（x）在该点的切线斜率与弦AB的斜率相等.（如图3-3）,如函数f（x）在闭区间a,b上连续，,在开区间（a,b）内可导，,则在（a,b）内至少有一点，,设函数f（x）在开区间（a,b）上可导，且f（x）0，,则f（x）在I上为常数。

@#@,设在区间I上，,推论1,推论2,例2证明：

@#@,且,所以，,（i）在闭区间a,b上连续；@#@,则至少存在一点（a,b），使,（ii）在开区间（a,b）内可导，,三、柯西定理,若函数f（x）及F（x）满足:

@#@,且f（x）在（a,b）内恒不为零,例3对函数,在区间1,2上验证柯西定理的正确性.,在（1,2）内可导,故可取,