高级数理逻辑第4讲分析Word文档格式.docx
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个体域即论域包含所描述问题域中的常元和变元。
P（x）
●函词：
个体上可以进行运算，能够产生新的个体。
这些运算被称为函数，在一阶谓词里被称为的函词（函数）。
F（x,y）=x*y
●谓词：
我们在研究个体的时候，主要研究个体的性质。
这些有关个体性质的描述称为谓词。
Q（y）,P（x,y）:
:
x<
y
●量词：
关于个体性质，不一定是对全体的个体的都成立。
有的对一个范围内成立，有离散的几个个体成立，有的对全部都成立。
为了描述这种范围特征，一阶谓词引入了量词。
2、谓词和函词
●谓词定义：
谓词表示个体性质和关系的语言成分。
它附带放置对象的空位，只有空位被填充对象，谓词才有意义。
没有被填充对象的谓词，称为谓词命名式；
相反为谓词填式。
谓词后面的空位个数为谓词的元数。
谓词是一个体域上的n元关系。
通常P（x,y,z）=0,1，表示x,y之间具有关系P（1,2）。
●函词定义：
函词是表示某种操作的语言成份。
用于在给定的个体基础上，产生新的个体对象。
与谓词一样，函词具有空位的概念。
函词后面空位的个数为函词的元数。
通常用F（x,y,z）=x+y+z表示。
3、变元和常元
●常元：
常元表示个体域中的一个确定个体。
如：
5，ZhangSan等。
●变元：
变元可以用来表示个体域上的任意个体，是不确定的。
例如：
（1）z+y=0P（f（y,z））二元谓词表示方程
P（f（x,z））==;
P（f（-3,2））
－3＋2＝0
Z+y=x+y=0
（2）对所有z，x，y•x=x•yQ（x*Z,Z*x）二元谓词表示乘法交换率
Q（x,z）=1
3*2=2*3
Q（f（x,y）,f（y,x））=
Q（f（1,2）,f（2,1））=1
从这个例子来看，变元是具有不同的性质的。
因此，在一阶谓词逻辑中将变元划分成自由变元和约束变元。
f（x）+x+z=0
对于所有的X,Y,P（x,y）<
=P（X,Y）
●自由变元：
自由变元是真正的变元，可以将个体域中的任意个体代入到自由变元中。
类似于数学中的变元。
●约束变元：
约束变元并不是实际意义的变元（数学意义上的变元）。
约束变元是为表达某种想的辅助符号。
●自由变元与约束变元的对比：
自由变元约束变元
可代入不可代入
不可改名可改名
举例说明：
采用上例。
4、量词
我们引入了谓词、函词、变元和常元的概念，还不能充分的描述现实中的命题。
例如对于下面的命题：
如果P（x）对任意x恒真，则P（x+1）恒真。
我们现在表示，只能用P（x）
P（x+1），来表示。
而这种表示方法没有确定的含义，例如可以认为P（x）是存在一个x的值是P（x）成立。
为了描述这些谓词的成立范围，一阶谓词逻辑引入了量词的概念。
xQ（X2）=~
~Q（X2）
Q（X,100000）=~
x~Q（X,100000）
~
xQ（X,100000）=
~Q（X,100000）
z
y（Q（z*y,y*z））
xP（x）
yP（y+1）；
P大于0，x论域是自然数,
xP（x）à
yP（y+1）
x
y（P（x）à
P（y+1））
x（P（x）
P（x+1））;
P大于0，x论域是实数
●全称量词：
中的
称为全称量词，
中的x称为
的指导变元；
称为量词的辖域。
（A（x））-->
B（x）
●存在量词：
称为存在量词，
（Aà
B）à
C
==x=1,A
（1）à
B
（1）
A
（1）à
Aà
B
A（1,…）=1
●指导变元是约束变元。
●量词等价公式：
1.
xA（x）╞│
{1,2,3}===~（~（A
（1）^A
（2）^A（3）））=1P（x,y）
Y=1,x=1,x=2,x=3,P（x,y）=1===P（1,1）,P（2,1）,P（3,1）=1
X=1,y=1,P（1,1）=1P（1,2）=0,P（1,3）=0
X=2,y=2P（2,2）=1,P（2,1）=P（2,3）=0
X=3,y=3,P（3,1）=P（3,2）=0,P（3,3）=1
;
\
~（~A
（1）v~A
（2）v~A（3））=~~A
（1）&
~~A
（2）&
~~A（3）
2.
╞│
3.
╞│
4.
5.
╞│
6.
（x,y）f（x）
（x,y）
（A（x）à
A（x+z））
A（x）à
A（x+z）
xA（x）V
xB（x）=
x（A（x）VB（x）;
A
（1）^A
（2）^A（3）B
（1）^B
（2）^B（3）
A
（1）,B
（1）;
B
（2）,A
（2）;
A（3）,B（3）
====
y（A（x）VB（y））=
x（A（x）VB（x））
5、用一阶谓词逻辑描述问题：
所有实数的平方是非负的
是实数
的平方是非负的
一阶谓词的表示：
4.2一阶形式系统（FSFC）
回顾形式系统的构成，主要有语言部分和推理部分构成。
语言部分是一阶语言。
4.2.1一阶语言
一阶语言可以从以下几个方面定义：
符号表、项集、公式集等三个部分。
1、符号表
●个体变元符号：
x,y……
●个体常元符号：
●函词符号：
（一元函词）
（n元函词）
●谓词符号：
（一元谓词）
（n元谓词）
●联结词：
●技术符：
2、项：
谓词所讨论的对象。
项是递归定义的集合，其定义如下：
（1）变元和常元交项；
（2）对于任意正整数n和函数
，如果
为项
那么
为项；
（3）除有限次使用
（1）
（2）得到外，没有任何项。
{a,x,f（）}={a,x,fn（a）,fn（x）}
由定义可知，项集是递归定义的、是可判定的。
3、公式集：
公式由以下递归定义：
（1）对于任意正整数n，如果
为项，那称
为公式，并为原子公式；
（2）如果A，B为公式，那么
，
公式；
（3）公式都是有限次使用
（1）
（2）得到的，除此之外无其他公式。
4.2.2一阶语言性质
●闭项：
不含自由变元的项
，
●闭公式：
不含自由变元的公式
P（a,b）
y（P（a,y）à
B（y））=
x（（P（a,x））－>
B（x））
y（P（a,y）－>
B（y））=
x（P（a,x）－>
B（y））
A（x）=1,0;
xA（x）;
●辖域：
公式A称为量词
的辖域，如果
与A相邻，且A的任何真截断不是公式
●约束出现：
在公式A中，变元x的某个出现叫做约束出现，如果x为
（x）的指导变元或在
x，
x的辖域内。
否则为自由出现
=VyP（y）à
~P2（x1）
x1为约束出现，x2为自由出现
●可代入性：
称项t是对A中自由变元x可代入的；
如果A中项x的任何自由出现都不在
的辖域内，这里y是t中的任意自由变元。
y
zP（x,z）
yP（x,f+1）
yA（x,y）t=y+1;
yP（x+1,z）
P（5,6）
t=y+1
yP（y+1,z）
t=（x1+z）A=
yP（x1+z,z）
y=x+a=t不可代入，y=z+a为可代入的。
●代入：
将公式A中变元x的所有自由出现代换为项t的过程称为代入，代入后所得公式称A的实例。
将项x+a代入到公式
中的y得到：
P（x,y,z）à
Q（x）
（y+1）/x,P（y+1,y,z）à
Q（y+1）P（y+1,z+1,z）à
Q（y+1）
（z+1）/y,P（z+2,z+1,z）à
Q（z+2）P（x,z+1,z）à
P（y+1,z+1,z）à
Q（y+!
）
yP（x,z）
yP（z+1,z）:
yP（y+x+1,y+x）
yP（z+1,y+x）
{（z+1）/x,（y+x）/z}
我们用记号
表示对A中变元
，同时作代入，
代换为项
…
。
这与下面的逐步代入是不同的：
xP（x,y,z）====
Y=z+1,z=y1+1
xP（x,z+1,y1+1）
xP（x,z+1,z）,
xP（x,y1+2,y1+1）
Y=y1+2;
z=y1+1
例：
设公式A为
可以写为
，那么v2à
v1,v3à
v2
P（v1,v2）==P（v2,v2）==P（v3,v3）
P（v2,v3）
P（V1,V2）-----P（v2,v2）----P（v3,v3）
P（v1,v2）;
P（v2,v2）;
P（v3,v3）
P（v1,v2）=P（v2,v2）=P（v3,v3）
P（v1,v2）=（v2,v3）
可代入性保证了代入过程中变项的约束关系不发生改变，即原来约束的代入后仍旧是约束的；
原来自由的代入后仍旧是自由的。
●子公式：
称公式B为A的子公式，如果A为形如
的符号串，其中B为公式。
当
有一个非空时，称为真子公式。
●改名：
任何约束变元可改名，公式A中变元x为约束出现，将x改为其它变元，是合理的
＝P1（x）à
VyP2（y）
xA（x）-->
A（x）
两式等价。
●公式性质和项的性质（递归集合），可以用归纳证明（根据公式和项定义过程来证明）。
●设
为公式A中所有的自由变元，那么公式
称为公式A的全称化（generalizations），其中
公式
称为公式A的全称封闭式。
当A中无自由变元时，A的全称封闭式是A本身。
4.2.3推理部分
推理部分包含：
公理集合和推理规则集合。
1、公理集合
A1
A2
A3
A4
（t对于A中的变元x是可代入的，将t代入A中的x）
A5
A6
（x在A中无自由出现==无出现）
2、推理规则
分离规则
4.2.4推理性质
●A1-A3为FSPC中的公理
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