山东省枣庄市中考数学总复习聚焦枣庄专题五函数压轴题试题Word下载.docx

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葫芦岛）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A＝60°

，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH.设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（　　）

类型二二次函数综合题

二次函数的综合题是中考数学的必考问题，一般作为压轴题出现，常与动点、存在点、相似等相结合，难度较大，是考生失分的重灾区．

1．二次函数动点问题

（2017·

滨州）如图，直线y＝kx＋b（k，b为常数）分别与x轴、y轴交于点A（－4，0），B（0，3），抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.

（1）求直线y＝kx＋b的函数表达式；

（2）若点P（x，y）是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为d，求d关于x的函数表达式，并求d取最小值时点P的坐标；

（3）若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE＋EF的最小值．

【分析】

（1）利用待定系数法可求得直线表达式；

（2）过P作PH⊥AB于点H，过H作HQ⊥x轴，过P作PQ⊥y轴，两垂线交于点Q，则可证明△PHQ∽△BAO，设H（m，m＋3），利用相似三角形的性质可得到d与x的函数表达式，再利用二次函数的性质可求得d取得最小值时的P点的坐标；

（3）设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质确定出C′点的坐标，利用

（2）中所求函数表达式求得d的值，即可求得CE＋EF的最小值．

解决二次函数动点问题，首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动，运动速度是多少，结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度，最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．

3．（2017·

菏泽）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx＋1交y轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），与过A点的直线相交于另一点D（3，），过点D作DC⊥x轴，垂足为C.

（1）求抛物线的表达式；

（2）点P在线段OC上（不与点O，C重合），过P作PN⊥x轴，交直线AD于M，交抛物线于点N，连接CM，求△PCM面积的最大值；

（3）若P是x轴正半轴上的一动点，设OP的长为t，是否存在t，使以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形？

若存在，求出t的值；

若不存在，请说明理由．

2．二次函数存在点问题

苏州）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OB＝OC.点D在函数图象上，CD∥x轴，且CD＝2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点．

（1）求b，c的值；

（2）如图①，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F′恰好在线段BE上，求点F的坐标；

（3）如图②，动点Ρ在线段OB上，过点Ρ作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N.试问：

抛物线上是否存在点Q，使得△PQN与△APM的面积相等，且线段ΝQ的长度最小？

如果存在，求出点Q的坐标；

如果不存在，说明理由．

【分析】

（1）由条件可求得抛物线对称轴，则可求得b的值；

由OB＝OC，可用c表示出B点坐标，代入抛物线表达式可求得c的值；

（2）可设F（0，m），则可表示出F′的坐标，由B，E的坐标可求得直线BE的表达式，把F′坐标代入直线BE表达式可得到关于m的方程，可求得F点的坐标；

（3）设点P坐标为（n，0），可表示出PA，PB，PN的长，作QR⊥PN，垂足为R，则可求得QR的长，用n可表示出Q，R，N的坐标，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到关于n的二次函数，利用二次函数的性质可知其取得最小值时n的值，则可求得Q点的坐标．

解决二次函数存在点问题，一般先假设该点存在，根据该点所在的直线或抛物线的表达式，设出该点的坐标；

然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；

最后结合题干中其他条件列出等式，求出该点的坐标，然后判别该点坐标是否符合题意，若符合题意，则该点存在，否则该点不存在.

4．（2016·

日照）如图1，抛物线y＝－[（x－2）2＋n]与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋3，0）（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接BC.

（1）求m，n的值；

（2）如图2，点M，P分别为线段BC和线段OB上的动点，连接PM，PC，是否存在这样的点P，使△PCM为等腰三角形、△PMB为直角三角形同时成立？

若存在，求出点P的坐标；

3．二次函数相似问题

枣庄）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD.

（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

备用图

【分析】

（1）由B，C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线表达式，再求其顶点D即可；

（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；

（3）由M，N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线表达式可求得Q点的坐标．

二次函数相似问题常与动点、存在点相结合，利用动点或存在点的坐标表示出与相似三角形有关的线段长，要注意边的对应有多种可能，对每一种情况都要具体分析讨论，然后利用相似三角形的对应边成比例列出方程，通过解方程求得结果，还要考虑求出的结果是否符合题意及实际情况．

5．（2016·

济南）如图1，抛物线y＝ax2＋（a＋3）x＋3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B.在x轴上有一动点E（m，0）（0<

m<

4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M.

（1）求a的值和直线AB的函数表达式；

（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；

（3）如图2，在

（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°

<

α<

90°

），连接E′A，E′B，求E′A＋E′B的最小值．

参考答案

【聚焦枣庄】

【例1】D　如图，过点D作DF⊥AB于点F，过点Q作QG⊥AB于点G，

当0≤t≤2时，点Q在线段ND上．

∵AB∥CD，∠B＝90°

，

∴四边形BCDF是矩形，∴DF＝BC＝4，

∴AF＝＝3，∴DC＝BF＝2，

∴AQ＝AN＋NQ＝3＋t，AP＝AM＋MP＝1＋t.

∵QG∥DF，∴△AQG∽△ADF，

∴＝，即＝，∴QG＝（3＋t），

∴S＝AP·

QG＝×

（1＋t）×

（3＋t）＝t2＋t＋，且当t＝2时，点Q恰好运动到点D，S＝6；

当2＜t≤4时，点Q在线段DC上，

BC＝×

4＝2t＋2；

当4＜t≤5时，点P，Q均在BC上运动，BP＝CQ＝t－4，

∴PQ＝BC－BP－CQ＝12－2t，

∴S＝AB·

PQ＝×

5×

（12－2t）＝－5t＋30，

且当t＝5时，点Q运动到点E后停止运动，此时S＝5.

综上所述，S＝

S与t之间的函数关系的大致图象为C或D.

∵t＝2时，S＝6；

t＝5时，S＝5，6＞5，

∴S与t之间的函数关系的大致图象为D.

变式训练

1．B　2.A

【例2】

（1）∵y＝kx＋b经过A（－4，0），B（0，3），

∴解得

∴直线的函数表达式为y＝x＋3.

（2）如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A，P作MN的垂线段，垂足分别为M，N.

设H（m，m＋3），则M（－4，m＋3），

N（x，m＋3），P（x，－x2＋2x＋1）．

∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°

.

∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°

∴∠MAH＝∠PHN.

∵∠AMH＝∠PNH＝90°

，∴△AMH∽△HNP.

∵MA∥y轴，∴△MAH∽△OBA，

∴△OBA∽△NHP，∴＝＝，

∴＝＝，

整理得d＝x2－x＋，

当x＝时，d最小，即P（，）．

（3）如图，作点C关于直线x＝1的对称点C′，过点C′作C′F⊥AB于F，交抛物线的对称轴x＝1于点E，此时CE＋CF的值最小．

根据对称性，易知点C′（2，1）．

∵点C′在抛物线上，

∴由

（2）得C′F＝×

22－2＋＝，

即CE＋EF的最小值为.

3．解：

（1）把点B（4，0），点D（3，）代入y＝ax2＋bx＋1中，

得解得

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋x＋1.

（2）设直线AD的表达式为y＝kx＋b，

∵A（0，1），D（3，），

∴直线AD的表达式为y＝x＋1.

设P（t，0），则M（t，t＋1），∴PM＝t＋1.

∵CD⊥x轴，∴PC＝3－t，

∴S△PCM＝PC·

PM＝（3－t）（t＋1）

＝－t2＋t＋＝－（t－）2＋，

∴△PCM面积的最大值是.

（3）∵OP＝t，∴点M，N的横坐标为t，

设M（t，t＋1），N（t，－t2＋t＋1），

∴MN＝－t2＋t＋1－t－1＝－t2＋t，

CD＝.

∵以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形，

∴MN＝CD，即－t2＋t＝，

整理得－3t2＋9t－10＝0.

∵Δ＝92－4×

3×

10＝－39，

∴方程无实数根，

∴不存在t，使以点M，C，D，N为顶点的四边形是平行四边形．

【例3】

（1）∵CD∥x轴，CD＝2，

∴抛物线对称轴为直线l：

x＝1，

∴－＝1，b＝－2.

∵OB＝OC，C（0，c），∴B点的坐标为（－c，0），

∴0＝c2＋2c＋c，解得c