北京市东城区届高三上学期期末考试数学理试题含答案文档格式.docx
《北京市东城区届高三上学期期末考试数学理试题含答案文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《北京市东城区届高三上学期期末考试数学理试题含答案文档格式.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
9．若复数为纯虚数，则实数___________．
10．在的展开式中，的系数等于_________．（用数字作答）
11．已知是等差数列，为其前项和，若，则_________．
12．在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为_________．
13．双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则_________；
若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是_________．
14．如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，等边三角形的中心称为勒洛三角形的中心．如图，勒洛三角形夹在直线和直线之间，且沿轴滚动，设其中心的轨迹方程为
，则的最小正周期为_________；
对的图象与性质有如下描述：
1中心对称图形；
②轴对称图形；
③一条直线；
④最大值与最小值的和为．
其中正确结论的序号为_________．（注：
请写出所有正确结论的序号）
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（本小题满分13分）
在锐角中，角所对的边分别为，且．
（Ⅰ）求的长；
（Ⅱ）若，求的面积．
16．（本小题满分13分）
中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段装箱高质量发展阶段．货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用．某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如表：
周一
周二
周三
周四
周五
开盘价
164
165
170
172
a
收盘价
169
173
（Ⅰ）已知这天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，从这天中随机选取天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为，求的分布列及数学期望；
（Ⅲ）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这天收盘价的方差最小．（只需写出结论）
17．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥中，平面平面为线段的中点，四边形是边长为的正方形，．
（Ⅰ）求证：
平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）点在直线上，若平面平面，求线段的长．
18．（本小题满分14分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）若对恒成立，的最小值．
19．（本小题满分14分）
已知椭圆的离心率等于，经过其左焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点两点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）为坐标原点，在轴上是否存在定点，使得点到直线的距离总相等？
若存在，求出点的坐标；
若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分13分）
已知数列满足，
数列满足，其中，
表示中与不相等的项的个数．
（Ⅰ）数列，请直接写出数列；
（Ⅱ）证明：
；
（Ⅲ）若数列相邻两项均不相等，且与为同一个数列，证明：
．
参考答案与试题解析
1．（5分）已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B={x|x＜﹣1或x＞2}，则A∩B=（ ）
A．{﹣2，3}B．{0，1}C．{﹣2，﹣1，2，3}D．{﹣1，0，1，2}
【解答】解：
集合A={﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
B={x|x＜﹣1或x＞2}，
则A∩B={﹣2，3}．
故选：
A．
2．（5分）函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是（ ）
A．2πB．πC．D．
函数，
其周期T==π
两条相邻对称轴之间的距离为半个周期，即．
故答案为：
C．
3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（ ）
A．1B．2C．D．
模拟程序的运行，可得
x=1，b=1
x=2
不满足条件|x﹣b|，执行循环体，b=2，x=
此时，满足条件|x﹣b|=，退出循环，输出x的值为．
D．
4．（5分）若x，y满足，则x﹣y的最小值为（ ）
A．﹣5B．﹣3C．﹣2D．﹣1
x，y满足的区域如图：
设z=x﹣y，
则y=x﹣z，
当此直线经过A（0，3）时z最小，所以z的最小值为0﹣3=﹣3；
B．
5．（5分）已知函数，则f（x）的（ ）
A．图象关于原点对称，且在[0，+∞）上是增函数
B．图象关于y轴对称，且在[0，+∞）上是增函数
C．图象关于原点对称，且在[0，+∞）上是减函数
D．图象关于y轴对称，且在[0，+∞）上是减函数
=2x+，
故f（﹣x）=2﹣x+=2x+=f（x），
且f′（x）=2xln2﹣2﹣xln2=ln2（2x﹣）＞0，
故函数在[0，+∞）递增，
6．（5分）设为非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
由得2+2•+2=2﹣2•+2，
即4•=0，则•=0，
反之也成立，
即“”是“”的充要条件，
7．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．1
由几何体的三视图得到该几何体是如图所求的三棱锥S﹣ABC，
∴此几何体的体积为：
V==．
8．（5分）现有n个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢．如果甲先抓，那么下列推断正确的是（ ）
A．若n=4，则甲有必赢的策略B．若n=6，则乙有必赢的策略
C．若n=9，则甲有必赢的策略D．若n=11，则乙有必赢的策略
现有n个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，
每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢．
如果甲先抓，若n=9，则甲有必赢的策略．
必赢的策略为：
①甲先抓1球，
②当乙抓1球时，甲再抓3球；
当乙抓2球时，甲再抓2球；
当乙抓3球时，甲再抓1球；
③这时还有4个小球，轮到乙抓，按规则，乙最少抓1个球，最多抓3个球，
无论如何抓，都会至少剩一个球，至多剩3个球；
④甲再抓走所有剩下的球，从而甲胜．
9．（5分）若复数（1+i）（a﹣i）为纯虚数，则实数a= ﹣1 ．
∵（1+i）（a﹣i）=（a+1）+（a﹣1）i为纯虚数，
∴，解得a=﹣1．
﹣1．
10．（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2的系数等于 40 ．（用数字作答）
由于（1+2x）5的展开式的通项公式为Tr+1=•（2x）r，令r=2求得x2的系数等于×
22=40，
故答案为40．
11．（5分）已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，若a1=6，a4+a6=4，则S5= 20 ．
设{an}是等差数列的公差为d，∵a1=6，a4+a6=4，
∴2×
6+8d=4，解得d=﹣1．
则S5=6×
5﹣=20．
20．
12．（5分）在极坐标系中，若点在圆ρ=2cosθ外，则m的取值范围为 （1，+∞） ．
极坐标，转化为直角坐标为：
A（），
圆圆ρ=2cosθ，
转化为：
x2+y2﹣2x=0，
整理得：
（x﹣1）2+y2=1，
由于：
点A在圆的外部，
则：
＞1，
解得：
m＞1或m＜0，
m＞0，
所以：
m＞1．
即：
m∈（1，+∞）．
（1，+∞）．
13．（5分）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b= 1 ；
若C1双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则C1的方程可以是 x2﹣y2=2，（答案不唯一） ．
双曲线的一个焦点（c，0）到一条渐近线y=bx的距离等于=b=1，
∴b=1，
∴双曲线方程为：
x2﹣y2=1；
若C1双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则C1的方程可以是：
x2﹣y2=2，（答案不唯一）；
1；
x2﹣y2=2，（答案不唯一）．
14．（5分）如图1，分别以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形ABC称为勒洛三角形ABC，等边三角形的中心P称为勒洛三角形的中心．如图2，勒洛三角形ABC夹在直线y=0和直线y=2之间，且沿x轴滚动，设其中心P（x，y）的轨迹方程为y=f（x），则f（x）的最小正周期为 ；
对y=f（x）的图象与性质有如下描述：
①中心对称图形；
④最大值与最小值的和为2．
其中正确结论的序号为 ②④ ．（注：
由题意可得AB=BC=CA=2，
且勒洛三角形ABC为轴对称图形，且P为等边三角形的中心，
PA=PB=PC=，PO=2﹣，
弧AB，弧BC，弧CA所对的圆心角为，
可得勒洛三角形ABC沿着x轴滚动过程中的最小正周期为，
且轨迹方程为正弦函数类，最小值为PO，最大值为PA，
可设f（x）=asin（3x+θ）+b，
则a+b=，﹣a+b=2﹣，
解得b=1，a=﹣1，
即为f（x）=（﹣1）sin（3x+θ）+1，
由x=0时，f（0）=2﹣，
可取θ=﹣，
即有f（x）=（﹣1）sin（3x﹣）+1，
即f（x）=﹣（﹣1）cos（3x）+1，
显然为偶函数，
则P的轨迹应为轴对称图形，不为中心对称图形；
且为曲线，不为直线，
且最大值与最小值的和为2，
，②④
15．（13分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，2sinA=sinC．
（Ⅰ）求c的长；
（Ⅱ）若，求△ABC的
升级会员 