北京市东城区届高三上学期期末考试数学理试题含答案文档格式.docx

1、9若复数为纯虚数，则实数_10在的展开式中，的系数等于_（用数字作答）11已知是等差数列，为其前项和，若，则_12在极坐标系中，若点在圆外，则的取值范围为_13双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为，则_；若双曲线与不同，且与有相同的渐近线，则的方程可以是_14如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形，等边三角形的中心称为勒洛三角形的中心如图，勒洛三角形夹在直线和直线之间，且沿轴滚动，设其中心的轨迹方程为，则的最小正周期为_；对的图象与性质有如下描述：1 中心对称图形；轴对称图形；一条直线；最大值与最小值的和为其中正确

2、结论的序号为_（注：请写出所有正确结论的序号）三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（本小题满分13分）在锐角中，角所对的边分别为，且（）求的长；（）若，求的面积16（本小题满分13分）中国特色社会主义进入新时代，我国经济已由高速增长阶段装箱高质量发展阶段货币政策是宏观经济调控的重要手段之一，对我国经济平稳运行、高质量发展发挥着越来越重要的作用某数学课外活动小组为了研究人民币对某国货币的汇率与我国经济发展的关系，统计了年下半年某周五个工作日人民币对该国货币汇率的开盘价和收盘价，如表：周一周二周三周四周五开盘价164165170172a收盘价169173（）已知这

3、天开盘价的中位数与收盘价的中位数相同，求的值；（）在（）的条件下，从这天中随机选取天，其中开盘价比当日收盘价低的天数记为，求的分布列及数学期望；（）在下一周的第一个工作日，收盘价为何值时，这天收盘价的方差最小（只需写出结论）17（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，平面平面为线段的中点，四边形是边长为的正方形，（）求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）点在直线上，若平面平面，求线段的长18（本小题满分14分）已知函数（）求曲线在点处的切线方程；（）若对恒成立，的最小值19（本小题满分14分）已知椭圆的离心率等于，经过其左焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点两点（）求椭圆的方程；（）为

4、坐标原点，在轴上是否存在定点，使得点到直线的距离总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由20（本小题满分13分）已知数列满足，数列满足，其中，表示中与不相等的项的个数（）数列，请直接写出数列；（）证明： ；（）若数列相邻两项均不相等，且与为同一个数列，证明： 参考答案与试题解析1（5分）已知集合A=2，1，0，1，2，3，B=x|x1或x2，则AB=（）A2，3 B0，1 C2，1，2，3 D1，0，1，2【解答】解：集合A=2，1，0，1，2，3，B=x|x1或x2，则AB=2，3故选：A2（5分）函数图象的两条相邻对称轴之间的距离是（）A2 B C D函数，其周期T=两条相邻对称

5、轴之间的距离为半个周期，即故答案为：C3（5分）执行如图所示的程序框图，输出的x值为（）A1 B2 C D模拟程序的运行，可得x=1，b=1x=2不满足条件|xb|，执行循环体，b=2，x=此时，满足条件|xb|=，退出循环，输出x的值为D4（5分）若x，y满足，则xy的最小值为（）A5 B3 C2 D1x，y满足的区域如图：设z=xy，则y=xz，当此直线经过A（0，3）时z最小，所以z的最小值为03=3；B5（5分）已知函数，则f（x）的（）A图象关于原点对称，且在0，+）上是增函数B图象关于y轴对称，且在0，+）上是增函数C图象关于原点对称，且在0，+）上是减函数D图象关于y轴对称，且在

6、0，+）上是减函数 =2x+，故f（x）=2x+=2x+=f（x），且f（x）=2xln22xln2=ln2（2x）0，故函数在0，+）递增，6（5分）设为非零向量，则“”是“”的（）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件由得2+2+2=22+2，即4=0，则=0，反之也成立，即“”是“”的充要条件，7（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积为（）A B C D1由几何体的三视图得到该几何体是如图所求的三棱锥SABC，此几何体的体积为：V=8（5分）现有n个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢如果

7、甲先抓，那么下列推断正确的是（）A若n=4，则甲有必赢的策略 B若n=6，则乙有必赢的策略C若n=9，则甲有必赢的策略 D若n=11，则乙有必赢的策略现有n个小球，甲、乙两位同学轮流且不放回抓球，每次最少抓1个球，最多抓3个球，规定谁抓到最后一个球赢如果甲先抓，若n=9，则甲有必赢的策略必赢的策略为：甲先抓1球，当乙抓1球时，甲再抓3球；当乙抓2球时，甲再抓2球；当乙抓3球时，甲再抓1球；这时还有4个小球，轮到乙抓，按规则，乙最少抓1个球，最多抓3个球，无论如何抓，都会至少剩一个球，至多剩3个球；甲再抓走所有剩下的球，从而甲胜9（5分）若复数（1+i）（ai）为纯虚数，则实数a=1（1+i）（

8、ai）=（a+1）+（a1）i为纯虚数，解得a=1110（5分）在（1+2x）5的展开式中，x2的系数等于40（用数字作答）由于（1+2x）5的展开式的通项公式为Tr+1=（2x）r，令r=2求得x2的系数等于22=40，故答案为 4011（5分）已知an是等差数列，Sn为其前n项和，若a1=6，a4+a6=4，则S5=20设an是等差数列的公差为d，a1=6，a4+a6=4，26+8d=4，解得d=1则S5=65=202012（5分）在极坐标系中，若点在圆=2cos外，则m的取值范围为（1，+）极坐标，转化为直角坐标为：A（），圆圆=2cos，转化为：x2+y22x=0，整理得：（x1）2+

9、y2=1，由于：点A在圆的外部，则：1，解得：m1或m0，m0，所以：m1即：m（1，+）（1，+）13（5分）双曲线的一个焦点到它的一条渐近线的距离为1，则b=1；若C1双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则C1的方程可以是x2y2=2，（答案不唯一）双曲线的一个焦点（c，0）到一条渐近线y=bx的距离等于=b=1，b=1，双曲线方程为：x2y2=1；若C1双曲线与C不同，且与C有相同的渐近线，则C1的方程可以是：x2y2=2，（答案不唯一）；1；x2y2=2，（答案不唯一）14（5分）如图1，分别以等边三角形ABC的每个顶点为圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三

10、角形ABC称为勒洛三角形ABC，等边三角形的中心P称为勒洛三角形的中心如图2，勒洛三角形ABC夹在直线y=0和直线y=2之间，且沿x轴滚动，设其中心P（x，y）的轨迹方程为y=f（x），则f（x）的最小正周期为；对y=f（x）的图象与性质有如下描述：中心对称图形；最大值与最小值的和为2其中正确结论的序号为（注：由题意可得AB=BC=CA=2，且勒洛三角形ABC为轴对称图形，且P为等边三角形的中心，PA=PB=PC=，PO=2，弧AB，弧BC，弧CA所对的圆心角为，可得勒洛三角形ABC沿着x轴滚动过程中的最小正周期为，且轨迹方程为正弦函数类，最小值为PO，最大值为PA，可设f（x）=asin（3x+）+b，则a+b=，a+b=2，解得b=1，a=1，即为f（x）=（1）sin（3x+）+1，由x=0时，f（0）=2，可取=，即有f（x）=（1）sin（3x）+1，即f（x）=（1）cos（3x）+1，显然为偶函数，则P的轨迹应为轴对称图形，不为中心对称图形；且为曲线，不为直线，且最大值与最小值的和为2，15（13分）在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，2sinA=sinC（）求c的长；（）若，求ABC的