一元二次方程中根的判别式以及根与系数关系的应用Word文档格式.docx
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如果关于
x2＋px＋q＝0（a≠0）的两个根是
=-p，x
=q
1212
【基础知识讲解】
1．根的判别式以及根与系数的关系都体现了根与系数之间的联系
2.根的判别式是指Δ
＝b2－4ac，而不是指Δ
＝
b
24ac
．
3．根的判别式与根与系数的关系都是在一元二次方程一般形式下得出的，
因此，必须把所给的方程化为一般形式再判别根的情况．要注意方程中各项系数
的符号．
4．如果说一元二次方程有实根，那么应当包括有两个不相等的实数根和有
两个相等的实数根两种情况，此时
b2－4ac≥0，不要丢掉等号．
5.
利用一元二次方程的根与系数的关系的前提是：
（1）二次项系数
a≠0，即保证是一元二次方程；
（2）由于我们目前只研究实数根的问题，故还要考虑实数根存在的前提，即：
b2－4ac≥0
6．判别式有以下应用：
（1）不解方程，判定一元二次方程根的情况；
（2）根据一元二次方程根的情况，确定方程中未知系数的取值范围；
（3）应用判别式进行有关的证明．
根与系数的关系有以下应用：
（1）已知一根，求另一根及求知系数；
（2）不解方程，求与方程两根有关的代数式的值；
（3）已知两数，求以这两数为跟的方程；
已知两数的和与积，求这两个数
（4）确定方程中字母系数的取值范围
（5）确定根的符号。
【例题罗列】
根的判别式
类型
1：
不解方程，判别下列方程的根的情况：
（1）3x2－2x－1＝0；
（2）y2＝2y－4；
（3）（2k2＋1）x2－2kx＋1＝0；
（4）9x2－（p＋7）x＋p－3＝0．（系数中有字母的情况）
解：
（1）∵Δ
＝（－2）2－4×
3×
（－1）＝4＋12＞0，∴原方程有两个不相
等的实数根．
（2）原方程就是
y2－2y＋4＝0．∵Δ
1×
4＝4－16＜0，∴原
方程无实数根．
（3）∵2k2＋1≠0，∴原方程为一元二次方程．
又∵Δ
＝（－2k）2－4（2k2＋1）×
1＝－4k2－4＜0，∴原方程无实数根．
（4）Δ
＝［－（p＋7）］2－4×
9×
（p－3）＝（p－11）2＋36，
∵不论
p
取何实数，（p－11）2
均为非负数，
∴（p－11）2＋36＞0，即Δ
＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根．
升级:
的方程
x2＋2x＝m＋9
没有实数根，试判断关于
y
y2
＋my－2m＋5＝0
的根的情况．
这是一类需要自己找出隐含条件的题
∵x2＋2x－m－9＝0
没有实数根，∴Δ
＝22－4（－m－9）＝4m＋40＜0，
1
即
m＜－10．
又
y2＋my－2m＋5＝0
的判断式Δ
．Δ
＝m
－4（－2m＋5）＝m2＋8m－20
222
当
m＜－10
时，m2＋8m－20>
0，即Δ
>
0．
2
∴方程
有两个不相等的实数根．
2：
1.已知关于
的一元二次方程（k－1）x2＋2kx＋k＋3＝0．k
取什么值时，
（1）方程有两个不相等的实数根?
（2）方程有两个相等的实数根?
（3）方程没
有实数根?
Δ
＝（2k）2－4（k－1）（k＋3）＝－8k＋12．
（1）当－8k＋12＞0，且
k－1≠0，即
k＜
3
且
k≠1
时，方程有两个不相等的
实数根；
（2）当－8k＋12＝0，且
k＝
（3）当－8k＋12＜0，且
k＞
时，方程没有实数根．
说明：
当已知方程为一元二次方程时，要特别注意隐含的条件：
二次项系数
不等于零．
2．已知
a、b、c
是△ABC
的三边，且方程
a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0
有两个相
等的实数根，则此三角形为（）
A、等腰三角形B、等边三角形C、直角三角形D、斜三角形
看到有两个相同的实数根立即判断
应用根的判别式
原方程可化为（a+c）x2＋2bx＋a-c＝0，Δ
＝（2b）2－4（a+c）（a-c）＝
得到
a2=b2+c2，因此此三角形为直角三角形。
升级：
已知关于
x2+（2m+1）+m2+2=0
有两个不相等的实数根，试判断
直线
y=（2m-3）x-4m+7
能否通过点（-2，4），并说明理由
这是与一次函数相结合的题目
4
一元二次方程有两个不相等的实数根Δ
＝（2m+1）2－
（m2+2）＝4m-6＞0，
⎩2β
=
-
k
5，（
或2
+
β
）
m＞
。
9
82
所以不通过。
3:
（1）求证：
不论
为何值，关于
的方程（b－x）2－4（a－x）（c－x）＝0
必有实数根．
证明:
原方程可化为－3x2＋（4a＋4c－2b）x＋b2－4ac＝0，
∴
（4a＋
4c－
2b）2
－
4
×
（
3）（b2
4ac）
16a2
＋
16b2
16c2
16ab－
16bc－16ac
＝8［（a－b）2＋（a－c）2＋（b－c）2］
为何值，都有（a－b）
2≥0，（b－c）2≥0，（c－a）2≥0．
∴Δ
＝8［（a－b）2＋（b－c）2＋（c－a）2］≥0
∴方程必有实数根．
（2）已知方程
x2+2x=k-1
没有实数根。
求证：
方程
x2+kx=1-2k
有两个不相等的
实数根。
也是一类需要自己找出隐含条件的题
解:
第一个方程Δ
＝22－4×
（-k+1）
＜0
第二个方程Δ
＝k2－4×
（-1+2k）=
k2－8k+4=（k-4）2-16
在
的情况下必大于
根与系数的关系
1;
如果x
2是方程x
2
kx
5
0的一个根，求
k的值，并求出方程另一
个根。
设另一个根为β，据方程的根的意义与根与系数的关系，可列出方程组
⎧2
2k
⎨
即有
⎩k
2β
-5；
⎧-3k
1，
解这个方程组，得
⎧1
⎪3
求作以方程3x
1
0的两根的负倒数为根的一个一元二次方程。
解
设方程
3x
0的两根为
，则
∴所求方程两根为
-
x
11x
--=-1
1212-
3
∴所求方程为
7
0的两根为x
，不解方程，求下列各式的值：
（1）（
3）（
3）
（2）
2+1
1x
（4）
其关键是将它们用
·
表示出来，如何表示呢？
常用的变形有：
（1）
）
；
121212
（2）（
（3）
（4）（
a）（
a）
a（
a
（5）
）（
12121122
）[（
）2
]
12121
由根与系数的关系可得：
3）
3（
37
44
12121212
737
444
595
64
xx
1）
1）
2+=2211
1（
1）（
-++
101
32
±
73
97
的一元二次方程：
2（m
2）
m2
0的两个实数根的平方和比这两根的积大
84
求：
实数
m
的值。
这一块很容易和根的判别式结合在一起
设方程两根为x
，x
∵x
-2（m
由题意可得：
即：
84
[-2（m
2）]2
3（m2
4）
∴m
20，m
-4
∵∆
[2（m
4（m2
-16m
≥
0
≤
20（舍去
2．
设关于x的方程x
2mx
2m
（1）证明：
为何实数时，这个方程总有两个不相等的实数根；
（2）m
为何实数时，两根之差的绝对值等于
4。
∆
4m2
4（-2m
8m
16
4（m
12
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