初一数学上学期知识归纳总结Word下载.docx

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增长与降低等等是相对相反量，它们计数：

比原先多了的数,增加增长了的数一般记为正数;

相反，比原先少了的数，减少降低了的数一般记为负数。

3.0表示的意义

⑴0表示“没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；

⑵0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

1.有理数的概念

⑴正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）

⑵正分数和负分数统称为分数

⑶正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：

只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。

引入负数以后，奇数和偶数的范围也扩大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶数，-1,-3,-5…也是奇数。

2.

（1）凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；

正分数、负分数统称分数；

整数和分数统称有理数.注意：

0即不是正数，也不是负数；

-a不一定是负数，+a也不一定是正数；

π不是有理数；

（2）有理数的分类:

①按正、负分类:

②按有理数的意义来分:

总结：

①正整数、0统称为非负整数（也叫自然数）

②负整数、0统称为非正整数

③正有理数、0统称为非负有理数

④负有理数、0统称为非正有理数

（3）注意：

有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；

这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性；

（4）自然数⇔0和正整数；

a＞0⇔a是正数；

a＜0⇔a是负数；

a≥0⇔a是正数或0⇔a是非负数；

a≤0⇔a是负数或0⇔a是非正数.

数轴

⒈数轴的概念

规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。

⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；

⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；

⑶同一数轴上的单位长度要统一；

⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。

2.数轴上的点与有理数的关系

⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，正有理数可用原点右边的点表示，负有理数可用原点左边的点表示，0用原点表示。

⑵所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。

（如，数轴上的点π不是有理数）

3.利用数轴表示两数大小

⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大；

⑵正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数；

⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。

4.数轴上特殊的最大（小）数

⑴最小的自然数是0，无最大的自然数；

⑵最小的正整数是1，无最大的正整数；

⑶最大的负整数是-1，无最小的负整数

5.a可以表示什么数

⑴a>

0表示a是正数；

反之，a是正数，则a>

0；

⑵a<

0表示a是负数；

反之，a是负数，则a<

⑶a=0表示a是0；

反之，a是0,，则a=0

6.数轴上点的移动规律

根据点的移动，向左移动几个单位长度则减去几，向右移动几个单位长度则加上几，从而得到所需的点的位置。

相反数

⒈相反数

只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。

⑴相反数是成对出现的；

⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；

⑶0的相反数是它本身；

相反数为本身的数是0。

2.相反数的性质与判定

⑴任何数都有相反数，且只有一个；

⑵0的相反数是0；

⑶互为相反数的两数和为0，和为0的两数互为相反数，即a，b互为相反数，则a+b=0

3.相反数的几何意义

在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数；

互为相反数的两个数，在数轴上的对应点（0除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。

0的相反数对应原点；

原点表示0的相反数。

说明：

在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。

4.相反数的求法

⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“-”即可求得（如：

5的相反数是-5）；

0的相反数还是0；

⑵求多个数的和或差的相反数是，要用括号括起来再添“-”，然后化简（如；

5a+b的相反数是-（5a+b）。

化简得-5a-b）；

a-b+c的相反数是-a+b-c；

a-b的相反数是b-a；

a+b的相反数是-a-b；

⑶求前面带“-”的单个数，也应先用括号括起来再添“-”，然后化简（如：

-5的相反数是-（-5），化简得5）；

）相反数的和为0⇔a+b=0⇔a、b互为相反数

5.相反数的表示方法

⑴一般地，数a的相反数是-a，其中a是任意有理数，可以是正数、负数或0。

当a>

0时，-a<

0（正数的相反数是负数）

当a<

0时，-a>

0（负数的相反数是正数）

当a=0时，-a=0，（0的相反数是0）

6.多重符号的化简

多重符号的化简规律:

“+”号的个数不影响化简的结果，可以直接省略；

“-”号的个数决定最后化简结果；

即：

“-”的个数是奇数时，结果为负，“-”的个数是偶数时，结果为正。

绝对值

⒈绝对值的几何定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。

2.绝对值的代数定义

⑴一个正数的绝对值是它本身；

⑵一个负数的绝对值是它的相反数；

⑶0的绝对值是0.

可用字母表示为：

①如果a>

0，那么|a|=a；

②如果a<

0，那么|a|=-a；

③如果a=0，那么|a|=0。

可归纳为①：

a≥0，<

═>

|a|=a（非负数的绝对值等于本身；

绝对值等于本身的数是非负数。

）

②a≤0，<

|a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；

绝对值等于其相反数的数是非正数。

3.绝对值的性质

任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。

所以，a取任何有理数，都有|a|≥0。

即

（1）正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；

绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

绝对值是0的数是0.即：

a=0<

|a|=0；

⑵一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.绝对值可表示为：

或；

|a|≥0；

绝对值的问题经常分类讨论；

⑶任何数的绝对值都不小于原数。

|a|≥a；

；

；

⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。

若|x|=a（a>

0），则x=±

a；

⑸互为相反数的两数的绝对值相等。

|-a|=|a|或若a+b=0，则|a|=|b|；

|a|是重要的非负数，即|a|≥0；

|a|·

|b|=|a·

b|,

⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。

|a|=|b|，则a=b或a=-b；

⑺若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数就同时为0。

即|a|+|b|=0，则a=0且b=0。

（非负数的常用性质：

若几个非负数的和为0，则有且只有这几个非负数同时为0）

4.有理数大小的比较

⑴利用数轴比较两个数的大小：

数轴上的两个数相比较，左边的数总比右边的数小，或者右边的数总比左边的数大

⑵利用绝对值比较两个负数的大小：

两个负数比较大小，绝对值大的反而小；

异号两数比较大小，正数大于负数。

（3）正数的绝对值越大，这个数越大；

（4）正数永远比0大，负数永远比0小；

（5）正数大于一切负数；

（6）大数-小数＞0，小数-大数＜0.

5.绝对值的化简

①当a≥0时，|a|=a；

②当a≤0时，|a|=-a

6.已知一个数的绝对值，求这个数

一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点到原点的距离，一般地，绝对值为同一个正数的有理数有两个，它们互为相反数，绝对值为0的数是0，没有绝对值为负数的数。

有理数的加减法.

1.有理数的加法法则

⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

⑶互为相反数的两数相加，和为零；

⑷一个数与0相加，仍得这个数。

2.有理数加法的运算律

⑴加法交换律：

a+b=b+a

⑵加法结合律：

（a+b）+c=a+（b+c）

在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律：

①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”；

②符号相同的两个数先相加——“同号结合法”；

③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；

④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”；

⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”。

3.加法性质

一个数加正数后的和比原数大；

加负数后的和比原数小；

加0后的和等于原数。

⑴当b>

0时，a+b>

a⑵当b<

0时，a+b<

a⑶当b=0时，a+b=a

4.有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数。

用字母表示为：

a-b=a+（-b）。

5.有理数加减法统一成加法的意义

在有理数加减法混合运算中，根据有理数减法法则，可以将减法转化成加法后，再按照加法法则进行计算。

在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。

如：

（-8）+（-7）+（-6）+（+5）=-8-7-6+5.

和式的读法：

①按这个式子表示的意义读作“负8、负7、负6、正5的和”

②按运算意义读作“负8减7减6加5”

6.有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧：

Ⅰ.把符号相同的加数相结合（同号结合法）

（-33）-（-18）+（-15）-（+1）+（+23）

原式=-33+（+18）+（-15）+（-1）+（+23）（将减法转换成加法）

=-33+18-15-1+23（省略加号和括号）

=（-33-15-1）+（18+23）（把符号相同的加数相结合）

=-49+41（运用加法法则一进行运算）

=-8（运用加法法则二进行运算）

Ⅱ.把和为整数的加数相结合（凑整法）

（+6.6）+（-5.2）-（-3.8）+（-2.6）-（+4.8）

原式=（+6.6）+（-5.2）+（+3.8）+（-2.6）+（-4.8）（将减法转换成加法）

=6.6-5.2+3.8-2.6-4.8（省略加号和括号）

=（6.6-2.6）+（-5.2-4.8）+3.8（把和为整数的加数相结合）

=4-10+3.8（运用加法法则进行运算）

=7.8-10（把符号相同的加数相结合，并进行运算）

=-2.2（得出结论）

Ⅲ.把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法）

--+-+-

原式=（--）+（-+）+（+-）

=-1+0-

=-1

Ⅳ.既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）

（+0.125）-（-3）+（-3）-（-10）-（+1.25）

原式=（+）+（+3）+（-3）+（+10）+（-1）

=+3-3+10-1

=（3-1）+（-3）+10

=2-3+10

=-3+13

=10

Ⅴ.把带分数拆分后再结合（先拆分后结合）

-3+10-12+4

原式=（-3+10-12+4）+（-+）+（-）

=-1++