《同角三角函数基本关系》教学设计文档格式.docx
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（1）熟记，，，，五个特殊角的三角函数值
（2）阅读教材P18—P20
2．预习自测
（1）已知，且为第三象限角，求、的值
【知识点】两组关系式的基本应用及三角函数值符号判定
【解题过程】∵在第三象限∴
∴由得：
由得：
【思路点拨】利用两组三角函数公式和三角函数符号判定，代入解方程求解.
【答案】，
（2）化简：
（1）；
（2）
【知识点】两组关系式的基本应用
【解题过程】
（1）
（2）
【思路点拨】
（1）“切化弦”，统一函数名称从而实现化简的目的；
（2）利用进行“1”的代换，统一分子分母为齐次式.
【答案】
（2）1
（3）求证：
（1）法一：
左边=
=右边
法二：
右边
=左边
（2）左边==右边
【思路点拨】恒等式证明遵循“化繁为简”的基本准则，即可从左化到右，也可从右化到左，或左右都往中间化得到相同的结果.
【答案】见解题过程
（二）课堂设计
1．知识回顾
（1）任意角的三角函数的定义
（2）任意角的三角函数值的符号法则
（3）初中所学的同角锐角三角函数的基本关系
2．问题探究
探究一结合任意角的三角函数的定义，探究同角三角函数的基本关系★
●活动①类比初中所学知识，猜想同角三角函数的基本关系
回顾初中学习锐角三角函数的相关知识，在Rt△ACB中，∠C=，三边长分别为，锐角A的三角函数的定义是什么？
锐角A的这三个三角函数之间有什么关系呢？
；
以上同角三角函数关系对任意角仍成立吗？
【设计意图】从已有的知识出发，类比探究知识的延展，得到合理的猜想，为发现新知奠定基础，体会由特殊到一般的数学思想.
●活动②回归定义，证明猜想，得到结论
你能根据任意角的三角函数定义证明以上同角三角函数关系吗？
也就是说，同一个角的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角的正切.
【设计意图】运用定义给予严格证明，肯定猜想的正确性，是解决数学问题的常用方法.
●活动③架构迁移，熟悉公式结构和使用条件
为了让学生及时熟悉公式，要求学生完成以下的课堂练习：
（1）_________；
（2）___________；
（3）___________；
（4）________________．
学生交流、讨论，最终在教师的引导下得到上述两个公式中应该注意的问题：
①注意“同角”指相同的角，例如：
、、；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如中，且需有意义等.
【设计意图】通过练习，感知并理解同角的意义和公式的使用条件，培养严谨的数学思维习惯.
探究二同角三角公式的灵活运用
●活动①探究两个公式的等价变形式及应用
由等价变形式，已知余弦值可以求正弦值；
由等价变形式，已知正弦值可以求余弦值.
但比如:
，此时，、的符号受所在象限的限制，不是无条件的.
例1.已知，其中在第四象限，求的值.
【数学思想】方程的思想
第一步：
定号
∵在第四象限∴
第二步：
定值
由得：
【思路点拨】熟记公式，代入解方程求解.
同类训练1：
已知，求的值.
【数学思想】方程的思想和分类讨论思想
定象限
∵∴在第一或第二象限
定号、定值
（1）当在第一象限时，
∴由得：
（2）当在第二象限时，
∴，
【思路点拨】涉及开方运算，符号判断取决于角所在象限.当角所在象限不确定时，需逐一分情况讨论.
【答案】或
同类训练2：
已知，其中在第三象限，求的值.
∵在第三象限∴
由解方程得：
【思路点拨】共三个量，两个方程，任给其中一个都可以求出另两个.
【设计意图】通过计算熟练掌握公式，并体会分类讨论思想在三角函数符号确定中的应用
●活动②强化提升、灵活应用
例2已知，求的值
【知识点】正余弦公式的灵活应用
【数学思想】化归思想
解：
∴
【思路点拨】通过平方升次后，便于使用，从而使问题得到简化.
同类训练：
在例2的条件下，能求吗？
∵∴是第二或第四象限角
（1）当是第二象限角时，∴
（2）当是第四象限角时，∴
【思路点拨】两者之间通知联系起来，三者任给其中一
个可以求出另外两个.
例3已知，求下列各式的值：
（1）
（2）
【知识点】弦化切公式的灵活应用
（1）分子分母上下同时除以得：
（2）分子分母上下同时除以得：
【思路点拨】关于的齐次分式，可以弦化切，变形为关于的式子.
已知，求值：
例4求证：
【知识点】三角函数关系式恒等变形
【数学思想】转化化归
=右边
【思路点拨】恒等式变形可由左到右，亦可由右到左，统一次数，统一函数名称.
同类训练求证：
右边=
又∵∴∴左边=右边
∴原式得证.
【思路点拨】“切化弦”统一函数名，为证明恒等式奠基；
恒等式证明可以从左右分别变形，得到相同或相等的中间式，从而等式得证.
3.课堂总结
知识梳理
掌握两组三角函数基本关系式：
和
重难点归纳
（1）运用三角函数公式求三角函数值涉及开方运算时，注意分析确定三角函数值的符号；
不能确定的要进行分类讨论；
（2）根据三角函数式的结构和求解目标，选择合理的变形方向，并在训练中不断提高三角恒等变形的能力.
（三）课后作业
基础型自主突破
1.已知，且为第四象限角，求的值.
【知识点】正余弦关系式的基本应用及三角函数值符号判定
∵在第四象限∴
2.已知，求的值.
∵∴在第二或第四象限
（1）若角在第二象限，则
由解方程得：
（2）若角在第四象限，则
【思路点拨】共三个量，两个方程，任给其中一个都可以求出另两个；
但角所在象限不确定时，注意分类讨论.
3.已知，求的值.
分子分母上下同时除以得：
4.已知，则求的值.
【知识点】熟练应用公式
【数学思想】
∴
【思路点拨】利用完全平方公式构造，代入即可.
5.求证：
【思路点拨】恒等式变形可由左到右，亦可由右到左，“切化弦”是常用统一函数名的办法.
能力型师生共研
1．
（1）已知，且为第二象限角，求.
（2）已知，求.
（3）已知，求.
【知识点】熟练掌握三角函数关系式及符号判定
【解题过程】
（1）∵，且是第二象限角，
∴cosα＝－＝－＝－.
∴tanα＝＝－.
（2）∵sinα＝，∴α是第一或第二象限角．
当α是第一象限角时，
∴cosα＝＝＝.
∴tanα＝＝；
当α是第二象限角时，tanα＝－.
（3）∵sinα＝m（m≠0，m≠±
1），
∴cosα＝±
＝±
（当α为第一、四象限角时取正号，当α为第二、三象限角时取负号）．
∴当α为第一、四象限角时，tanα＝；
当α为第二、三象限角时，tanα＝－.
【思路点拨】先求与sinα的平方关系相联系的cosα，再由公式求tanα.
（2）（3）中α的范围不确定，须讨论确定开方的符号．
【答案】
（1）－
（2）或－（3）或－
2.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈（0，π），则
（1）sinθ－cosθ＝________；
（2）sin3θ＋cos3θ＝________；
（3）tanθ＝________．
【知识点】三者的关系
【数学思想】方程的思想和整体代换的思想
（1）∵sinθ＋cosθ＝，∴（sinθ＋cosθ）2＝.
∴2sinθcosθ＝－.
又θ∈（0，π），∴sinθ>
0，cosθ<
0.
∴sinθ－cosθ＝＝＝.
（2）sin3θ＋cos3θ＝（sinθ＋cosθ）（sin2θ－sinθcosθ＋cos2θ）
＝×
（1＋）＝.
（3）方法一：
由解得sinθ＝，cosθ＝－.∴tanθ＝－.
方法二：
因为sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝－，
由根与系数的关系，知sinθ，cosθ是方程x2－x－＝0的两根，
所以x1＝，x2＝－.
又sinθcosθ＝－<
0，所以sinθ>
所以sinθ＝，cosθ＝－.所以tanθ＝＝－.
方法三：
同方法二，得sinθcosθ＝－，所以＝－.
齐次化切，得＝－，即60tan2θ＋169tanθ＋60＝0，
解得tanθ＝－或tanθ＝－.
又θ∈（0，π），sinθ＋cosθ＝>
0，sinθcosθ＝－<
0，
所以θ∈（，），所以tanθ＝－.
（1）已知asinx＋bcosx＝c可与sin2x＋cos2x＝1联立，求得sinx，cosx.
（2）sinx＋cosx，sinx－cosx，sinxcosx之间的关系为
（sinx＋cosx）2＝1＋2sinxcosx，
（sinx－cosx）2＝1－2sinxcosx，
（sinx＋cosx）2＋（sinx－cosx）2＝2.
因此已知上述三个代数式中的任意一个代数式的值，便可求其余
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