最经典的乘法公式综合应用与拓展学生教师两用版.docx
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最经典的乘法公式综合应用与拓展学生教师两用版
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展（学生版）
一、基本公式
1.平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2
例：
计算19992-2000×1998
2.完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2
例:
运用公式简便计算
（1）1032
（2）1982
3.完全平方公式
（1）完全平方公式变用1：
利用已知的两项求第三项
a+b（或a-b）、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项
（a+b）2、（a-b）2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项
①==（a-b）2+2ab
②（a-b）2=（a+b）2-4ab（a+b）2=（a-b）2+4ab
（2）完全平方公式变用2：
两个完全平方公式之和的整合
（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）
例1．已知，，求的值。
例2．已知，，求的值。
例3.已知，求的值。
例4.已知m+n=7，mn=－18，求m2－mn+n2的值．
例5（3）已知：
x+2y=7，xy=6，求（x-2y）2的值．
例6.已知a+=5，求
（1）a2+，
（2）（a－）2的值．
例7.已知，求的值。
例8．解下列各式
（1）已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。
（2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。
（3）已知aa1a2b2，求的值。
（3）完全平方公式变用3:
几个数的和的平方推广
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
abc2a2b2c22ab2bc2ac
公式的证明：
abc2abc2ab22abcc2
a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ac
例．计算
（1）x2x12
（2）3mnp2
4.立方和与立方差公式
（a+b）（a2-ab+b2）＝a3+b3（a-b）（a2+ab+b2）＝a3-b3
＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3
＝a3+b3＝a3-b3
二、公式的灵活运用
1.对公式的基本变用
（1）位置变化，xyyxx2y2
（2）符号变化，xyxyx2y2x2y2
2.整体思想的应用
（1）应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”．
例1计算（-a2+4b）2
分析：
运用公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，____就是公式中的a，____就是公式中的b；若将题目变形为（4b-a2）2时，则____是公式中的a，而____就是公式中的b．（解略）
练习1.计算：
练习2.计算：
xyzxyz
练习3.计算：
xyzmxyzm
练习4.计算：
（2）应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号
例计算：
（-2x2-5）（2x2-5）
分析：
本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而____是公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，而____则是公式中的b．
解：
原式=
（3）应用整体思想，要善于分组加括号
根据原式各项负号的异同（看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体，据此分组）采用添括号合理分组的方法，再应用整体思想
例1.计算：
例2计算（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）．
例3．计算
（1）a4b3ca4b3c
（2）3xy23xy2
例4.计算：
例5.计算：
例6计算（a+b+c）2+（a+b-c）2+（a-b+c）2+（b-a+c）2．
例7．四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？
为什么？
3.公式的逆用
例1.计算：
例2计算（2a+3b）2-2（2a+3b）（5b-4a）+（4a-5b）2
4.公式的连用
例1.计算：
xyxyx2y2
例2.计算：
例3.计算：
（a-1/2）2（a2+1/4）2（a+1/2）2
例4.计算：
5.创造条件后用公式
（1）通过变形，创造条件后用公式
1）改变顺序：
调整各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.
例1、运用乘法公式计算：
（1）（）（）;
（2）（x-1/2）（x2+1/4）（x+1/2）
2）提出负号：
对于含负号较多的因式，通常先提出负号，以避免负号多带来的麻烦。
如（－2m－7n）（2m－7n）变为（2m+7n）（7n－2m）后就可用平方差公式求解了
练习：
（1）（-1+3x）（-1-3x）；
（2）（-2m-1）2
3）先提公因数（式），再用公式
例2.求：
（1）
（2）（4m+）（2m－）变为2（2m+）（2m－）
4）项数变化将某一项（某个数）变形：
一分为二，通过创造条件分组。
例3计算：
（2x－3y－1）（－2x－3y＋5）
分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符．于是可创造条件─“拆”数：
－1=2－3，5=2＋3，使用公式巧解
例4.计算：
又如：
（x+3y+2z）（x－3y+6z）变为（x+3y+4z－2z）（x－3y+4z+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了．
5）.先整体展开，再用公式
例5.计算：
简析：
乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。
解：
原式=
6）其它变形技巧
例6：
已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。
求x2-z2的值。
因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）（x-z）=14×4=56。
常见的变形技巧
（2）通过草船借箭后创造条件用公式
例1（3）计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．
分析：
此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简．
解：
原式=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（24-1）（24+1）（28+1）
=（28-1）（28+1）
=216-1
例2.计算：
例3：
判断（2+1）（22+1）（24+1）……（22048+1）+1的个位数字是几？
（3）乘法公式交替用
例试证：
八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展（教师版）
一、基本公式
1.平方差公式：
（a+b）（a-b）=a2-b2
例：
计算19992-2000×1998
2.完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2（a-b）2=a2-2ab+b2
例:
运用公式简便计算
（1）1032
（2）1982
（1）1032100321002210033210609
（2）1982200222002220022239204
3.完全平方公式
（1）完全平方公式变用1：
利用已知的两项求第三项
a+b（或a-b）、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项
（a+b）2、（a-b）2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项
①==（a-b）2+2ab
②（a-b）2=（a+b）2-4ab（a+b）2=（a-b）2+4ab
（2）完全平方公式变用2：
两个完全平方公式之和的整合
（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）
例1．已知，，求的值。
==
例2．已知，，求的值。
==
例3.已知，求的值。
例4.已知m+n=7，mn=－18，求m2－mn+n2的值．
m2－mn+n2=（m+n）2－3mn=72－3×（－18）=103．
例5已知：
x+2y=7，xy=6，求（x-2y）2的值．
（x-2y）2=（x+2y）2-8xy=72-8×6=1．
例6.已知a+=5，求
（1）a2+，
（2）（a－）2的值．
答案：
（1）23；
（2）21．）
例7.已知，求的值。
由，得即
即
例8．解下列各式
（1）已知a2b213，ab6，求ab2，ab2的值。
（2）已知ab27，ab24，求a2b2，ab的值。
（3）已知aa1a2b2，求的值。
解:
（1）ab2a2b22ab132625ab2a2b22ab13261
（2）a22abb27①a22abb24②
①②得2a2b211，即
①②得4ab3，即
（3）由aa1a2b2得ab2
（3）完全平方公式变用3:
几个数的和的平方推广
几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。
abc2a2b2c22ab2bc2ac
公式的证明：
abc2abc2ab22abcc2
a22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc2ac
例．计算
（1）x2x12
（2）3mnp2
4.立方和与立方差公式
（a+b）（a2-ab+b2）＝a3+b3（a-b）（a2+ab+b2）＝a3-b3
＝a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3＝a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3
＝a3+b3＝a3-b3
二、公式的灵活运用
1.对公式的基本变用
（1）位置变化，xyyxx2y2
（2）符号变化，xyxyx2y2x2y2
2.整体思想的应用
（1）应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”．
例1计算（-a2+4b）2
分析：
运用公式（a+b）2=a2+2ab+b2时，____就是公式中的a，____就是公式中的b；若将题目变形为（4b-a2）2时，则____是公式中的a，而____就是公式中的b．（解略）
练习1.计算：
练习2.计算：
xyzxyzxy2z2
练习3.计算：
xyzmxyzmxy2zm2x2y2z22zmm2
练习4.计算：
（2）应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号
例计算：
（-2x2-5）（2x2-5）
分析：
本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而____是公式（a+b）（a-b）=a2-b2中的a，而____则是公式中的b．
解：
原式=
（3）应用整体思想，要善于分组加括号
根据原式各项负号的异同（看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体，据此分组）采用添括号合理分组的方法，再应用整体思想
例1.计算：
例2计算
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