最经典的乘法公式综合应用与拓展学生教师两用版.docx

1、最经典的乘法公式综合应用与拓展学生教师两用版八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展(学生版)一、基本公式 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 例：计算19992-20001998 2.完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 例: 运用公式简便计算 （1）1032 （2）1982 3.完全平方公式 (1)完全平方公式变用1：利用已知的两项求第三项 a+b(或a-b)、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项 （a+b)2、(a-b)2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项 = =（a-b)2+2ab （a-b)2=(a+b)2-

2、4ab （a+b)2=(a-b)2+4ab (2) 完全平方公式变用2：两个完全平方公式之和的整合 （a+b)2+ (a-b)2=2（a2+b2)例1已知，求的值。例2已知，求的值。例3.已知，求的值。例4 .已知m+n=7，mn=18，求m2mn+ n2的值例5 (3)已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值例6.已知a+=5，求（1）a2+，（2）（a）2的值例7.已知，求的值。 例8解下列各式（1）已知a2 b2 13，ab 6，求 a b 2， a b 2的值。（2）已知 a b 2 7， a b 2 4，求a2 b2，ab的值。（3）已知a a 1 a2 b 2，求的值。(

3、3)完全平方公式变用3: 几个数的和的平方推广 几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 公式的证明： a b c 2 a b c 2 a b 2 2 a b c c2 a2 2ab b2 2ac 2bc c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 例计算 （1） x2 x 1 2 （2） 3m n p 2 4.立方和与立方差公式(a+b)(a2-ab+b2) a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2) a3-b3a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3 a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3a3+b3 a3

4、-b3二、公式的灵活运用1.对公式的基本变用 (1）位置变化， x y y x x2 y2 (2）符号变化， x y x y x 2 y2 x2 y22.整体思想的应用 (1）应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”例1 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，_就是公式中的a，_就是公式中的b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则_是公式中的a，而_就是公式中的b（解略）练习1. 计算： 练习2. 计算： x y z x y z 练习3. 计算： xy z m xy z m 练习4. 计算：(2）应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号例计算：(-2x2-

5、5)(2x2-5) 分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而_是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而_则是公式中的b解：原式=(3）应用整体思想，要善于分组加括号根据原式各项负号的异同（看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体，据此分组）采用添括号合理分组的方法，再应用整体思想 例1. 计算： 例2 计算(2x+y-z+5)(2x-y+z+5) 例3计算（1） a 4b 3c a 4b 3c （2） 3x y 2 3x y 2 例4. 计算：例5. 计算：例6 计算(a+b+c)2+(a+b-c)2+(a-b+c

6、)2+(b-a+c)2 例7四个连续自然数的乘积加上1，一定是平方数吗？为什么？ 3.公式的逆用 例1. 计算： 例2 计算(2a+3b)2-2(2a+3b)(5b-4a)+(4a-5b)2 4.公式的连用例1. 计算： x y x y x2 y2 例2. 计算：例3. 计算： (a-1/2)2(a2+1/4) 2(a+1/2)2例4. 计算： 5.创造条件后用公式(1)通过变形，创造条件后用公式1)改变顺序：调整各项的排列顺序，可以使公式的特征更加明显.例1、运用乘法公式计算：（1）()(); （2）(x-1/2)(x2+1/4)(x+1/2) 2)提出负号：对于含负号较多的因式，通常先提出

7、负号，以避免负号多带来的麻烦。如（2m7n）（2m7n）变为（2m+7n）（7n2m）后就可用平方差公式求解了练习：（1）(-1+3x)(-1-3x)； （2）(-2m-1)2 3)先提公因数（式），再用公式 例2. 求：(1) (2)（4m+）（2m）变为2（2m+）（2m） 4)项数变化 将某一项（某个数）变形：一分为二，通过创造条件分组。例3计算：(2x3y1)(2x3y5)分析仔细观察，易见两个因式的字母部分与平方差公式相近，但常数不符于是可创造条件“拆”数：1=23，5=23，使用公式巧解 例4. 计算：又如：（x+3y+2z）（x3y+6z）变为（x+3y+4z2z）（x3y+4z

8、+2z）后再适当分组就可以用乘法公式来解了 5).先整体展开，再用公式 例5. 计算： 简析：乍看两个多项式无联系，但把第二个整式分成两部分，即，再将第一个整式与之相乘，利用平方差公式即可展开。 解：原式= 6)其它变形技巧例6：已知x-y=2，y-z=2，x+z=14。求x2-z2的值。因为x-y=2，y-z=2，将两式相加得x-z=4，所以x2-z2=（x+z）(x-z)=144=56。常见的变形技巧(2)通过草船借箭后创造条件用公式例1 (3)计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)分析：此题乍看无公式可用，“硬乘”太繁，但若添上一项（2-1），则可运用公式，使问题化繁为简解：

9、原式=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1) =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1) =(24-1)(24+1)(28+1) =（28-1）（28+1） =216-1例2. 计算： 例3：判断（2+1）（22+1）（24+1）（22048+1）+1的个位数字是几？(3)乘法公式交替用 例试证：八年级数学上册乘法公式的综合应用与拓展（教师版）一、基本公式 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 例：计算19992-20001998 2.完全平方公式 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a-b)2=a2-2ab+b2 例: 运用公式简便计算 （1）1032

10、（2）1982 （1）1032 100 3 2 1002 2 100 3 32 10609 （2）1982 200 2 2 2002 2 200 2 22 39204 3.完全平方公式 (1)完全平方公式变用1：利用已知的两项求第三项 a+b(或a-b)、ab、a2+b2这三者任意知道两项就可以求出第三项 （a+b)2、(a-b)2、ab这三者任意知道两项就可以求出第三项 = =（a-b)2+2ab （a-b)2=(a+b)2-4ab （a+b)2=(a-b)2+4ab (2) 完全平方公式变用2：两个完全平方公式之和的整合 （a+b)2+ (a-b)2=2（a2+b2)例1已知，求的值。=

11、=例2已知，求的值。= 例3.已知，求的值。 例4 .已知m+n=7，mn=18，求m2mn+ n2的值m2mn+ n2= （m+n）23mn=723（18）=103例5 已知：x+2y=7，xy=6，求(x-2y)2的值 (x-2y)2=(x+2y)2-8xy=72-86=1例6.已知a+=5，求（1）a2+，（2）（a）2的值答案：（1）23； （2）21）例7.已知，求的值。 由，得 即 即 例8解下列各式（1）已知a2 b2 13，ab 6，求 a b 2， a b 2的值。（2）已知 a b 2 7， a b 2 4，求a2 b2，ab的值。（3）已知a a 1 a2 b 2，求的值

12、。解:（1） a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 25 a b 2 a2 b2 2ab 13 2 6 1 （2） a2 2ab b2 7 a2 2ab b2 4 得 2 a2 b2 11，即 得 4ab 3，即 （3）由a a 1 a2 b 2 得a b 2 (3)完全平方公式变用3: 几个数的和的平方推广 几个数的和的平方，等于它们的平方和加上每两个数的积的2倍。 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac 公式的证明： a b c 2 a b c 2 a b 2 2 a b c c2 a2 2ab b2 2ac 2bc c2 a2 b2 c2 2ab 2bc 2ac

13、 例计算 （1） x2 x 1 2 （2） 3m n p 2 4.立方和与立方差公式(a+b)(a2-ab+b2) a3+b3 (a-b)(a2+ab+b2) a3-b3a3+a2b-a2b-ab2+ab2+b3 a3-a2b+a2b-ab2+ab2-b3a3+b3 a3-b3二、公式的灵活运用1.对公式的基本变用 (1）位置变化， x y y x x2 y2 (2）符号变化， x y x y x 2 y2 x2 y22.整体思想的应用 (1）应用整体思想，首先要能识别公式中的“两数”例1 计算(-a2+4b)2分析：运用公式(a+b)2=a2+2ab+b2时，_就是公式中的a，_就是公式中的

14、b；若将题目变形为(4b-a2)2时，则_是公式中的a，而_就是公式中的b（解略）练习1. 计算： 练习2. 计算： x y z x y z x y 2 z2 练习3. 计算： xy z m xy z m xy 2 z m 2 x2y2 z2 2zm m2练习4. 计算：(2）应用应用整体思想，其次能正确选取负号和减号例计算：(-2x2-5)(2x2-5) 分析：本题两个因式中“-5”相同，“2x2”符号相反，因而_是公式(a+b)(a-b)=a2-b2中的a，而_则是公式中的b解：原式=(3）应用整体思想，要善于分组加括号根据原式各项负号的异同（看前面括号和后面括号哪些项符号相同，哪些项符号相反，般是把相同符号的各项整合在一起形成一个整体，据此分组）采用添括号合理分组的方法，再应用整体思想 例1. 计算： 例2 计算