微积分练习题答题详解Word格式文档下载.docx
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又，而,，
所以即，
即数列是单调递增数列。
综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。
习题2-2
1※.证明：
f（x）=a的充要条件是f（x）在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
先证充分性：
即证若，则.
由及知：
当时，有，
当时，有。
取，则当或时，有，
而或就是，
于是，当时，有，
所以.
再证必要性：
即若，则,
由知，，当时，有，
由就是或，于是，当或时，有.
所以
综上所述，f（x）=a的充要条件是f（x）在x0处的左、右极限均存在且都等于a.
2.
（1）利用极限的几何意义确定（x2+a）,和；
（2）设f（x）=，问常数a为何值时，f（x）存在.
解：
（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.
当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故.
（2）若存在，则，
由
（1）知，
所以，当时，存在。
3.利用极限的几何意义说明sinx不存在.
因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。
习题2-3
1.举例说明：
在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.
例1：
当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。
例2：
当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。
例3：
当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。
2.判断下列命题是否正确：
（1）无穷小量与无穷小量的商一定是无穷小量；
（2）有界函数与无穷小量之积为无穷小量；
（3）有界函数与无穷大量之积为无穷大量；
（4）有限个无穷小量之和为无穷小量；
（5）有限个无穷大量之和为无穷大量；
（6）y=xsinx在（-∞，+∞）内无界，但xsinx≠∞；
（7）无穷大量的倒数都是无穷小量；
（8）无穷小量的倒数都是无穷大量.
（1）错误，如第1题例1；
（2）正确，见教材§
2.3定理3；
（3）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量；
（4）正确，见教材§
2.3定理2；
（5）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量；
（6）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即；
（7）正确，见教材§
2.3定理5；
（8）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。
零是无穷小量，但其倒数无意义。
3.指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.
（1）f（x）=,x→2;
（2）f（x）=lnx，x→0+，x→1,x→+∞；
（3）f（x）=,x→0+，x→0-；
（4）f（x）=-arctanx,x→+∞;
（5）f（x）=sinx,x→∞;
（6）f（x）=，x→∞.
（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。
（2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量；
当时，是无穷小量。
（3）从的图可以看出，，
所以，当时，是无穷大量；
（4），
当时，是无穷小量。
（5）当时，是无穷小量，是有界函数，
是无穷小量。
（6）当时，是无穷小量，是有界变量，
习题2-4
1.若f（x）存在，g（x）不存在，问［f（x）±
g（x）］,［f（x）·
g（x）］是否存在，为什么?
若f（x）存在，g（x）不存在，则
（1）［f（x）±
g（x）］不存在。
因为若［f（x）±
g（x）］存在，则由或以及极限的运算法则可得g（x），与题设矛盾。
（2）［f（x）·
g（x）］可能存在，也可能不存在，如：
，，则，不存在，但［f（x）·
g（x）］=存在。
又如：
，，则，不存在，而
［f（x）·
2.若f（x）和g（x）均存在，且f（x）≥g（x），证明f（x）≥g（x）.
设f（x）=A，g（x）=B，则，分别存在，，使得当时，有，当时，有
令，则当时，有
从而，由的任意性推出即
若a1,a2，…，am为m个正常数，则
=A,
其中A=max{a1,a2,…，am}.
因为，即
而，，由夹逼定理得
4※.利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：
若x1＝,x2=,…，xn+1=（n=1,2,…），则xn存在，并求该极限.
因为有
今设，则，由数学归纳法知，对于任意正整数n有，即数列单调递增。
又因为，今设，则，由数学归纳法知，对于任意的正整数n有，即数列有上界，由极限收敛准则知存在。
设，对等式两边取极限得，即，解得，（由极限的保号性，舍去），所以.
5.求下列极限：
（1）；
（2）；
（3）;
（4）；
（5）.
（1）原式=；
（2）因为，即当时，是无穷小量，而是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：
；
（3）
而，
（4）；
（5）.
6.求下列极限：
（4）;
（5）;
（6）;
（7）;
（8）；
（9）；
（10）；
（11）.
解：
（2）
（3）；
（5）
（6）
（7）
（8）（无穷小量与有界函数之积为无穷小量）
（9）
（10）
（11）当时，是无穷小量，是有界函数，
它们之积是无穷小量，即。
习题2-5
求下列极限（其中a＞0,a≠1为常数）：
1.;
2.;
3.xcotx;
4.;
5.;
6.;
7.;
8.;
9.;
10.;
11.;
12.;
13.;
14.;
.
1.；
2.
3.；
4.
5.
6.；
7.
8.令，则，当时，，
9.
（利用了第8题结论）；
10.
11.
12.
13.令，则，当，，
14.令，则，当，，
习题2-6
1.证明：
若当x→x0时，（x）→0,β（x）→0,且（x）≠0，则当x→x０时，（x）～β（x）的充要条件是＝０.
先证充分性.
若＝０，则＝0,
即，即.
也即，所以当时，.
若当时，，则，
所以＝＝.
综上所述，当x→x0时，（x）～β（x）的充要条件是
＝０.
2.若β（x）≠0，β（x）=0且存在，证明（x）=0.
即.
3.证明：
若当x→0时，f（x）=o（xa），g（x）=o（xb），则f（x）·
g（x）＝o（），其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tanx－sinx是x的几阶无穷小量.
证:
∵当x→0时,f（x）=o（xa），g（x）=o（xb）
∴
于是:
∴当x→0时,,
∵
而当x→0时,,
由前面所证的结论知,,
所以,当x→0时,是x的3阶无穷小量.
4.利用等价无穷小量求下列极限：
（1）（b≠0）；
（2）；
（3）；
（5）；
（6）（a≠b）；
（7）；
（8）设＝100,求f（x）.
解
（8）由,及知必有,
即,
习题2-7
１.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：
（1）f（x）=
（2）f（x）＝
解:
（1）
∴f（x）在x=0处右连续,
又
∴f（x）在x=1处连续.
又
∴f（x）在x=2处连续.
又f（x）在（0,1）,（1,2）显然连续,综上所述,f（x）在[0,2]上连续.图形如下:
图2-1
（2）
故
∴f（x）在x=-1处间断,x=-1是跳跃间断点.
又f（x）在显然连续.
综上所述函数f（x）在x=-1处间断,在上连续.图形如下:
图2-2
2.说明函数f（x）在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?
又有什么联系?
略.
3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?
试举例说明.
函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.
例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.
4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：
（1）f（x）=；
（2）f（x）＝；
（3）f（x）=；
（4）f（x）=；
（5）f（x）=.
（1）由得x=-1,x=-2
∴x=-1是可去间断点,x=-2是无穷间断点.
（2）由sinx=0得,k为整数.
∴x=0是跳跃间断点.
（4）由x2-4=0得x=2,x=-2.
∴x=2是无穷间断点,x=-2是可去间断点.
（5）在x=0无定义
故x=0是f（x）的可去间断点.
5.适当选择a值，使函数f（x）=在点x=0处连续.
∵f（0）=a,
要f（x）在x=0处连续,必须.
即a=1.
6※.设f（x）=，讨论f（x）的连续性.
所以,f（x）在上连续,x=0为跳跃间断点.
7.求下列极限：
（3）ln（x-1）;
（4）arcsin；
（5）（lnx）x.
习题2-8
1.证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.
令,则在[1,2]上连续,
且,
由零点存在定理知至少存在一点使得.
即方程至少有一个介于1和2之间的根.
2.证明方程ln（１＋ex）-2x=0至少有一个小于1的正根.
令,则在上连续,因而在[0,1]上连续,
且
即方程至少有一个小于1的正根.
3※.设f（x）∈C（-∞，+∞），且f（x）=A,f（x）=B,A·
B＜0，试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x0∈（－∞,＋∞），使得f（x0）＝０.
由A·
B<
0知A与B异号,不防设A>
0,B<
由,及函数极限的保号性知,,使当,有
使当时,有.
现取,则,
则,且,
由题设知在上连续,由零点存在定理,至少存在一点使,
即至少存在一点使.
4.设多项式Pn（x）＝xn+a
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