广州市一模理科数学试题及答案解析Word格式.docx
《广州市一模理科数学试题及答案解析Word格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广州市一模理科数学试题及答案解析Word格式.docx（23页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设全集，集合，，则
A．B．
C．D．
2.已知，其中是实数，i是虚数单位，则i
A．iB．iC．iD．i
3．已知变量满足约束条件则的最大值为
A．B．C．D．
4.直线截圆所得劣弧所对的圆心角是
A．B．
C．D．
5.某空间几何体的三视图及尺寸如图1，则该几何体的体积是
A．B．C.D.
6.函数是
A．奇函数且在上单调递增B．奇函数且在上单调递增
C．偶函数且在上单调递增D．偶函数且在上单调递增
7．已知e是自然对数的底数，函数e的零点为，函数
的零点为，则下列不等式中成立的是
A．B.
C.D.
8．如图2，一条河的两岸平行，河的宽度m，
一艘客船从码头出发匀速驶往河对岸的码头.
已知km，水流速度为km/h,若客船行
驶完航程所用最短时间为分钟，则客船在静水中
的速度大小为
A．km/hB．km/h图2
C．km/hD．km/h
二、填空题：
本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．
（一）必做题（9～13题）
9.不等式的解集是.
10．d.
11．某工厂的某种型号的机器的使用年限和所支出的维修费用（万元）有下表的统计资料：
2
3
4
5
6
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
根据上表可得回归方程，据此模型估计，该型号机器使用年限为10年时维修费用约万元（结果保留两位小数）．
12．已知，函数若函数在上的最大值比最小值大，则的值为.
13.已知经过同一点的N个平面，任意三个平面不经过同一条直线.若这个平面将空间分成个部分，则，.
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）
在极坐标系中，定点，点在直线上运动，当线段最短时，点的极坐标为．
15．（几何证明选讲选做题）
如图3，是的直径，是的切线，与交于点，
若，，则的长为．
三、解答题：
本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知函数（其中，，）的最大值为2，最小正周
期为.
（1）求函数的解析式；
（2）若函数图象上的两点的横坐标依次为，为坐标原点，求△的
面积.
17．（本小题满分12分）
甲，乙，丙三位学生独立地解同一道题，甲做对的概率为，乙，丙做对的概率分别为，（＞），且三位学生是否做对相互独立.记为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：
1
（1）求至少有一位学生做对该题的概率；
（2）求，的值；
（3）求的数学期望.
18．（本小题满分14分）
如图4，在三棱柱中，△是边长为的等边三角形，
平面，，分别是，的中点.
（1）求证：
∥平面；
（2）若为上的动点，当与平面所成最大角的正切值为时，
求平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值.
19．（本小题满分14分）
已知数列的前项和为，且N.
（1）求数列的通项公式；
（2）若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断
是否成等比数列？
并说明理由.
20．（本小题满分14分）
已知椭圆的中心在坐标原点，两个焦点分别为，，点在椭圆上，过点的直线与抛物线交于两点，抛物线在点处的切线分别为，且与交于点.
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在满足的点?
若存在，指出这样的点有几个（不必求出点的坐标）;
若不存在，说明理由.
21．（本小题满分14分）
已知二次函数，关于的不等式
的解集为，其中为非零常数.设.
（1）求的值；
（2）R如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；
（3）若，且，求证：
N.
数学（理科）试题参考答案及评分标准
说明：
1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．
2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．
本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．
题号
7
8
答案
D
B
C
D
B
本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．
9．10．11．12．或13．8，
14．15．
①第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分．
②第14题的正确答案可以是：
Z.
（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）
（1）解：
∵的最大值为2，且，∴.……………1分
∵的最小正周期为，∴，得.……………2分
∴.……………3分
（2）解法1：
∵，……………4分
，……………5分
∴.
∴.……………8分
∴.………10分
∴.……………11分
∴△的面积为.
……………12分
解法2：
∴.（苏元高考吧：
）
∴.……………10分
解法3：
∴直线的方程为，即.……………7分
∴点到直线的距离为.……………9分
∵，……………11分
∴△的面积为.……………12分
（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想）
解：
设“甲做对”为事件，“乙做对”为事件，“丙做对”为事件，由题意知，
.……………1分
（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，
所以至少有一位学生做对该题的概率是.…………3分
（2）由题意知，……………4分，……………5分
整理得，.
由，解得，.……………7分
（3）由题意知
，………9分
=，……………10分
∴的数学期望为=.
…………12分
（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法）
解法一：
（1）证明：
延长交的延长线于点，连接.
∵∥，且，
∴为的中点.……………2分
∵为的中点，
∴∥.……………3分
∵平面，平面，
∴∥平面.……………4分
（2）解：
∴.……………5分
∵△是边长为的等边三角形，是的中点，
∴，.
∵平面，平面，，
∴平面.……………6分
∴为与平面所成的角.……………7分
∵，
在Rt△中，，
∴当最短时，的值最大，则最大.……………8分
∴当时，最大.此时，.
∴.……………9分
∵∥，平面，
∴平面.……………10分
∴，.……………11分
∴为平面与平面所成二面角（锐角）.……………12分
在Rt△中，，.…13分
∴平面与平面所成二面角（锐角）的余弦值为.……………14分
解法二：
取的中点，连接、.
∵为的中点，
∴∥，且.……………1分
∵∥，且，
∴∥，.……………2分
∴四边形是平行四边形.
∴∥平面.（苏元高考吧：
）……………4分
在Rt△中，.
∵Rt△～Rt△，
∴，即.
以为原点，与垂直的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，
建立空间直角坐标系.
则，，，.
∴，，.
设平面的法向量为，
由，，
得（苏元高考吧：
令，则.
∴平面的一个法向量为.……………12分
∵平面，∴是平面的一个法向量.
∴.……………13分
（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力）
（1）解：
，
∴当时，有解得.……………1分
由,①
得,②……………2分
②-①得:
.③……………3分
以下提供两种方法：
法1：
由③式得：
，
即;
……………4分
∴数列是以4为首项,2为公比的等比数列.
∴,即.……………6分
当时,，……………7分
又也满足上式,
法2：
得.④……………4分
当时,,⑤……………5分
⑤-④得：
.……………6分
由，得，
升级会员 