导数公式证明大全Word文件下载.docx

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=x^（n-1）+x*x^（n-2）+x^2*x^（n-3）+...x^（n-2）*x+x^（n-1）

=nx^（n-1）

证法二：

（n为任意实数）

f（x）=x^n

lnf（x）=nlnx

（lnf（x））'

=（nlnx）'

（x）/f（x）=n/x

（x）=n/x*f（x）

（x）=n/x*x^n

（x）=nx^（n-1）

（2）f（x）=sinx

=lim（sin（x+Δx）-sinx）/Δx

=lim（sinxcosΔx+cosxsinΔx-sinx）/Δx

=lim（sinx+cosxsinΔx-sinx）/Δx

=limcosxsinΔx/Δx

=cosx

（3）f（x）=cosx

=lim（cos（x+Δx）-cosx）/Δx

=lim（cosxcosΔx-sinxsinΔx-cosx）/Δx

=lim（cosx-sinxsinΔx-cos）/Δx

=lim-sinxsinΔx/Δx

=-sinx

（4）f（x）=a^x

=lim（a^（x+Δx）-a^x）/Δx

=lima^x*（a^Δx-1）/Δx

（设a^Δx-1=m，则Δx=loga^（m+1））

=lima^x*m/loga^（m+1）

=lima^x*m/[ln（m+1）/lna]

=lima^x*lna*m/ln（m+1）

=lima^x*lna/[（1/m）*ln（m+1）]

=lima^x*lna/ln[（m+1）^（1/m）]

=lima^x*lna/lne

=a^x*lna

若a=e，原函数f（x）=e^x

则f'

（x）=e^x*lne=e^x

（5）f（x）=loga^x

=lim（loga^（x+Δx）-loga^x）/Δx

=limloga^[（x+Δx）/x]/Δx

=limloga^（1+Δx/x）/Δx

=limln（1+Δx/x）/（lna*Δx）

=limx*ln（1+Δx/x）/（x*lna*Δx）

=lim（x/Δx）*ln（1+Δx/x）/（x*lna）

=limln[（1+Δx/x）^（x/Δx）]/（x*lna）

=limlne/（x*lna）

=1/（x*lna）

若a=e，原函数f（x）=loge^x=lnx

（x）=1/（x*lne）=1/x

（6）f（x）=tanx

=lim（tan（x+Δx）-tanx）/Δx

=lim（sin（x+Δx）/cos（x+Δx）-sinx/cosx）/Δx

=lim（sin（x+Δx）cosx-sinxcos（x+Δx）/（Δxcosxcos（x+Δx））

=lim（sinxcosΔxcosx+sinΔxcosxcosx-sinxcosxcosΔx+sinxsinxsinΔx）/（Δxcosxcos（x+Δx））

=limsinΔx/（Δxcosxcos（x+Δx））

=1/（cosx）^2=secx/cosx=（secx）^2=1+（tanx）^2

（7）f（x）=cotx

=lim（cot（x+Δx）-cotx）/Δx

=lim（cos（x+Δx）/sin（x+Δx）-cosx/sinx）/Δx

=lim（cos（x+Δx）sinx-cosxsin（x+Δx））/（Δxsinxsin（x+Δx））

=lim（cosxcosΔxsinx-sinxsinxsinΔx-cosxsinxcosΔx-cosxsinΔxcosx）/（Δxsinxsin（x+Δx））

=lim-sinΔx/（Δxsinxsin（x+Δx））

=-1/（sinx）^2=-cscx/sinx=-（secx）^2=-1-（cotx）^2

（8）f（x）=secx

=lim 

（sec（x+Δx）-secx）/Δx

=lim（1/cos（x+Δx）-1/cosx）/Δx

=lim（cosx-cos（x+Δx）/（ΔxcosxcosΔx）

=lim（cosx-cosxcosΔx+sinxsinΔx）/（Δxcosxcos（x+Δx））

=limsinxsinΔx/（Δxcosxcos（x+Δx））

=sinx/（cosx）^2=tanx*secx

（9）f（x）=cscx

（csc（x+Δx）-cscx）/Δx

=lim（1/sin（x+Δx）-1/sinx）/Δx

=lim（sinx-sin（x+Δx））/（Δxsinxsin（x+Δx））

=lim（sinx-sinxcosΔx-sinΔxcosx）/（Δxsinxsin（x+Δx））

=lim-sinΔxcosx/（Δxsinxsin（x+Δx））

=-cosx/（sinx）^2=-cotx*cscx

（10）f（x）=x^x

lnf（x）=xlnx

=（xlnx）'

（x）/f（x）=lnx+1

（x）=（lnx+1）*f（x）

（x）=（lnx+1）*x^x

（12）h（x）=f（x）g（x）

h'

=lim（f（x+Δx）g（x+Δx）-f（x）g（x））/Δx

=lim[（f（x+Δx）-f（x）+f（x））*g（x+Δx）+（g（x+Δx）-g（x）-g（x+Δx））*f（x）]/Δx

=lim[（f（x+Δx）-f（x））*g（x+Δx）+（g（x+Δx）-g（x））*f（x）+f（x）*g（x+Δx）-f（x）*g（x+Δx）]/Δx

=lim（f（x+Δx）-f（x））*g（x+Δx）/Δx+（g（x+Δx）-g（x））*f（x）/Δx

=f'

（x）g（x）+f（x）g'

（13）h（x）=f（x）/g（x）

=lim（f（x+Δx）/g（x+Δx）-f（x）g（x））/Δx

=lim（f（x+Δx）g（x）-f（x）g（x+Δx））/（Δxg（x）g（x+Δx））

=lim[（f（x+Δx）-f（x）+f（x））*g（x）-（g（x+Δx）-g（x）+g（x））*f（x）]/（Δxg（x）g（x+Δx））

=lim[（f（x+Δx）-f（x））*g（x）-（g（x+Δx）-g（x））*f（x）+f（x）g（x）-f（x）g（x）]/（Δxg（x）g（x+Δx））

=lim（f（x+Δx）-f（x））*g（x）/（Δxg（x）g（x+Δx））-（g（x+Δx）-g（x））*f（x）/（Δxg（x）g（x+Δx））

（x）g（x）/（g（x）*g（x））-f（x）g'

（x）/（g（x）*g（x））

=[f'

（x）g（x）-f（x）g'

（x）]/（g（x）*g（x））x

（14）h（x）=f（g（x））

=lim[f（g（x+Δx））-f（g（x））]/Δx

=lim[f（g（x+Δx）-g（x）+g（x））-f（g（x））]/Δx

（另g（x）=u，g（x+Δx）-g（x）=Δu）

=lim（f（u+Δu）-f（u））/Δx

=lim（f（u+Δu）-f（u））*Δu/（Δx*Δu）

=limf'

（u）*Δu/Δx

（u）*（g（x+Δx）-g（x））/Δx

（u）*g'

（x）=f'

（g（x））g'

总结一下

（x^n）'

（sinx）'

（cosx）'

（a^x）'

=a^xlna

（e^x）'

=e^x

（loga^x）'

=1/（xlna）

（lnx）'

=1/x

（tanx）'

=（secx）^2=1+（tanx）^2

（cotx）'

=-（cscx）^2=-1-（cotx）^2

（secx）'

=tanx*secx

（cscx）'

=-cotx*cscx

（x^x）'

=（lnx+1）*x^x

[f（x）g（x）]'

[f（x）/g（x）]'

（x）]/（g（x）*g（x））

[f（g（x））]'