1502黄金分割专项练习30题有答案Word文档下载推荐.docx
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AB，则称点C为线段AB的黄金分割点.,/A=36°
BD平分/ABC交AC于点D.
3.定义：
如图1，点C在线段如图2,△ABC中，AB=AC=2
点D是线段AC的黄金分割点;
（2）求出线段AD的长.
4.作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比.
（1）尺规作图并保留作图痕迹；
（2）写出你的作法；
（3）证明：
腰与底之比为黄金比.
5.
（1）已知线段AB的长为2,P是AB的黄金分割点，求AP的长;
（2）求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图，且使AP>
PB.
』E
6.如图，线段AB的长度为1.
（1）线段AB上的点C满足系式AC2=BC?
AB，求线段AC的长度；
（选做）
（2）线段AC上的点D满足关系式AD2=CD?
AC，求线段AD的长度;
（选做）（3）线段AD上的点E满足关系式AE2=DE?
AD，求线段AE的长度；
上面各题的结果反映了什么规律？
（提示：
在每一小题中设x和I）
7.如图，在△ABC中，AB=AC,/A=36°
/1=/2,请问点D是不是线段AC的黄金分割点.请说明理由.
&
在^ABC中，AB=AC=2,BC=｛亏-1,/A=36°
BD平分/ABC，交于AC于D.试说明点D是线段AC的黄金分割点.
为黄金矩形ABCD•请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.DQ
10.如图，设AB是已知线段，在AB上作正方形ABCD;
取AD的中点E，连接EB;
延长DA至F,使EF=EB;
以线段AF为边作正方形AFGH•则点H是AB的黄金分割点.
为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？
请试一试，说一说.
EJG
£
'
11.如图，已知△ABC中，D是AC边上一点，/A=36°
/C=72°
/ADB=108°
求证:
（1）AD=BD=BC;
（2）点D是线段AC的黄金分割点.
15•人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄
金身段.一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
16.如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P,连接PD,在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上.
（1）求AM,DM的长；
（2）点M是AD的黄金分割点吗？
为什么？
F
—
r
D
•/
a
匚
17.如图，点P是线段AB的黄金分割点，且AP>
BP,设以AP为边长的正方形面积为S1,以PB为宽和以AB为长的矩形面积为S2，试比较S1与S2的大小.
Sr
AE，
3斥一118•如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD延长线上的一点，且D为AE的黄金分割点，即ADJ
BE交DC于点F,已知AB=V5+1,求CF的长.
2
折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形ABEF和一个矩形EFDC，那么EFDC这个矩形还是黄金
矩形吗？
若是，请根据图2证明你的结论；
若不是，请说明理由.
/A
//'
團3
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2）,等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为:
满足簷諾备-0.618的等腰三角形是黄金三角形；
类似地，请你给出黄金矩形的定义：
;
（2）
k约为0.618;
黄金分割线”，类似地给出黄金分割线”的定义：
直线I将一个面积为S的
如图1,设AB=1，请你说明为什么
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的
3）,点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？
请说明理由;
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
21.在人体躯干（脚底到肚脐的长度）与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人
以美感.张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起
来更美？
（精确到十分位）
22.已知线段AB，按照如下的方法作图：
以AB为边作正方形ABCD，取AD的中点E,连接EB，延长DA到F,AF为边，作正方形AFGH，那么点H是线段AB的黄金分割点吗？
请说明理由.
23•如图，用纸折出黄金分割点：
裁一张正方的纸片ABCD，先折出BC的中点E,再折出线段AE，然后通过折叠
使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B'
因而EB'
=EB.类似地，在AB上折出点B〃使AB'
=AB这时B"
就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.
24.如图，用纸折出黄金分割点：
裁一张边长为2的正方形纸片ABCD，先折出BC的中点E,再折出线段AE,后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB.类似的，在AB上折出点M使AM=AF.M是AB的黄金分割点吗？
若是请你证明，若不是请说明理由.
25.如图，在△ABC中，点D在边AB上，且DB=DC=AC，已知/ACE=108°
BC=2.
（1）求/B的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°
勺等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金比逅二i.
1写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
2求AD的长；
3在直线AB或BC上是否存在点P（点A、B除外），使△PDC是黄金三角形？
若存在，在备用图中画出点P,
要说明画出点P的方法（不要求证明）；
若不存在，说明理由.
-1
26•宽与长的比是违一的矩形叫黄金矩形•心理测试表明：
黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美感•现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：
第一步：
作一个正方形ABCD;
BC的延长线于E;
F.
第二步：
分别取AD,BC的中点M,N，连接MN;
第三步：
以N为圆心，ND长为半径画弧，交第四步：
过E作EF丄AD，交AD的延长线于
请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.
27.在△ABC中，AB=AC,/A=36°
把像这样的三角形叫做黄金三角形.
（1）请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金
不要
三角形（画图工具不限，要求画出分割线段；
标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，求证明.分别画在图1，图2，图3中）注：
两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.
28•折纸与证明——用纸折出黄金分割点：
如图
（1）,先将一张正方形纸片ABCD对折，得到折痕EF;
再折出矩形BCFE的对角线
如图
（2）,将AB边折到BF上，得到折痕BG,试说明点G为线段AD的黄金分割点（AG>
GD）
FE
7^
/'
/'
■/\J1
■■■■■
E■
■r*
t*
E
占
29•三角形中，顶角等于36°
勺等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在△ABC中，已知：
AB=AC，且/A=36°
（1）在图1中，用尺规作AB的垂直平分线交AC于D，并连接BD（保留作图痕迹，不写作法）;
（2）△BCD是不是黄金三角形？
如果是，请给出证明；
如果不是，请说明理由；
（3）设匹二k，试求k的值；
AlBl=AlCl,/Al=108°
且A1B1=AB,请直接写出亠的值.
30.如图1,点C将线段AB分成两部分，如果警丿習，那么称点C为线段AB的黄金分割点.某研究小组在进行
AdAC
黄金分割线”类似地给出黄金分割线”的定义：
直线I将一个面积为S的图形
课题学习时，由黄金分割点联想到
分成两部分，这两部分的面积分别为
S1,S2,如果—=-^,那么称直线I为该图形的黄金分割线.
SS1
（1）研究小组猜想：
在△ABC中,线.你认为对吗？
（3）
连接
（4）
若点D为AB边上的黄金分割点（如图2），则直线CD是^ABC的黄金分割
请你说明：
三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？
研究小组在进一步探究中发现：
过点C任作一条直线交AB于点E,再过点D作直线DF//CE，交AC于点F,
EF（如图3）,则直线EF也是△ABC的黄金分割线.请你说明理由.
如图4,点E是平行四边形ABCD的边AB的黄金分割点，过点
是平行四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形各边黄金分割点.
E作EF//AD，交DC于点F，显然直线EFABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD
S3
黄金分割专项练习30题参考答案:
1.
（1）证明：
•/AB=AC=1,
•••/ABC=/C=2（180°
-/A）=丄（180。
-36°
）=72°
°
22
•••BD平分/ABC交AC于点D,
•••/ABD=/CBD=2/ABC=36°
•••/BDC=180°
-72°
=72°
•••DA=DB,BD=BC,
•••AD=BD=BC,
易得△BDCsAABC,
•••BC:
AC=CD:
BC,即BC2=CD?
AC,
•••AD=CD?
•••点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x,贝UCD=AC-AD=1-x,
•/AD2=CD?
所以x=11，即AB的长为11cm;
（2）不能.理由如下：
设AB=xcm，贝UAD=（20-x）cm,
根据题意得X（20-X）=101,整理得X2-20x+101=0,
因为△=202-4X101=-4<
0,
所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101cm2;
（3）设AB=xcm，贝UAD=（20-x）cm,根据题意得20-x=匹二ix,
2解得x=10（M^-1）,则20-x=10（3-肛）,所以矩形的面积=10（（E-1）?
10（3-JE）=（40^-800）cm2.
3.解：
（1）•//A=36°
AB=AC,
•••/ABC=/ACB=72°
•/BD平分/ABC,
•••/CBD=/ABD=36°
/BDC=72°
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