第九章欧氏空间习题答案文档格式.docx

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三、选择题

22_1_

3,3,3

l

lλ

（1）A=

t

-l

由于二次型正定，则

t丿

2.

\>

<

t2>

0,即t>

2。

Jt—3t—2a0

lll

（2）当t=l时，则A=ll—l

λ—l—

由PE-A=-2-1k-1

-ll

订—ll

l=（丸—2）2（人+l）=O,特征值为2,2,—l。

故标

λ-l

准形为f=2yl22y；

-yf。

z2bOA

3.二次型矩阵为A='

ba2。

由于正交变换得到的标准形为f=y2+2y；

+5y；

e23」

则A的特征值为l,2,5，故2∙a∙3=l2∙5，A=l25=l0可得a=3,b=O。

-x∣=O

I

当λ=l时，有＜—2X2—2X3=0，则基础解系为气=（0,l,—1）'

，单位化为

-2x2^3x^—0

…X…2X—0

当慣-2时，有23,则基础解系为；

=（l,0,0）'

单位化为2=（l,0,0）'

；

-2x2-x^0

3xl=0

当怎-5时，有2X2-2X3=0,则基础解系为^（0,1,1）'

单位化为

-2x2■2X3=0

4.设属于特征值1的特征向量为】=（>

ς,X2,X3）'

则C,>

ι）=O,即×

20,基

础解系为>

2=（1,0,0）'

：

3=（0,-1,1）'

。

把>

单位化

5.

=1、

1。

进一步得到

b

=1"

[1

0、

A=T

1

TJL=

-1

Jb

I0

°

」

当j=k时，则

6.令R2的一组基为M=（1,0）,；

2=（0,1）,则有

（（X1,yj,（X2,y2））=2X1X2—X2%-人丫22y°

（2-Γ）

可得在这组基下的度量矩阵为A=。

（T2J

由■E-A=（■-1）（'

-3）,特征值为1,3。

…X亠X0

当&

=1时，有§

12,则基础解系为£

=（1,1）'

单位化为n1

“_x2=0

χ1+χ2=0

当’=3时，有，则基础解系为；

=（-1,1）'

单位化为2=（-

x1+X2=02

值为0,1,4。

谆0,

■=4时，有（4E-A）x=0，则特征向量为

£

=（1,2,1）'

单位化为

=（

O

區、

为正交阵，有TVAT

6

丁6

J6

6J

则标准形为f（x,y,z）=•42=4。

（2）平移变换：

f（x,y,z）=X22x（yz）（yz）2-（yz）23y2z22yz

22

即f（x,y,z）=（xyz）2y，

I=XyZ

作非退化线性替换弋2=y,即f（x,y,z^=^2+2^2=4。

匕3=Z

C24A

8.Cr（X,y,z）=（x+2y+4Z）2x-2y+2Z）4x+2y+z）=（x,y,z）2-22。

I42b

「1

4A

不妨设α=（x,y,Z）,则bα=OLA,其中A=

-2

4

1J

设R3的一组标准正交基为；

1,；

2,；

3,则二（；

3）=（；

3）A

因为A是对称矩阵，则二是对称变换。

由&

E_A=（扎十3）2（&

—6）=0，故特征值为_3,—3,6。

当扎=-3时，有（―3E—A）X=0,则特征向量为£

=（1,-2,0）'

J=（O,-2,1）'

，单

/212

（,厂

333

-3

9.设：

3=（X1,X2,X3）且（：

1,：

3）=0，（：

2,：

3）=0,则

丄2x1-X2=0仁亠，即可取叫=（1,2,—2）。

把^1,^2^3正交单位化如下

2X1X^0

U2T）。

11

「「5（2,-W，2

（1,2,-2）。

1,2,3为R3的一组标准正交基。

I「33

10.由

AE—A=h2⑺—3）=0,故特征值为0,0,3。

当’=O时，有（-A）x=0,则特征向量为1=（一1,1,0）'

1,0,1）'

属于特征

值0的全部的特征向量为k11k22,其中k1,k2为任意常数。

单位化为1=（2,丄2,0）'

nz√3√3√3

33）。

（1,2,3戶（1,；

3T,则有TAT=

五、证明题

A+B=0。

令：

=（X1,X2,X3），L=（y1,y2,y3）,贝UA=（X1X3,X2-2x3,X1-2x2X3）,

A=（yry3,y^2y3,y^2y2y3）。

则（A,L^XIyIX3%X2y2-2x3y2X1y^2x2y3X3y3，

（A「）=XM■X3y1X2y^2X3y2■Xly3一2乂2丫3X削3，即（A：

）=（A,），

则A是一-个对称变换。

3.

必要性是显然的。

下面来证明充分性。

由于：

…ker^uC=0=（；

=,；

=）=0,

即（：

•，：

•）=0U〉=0,因此ker=0,从而；

「是单射，又由于存在双射

「：

VrV'

并且IZV有（:

）=（C,川）。

因此二欧氏空间V与V'

—个

同构映射。

4.不妨设：

1√'

2^'

^s是向量组>

1,>

2,…m的一个极大线性无关组，下证

…Js是向量组r,J,…Jm的一个极大线性无关组。

令k1k22-^kSS=O,贝则心j｛：

1,：

2,,：

m｝有

O=（k1Uk2「ks'

^s,'

-i）=kιC-ι,Ij）k2（l2,-ksCj）

=kι（>

ι^j）■k2C∙2,〉j）ksCs,〉j）

^（k√ιk2T27'

ks>

s,,〉j）

则k√ιk2：

2亠亠ks：

s=O,由于>

1,>

2,…√s线性无关，

则k1=k2=…=ks=O，即：

1,：

2「，■S线性无关。

根据I-1√∙2Λ'

^s的极大性，则：

∙j=I「1∙∣2>

2•…∙∣s>

s,

即Ij-I1I1J2I2--JsIs=O。

故Ij=ILrI2I2Wss，也即是说

S,2…,-S是向量组S,Vf的一个极大线性无关组，即dimVι=dimV2，

从而VI二V2。

5.

（1）左边=（匕+躲上+口）+代"

匕」）=2代,匕）+2宀[）=2罔+2|可

（2）右边

=1G十’匕十①―丄牡一

44

=1[（,）（,）2（,）∏1[（,）（,）-2（,）]

44

=（'

）

6.⅛hg,0^v,贝y（（5+jτcτ）o（,0）=Qtg+jτσα,B）=（bicf,0）+（ισα,P）。

又因为：

7,.都是对称变换。

则上式可化为

（佗,母）+（otx,eP）=（α,πjP）+（a,5B）=（O（,（2+στ）B）,

故；

「.•.；

「是对称变换。

7.令A=（aQnn,X=（X1,X2,,Xn）'

一⑴,b2,,0）'

则

fA∩

AX=B有解=秩A=秩（代B）=秩A=秩节=A'

X=O与

IP'

丿

=X=O同解=Ax=0=x'

B=0=（0,x）=o。

lB'

8.设实对称矩阵A=

a2i

t+aii丿

阶顺序主子式，i

=1,2,…，n。

故当t充分大时，P（i）0,i=1,2,…,n。

故可得A

是正定矩阵。

9.=；

「是正交变换，则（=冷，cj）=（冷，：

•J=（⑺：

J，i,j=1,2,…，n。

•■=设：

1/'

2/'

/r是向量组>

2,…√m的一个极大线性无关组，则：

2,…,Lr是向量组S,'

…,'

m的一个极大线性无关组。

否则的话S,-,…,>

I线性无关。

因为:

∙1∕∙2Λ'

/'

r的极大性，则>

2,…,>

r,1r∙1线性相关。

即存在不全为零的

k1,k2,,kr,k1,满足kr1'

k2：

2亠■亠kr：

r■kr1「1=0,从而

O=（IVIk2：

2k√rkr1；

1）

*（：

1）*2（：

2,：

1）kJ：

r,：

J匕1Cr1,：

1）

*（1J）k2C1）k（∙7kr1Cr∙J1）

=（k1l1k2^-kr'

rkr.1—,I）

即k11k22krrkr1r1=0,即r,2,…,,r“线性相关这是矛盾的。

再将〉1「2,…「r单位化为；

2,…，；

r,即（；

2,…，；

r）=（〉1,〉2,…，〉r）T,其

t11t12t1r

中T=.0t22…t2r,由于7三M,则令CV2,…，γir）=（01,02,…，f5r）T，

00…trr」

从而1,2,…,r也使正交单位向量组。

分别扩充为V的两组标准正交基，既有

则二（〉1,〉2,…Cr）T=（I2…「r）T,即匚（冷「2厂「r）=（1√2「1r）。

从而二∙i=「,i=1,2,…,r。

进而二飞二-S,i=1,2,…,m。