第九章欧氏空间习题答案文档格式.docx

1、三、选择题22 _1_3,3, 3ll （1） A =t-l,由于二次型正定，则t丿2.0 ,即 t2。Jt 3t2a0l l l（2）当 t=l 时，则 A= l l l l 由 PE -A = -2-1 k-1-l l订 l ll =（丸2）2（人+l） = O ,特征值为2,2,l。故标-l准形为 f = 2yl2 2y； - yf。z2 b OA3.二次型矩阵为 A = b a 2。由于正交变换得到的标准形为 f = y2 +2y； +5y；,e 2 3则 A 的特征值为 l,2,5，故 2a3=l25 ，A =l 2 5=l0 可得 a = 3,b=O。-x = OI当 =l时，有

2、2X22X3=0，则基础解系为气=（0,l,1），单位化为-2x2 3x 0X 2 X 0当慣-2时，有 2 3 ,则基础解系为；=（l,0,0）,单位化为2 =（l,0,0）；-2x2 -x 03xl = 0当怎-5时，有2X2 -2X3 =0 ,则基础解系为 （0,1,1）,单位化为- 2x2 2X3 = 04.设属于特征值1的特征向量为】=（,X2,X3）,则C,）=O ,即2 0 ,基础解系为 2=（1,0,0） , ： 3=（0,-1,1）。把 单位化5.=1 、1 。进一步得到 b=1 10、A=T1TJL =-1J bI0当j = k时，则6.令 R2 的一组基为 M=（1,0）

3、, ；2 =（0,1）,则有（X1, yj,（ X2, y2） =2X1X2 X2% -人丫2 2y（2 -）可得在这组基下的度量矩阵为 A= 。（T 2 J由 E - A =（ -1）（ -3）,特征值为 1,3。X亠X 0当& =1时，有 1 2 ,则基础解系为 =（1,1）,单位化为n1“ _x2 =0,1 +2 =0当=3时，有 ，则基础解系为 ；=（-1,1）,单位化为2=（ -x1 + X2 = 0 2值为0,1,4。谆0, =4时，有（4E -A）x =0，则特征向量为 = （1,2,1）单位化为=（O區、,为正交阵，有TVAT6丁6J66 J则标准形为 f （x, y, z）

4、= 4 2 = 4。（2）平移变换：f （x, y, z） = X2 2x（y z） （y z）2 -（y z）2 3y2 z2 2yz2 2即 f （x,y,z） =（x y z） 2y ，I=XyZ作非退化线性替换 弋2=y ,即f（x, y,z = 2 +22 =4。匕3 = ZC 2 4A8. Cr（X, y,z） =（x+2y+4Z）2x-2y+2Z）4x+2y+z） = （x, y, z） 2-22 。I4 2 b14 A不妨设 =（x, y, Z）,则 b = OLA ,其中 A =-2,41 J设 R3 的一组标准正交基为；1, ；2, ；3 ,则二（；3）= （；3）A因为A

5、是对称矩阵，则二是对称变换。由 &E_A=（扎十3）2（&6）= 0，故特征值为 _3,3,6。当扎=-3 时，有（3EA）X = 0,则特征向量为 =（1,-2,0）, J = （O,-2,1），单/2 1 2（,厂33 3-39.设：3=（X1,X2,X3）且（：1,：3）=0，（：2,：3）=0 ,则丄2x1 - X2 = 0 仁亠 ，即可取 叫=（1,2, 2）。把1,23正交单位化如下2X1 X 0U2T） 。1 15（2,-W，2（1,2,-2）。 1, 2, 3为R3的一组标准正交基。I3 310.由AEA=h23） = 0,故特征值为 0,0,3。当=O时，有（-A）x=0,则

6、特征向量为1=（一1,1,0）,1,0,1）,属于特征值0的全部的特征向量为 k1 1 k2 2 ,其中k1,k2为任意常数。单位化为1=（ 2,丄2,0）n z3 3 33 3）。（1, 2, 3戶（1, ；3T ,则有 T AT =五、证明题A + B =0。令：=（X1,X2,X3）， L =（y1, y2, y3）,贝U A = （X1 X3, X2 -2x3, X1 - 2x2 X3）,A =（yr y3, y2y3, y2y2 y3）。则（A , LXIyI X3% X2y2 -2x3y2 X1y2x2y3 X3y3，（A）=XM X3y1 X2y2X3y2 Xly3一2乂2丫3

7、X削3，即（A：） =（ A,），则A是一 -个对称变换。3.必要性是显然的。下面来证明充分性。由于：keru C =0= （；=,；= ）=0,即（：，：）=0U=0,因此ker = 0,从而；是单射，又由于存在双射：Vr V,并且IZ V有（:）= （C ,川）。因此二欧氏空间V与V个同构映射。4.不妨设：1 2 s是向量组1, 2,m的一个极大线性无关组，下证,Js是向量组r,J,Jm的一个极大线性无关组。令 k 1 k2 2 - kSS= O ,贝则心 j ： 1,： 2, , ： m有O =（k1 U k2 kss, -i）=kC-, Ij） k2（l2, - ksCj）=k（ j）

8、 k2C2,j） ksC s,j）（k k2T 27kss,j ）则k k2：2亠 亠ks：s=O ,由于1,2,s线性无关，则 k1 =k2 =ks = O，即：1, ：2， S线性无关。根据 I-12 s 的极大性，则：j =I1 22 ss ,即 Ij-I1I1J2I2-JsIs=O。故 Ij=ILrI2I2W s s，也即是说S ,2,-S是向量组 S,Vf的一个极大线性无关组，即 dimV =dimV2，从而VI二V2。5.（ 1）左边=（匕+躲上+口）+代,匕）=2代,匕）+2宀）=2罔+2|可（2）右边=1G十匕十丄牡一44= 1（ , ） （ , ） 2（ , ）1（ , ）

9、（ , ）-2（,）4 4= （,）6.hg, 0 v ,贝y （5 +jc）o（, 0 ） = Qtg +j , B） = （bicf ,0） + （, P）。又因为：7,.都是对称变换。则上式可化为（佗,母）+（otx,eP） =（,jP ） + （a,5B）=（O（,（2 + ）B）,故；.；是对称变换。7.令 A=（aQnn , X =（X1,X2, ,Xn）, 一 ,b2, , 0）,则fAAX=B有解=秩A=秩（代B）= 秩A=秩节 =AX=O与IP 丿= X=O 同解= Ax =0= xB =0=（0,x）= o。lB8.设实对称矩阵A =a2it+aii 丿阶顺序主子式，i=

10、1,2,，n。故当t充分大时，P（i） 0 , i =1,2,n。故可得A是正定矩阵。9. = ；是正交变换，则（=冷，c j）=（冷，： J =（：J，i,j=1,2,，n。=设：1/2/ / r是向量组2,m的一个极大线性无关组， 则： 2,L r 是向量组S,m的一个极大线性无关组。否则的话 S,-, I线性无关。 因为:12 /r的极大性，则2,r,1r1线性相关。即存在不全为零的k1, k2, , kr, k 1 ,满足 kr 1 k2： 2 亠亠kr： r kr 11 =0 ,从而O=（IVI k2： 2 k r kr1；1）*（：1）*2（： 2,：1） kJ： r,：J 匕 1

11、 C r 1, ： 1）*（ 1J） k2C1） k（7 kr1CrJ1）= （k1l1 k2- krr kr.1, I）即k11 k2 2 kr r kr1r1=0,即r,2,r “线性相关这是矛盾的。再将12,r 单位化为；2,，；r ,即（；2 ,，；r） = （1 ,2,，r ）T ,其t11 t12 t1r中 T=.0 t22 t2r ,由于 7 三 M ,则令 CV2,，ir） = （01,02,，f5r）T，0 0 trr从而1, 2,r也使正交单位向量组。分别扩充为 V的两组标准正交基，既有则二（1,2,Cr）T=（I 2r）T ,即匚（冷2 厂r ） =（1 2 1 r ）。从而二i =, i =1,2,r。进而二飞二-S, i =1,2,m。