《431 利用导数研究函数的单调性》教案Word下载.docx

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一般地，设函数f（x）的定义域为I：

如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数．

当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数．

问题：

能否用定义法讨论函数的单调性？

学生活动

讨论函数的单调性.

解：

取x1＜x2，x1、x2∈R，取值

f（x1）－f（x2）＝（x12－4x1+3）－（x22－4x2+3）作差

＝（x1－x2）（x1＋x2－4）变形

当x1＜x2＜2时，x1＋x2－4＜0，f（x1）＞f（x2），定号

∴y＝f（x）在（－,2）单调递减．判断

当2＜x1＜x2时，x1＋x2－4＞0，f（x1）＜f（x2），

∴y＝f（x）在（2,＋∞）单调递增．综上所述y＝f（x）在（－,2）单调递减，y＝f（x）在（2,＋∞）单调递增.

2.研究函数的导函数值的符号与单调性之间的关系.

二、探究新知

1.导数符号与函数单调性之间的关系

我们已经知道，曲线y=f（x）的切线的斜率就是函数y=f（x）的导数.从函数的图像可以看到：

在区间（2，）内，切线的斜率为正，函数y=f（x）的值随着x的增大而增大，即>

0时，函数y=f（x）在区间（2，）内为增函数；

在区间（，2）内，切线的斜率为负，函数y=f（x）的值随着x的增大而减小，即0时，函数y=f（x）在区间（，2）内为减函数.

定义：

一般地，设函数y=f（x）在某个区间内有导数.

如果在这个区间内>

0，那么函数y=f（x）在为这个区间内的增函数；

如果在这个区间内<

0，那么函数y=f（x）在为这个区间内的减函数.

说明：

（1）如果某个区间内恒有=0，则f（x）等于常数；

（2）>

0（或<

0）是函数在（a，b）上单调增（或减）的充分不必要条件.

2.利用导数确定函数的单调性的步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求出函数的导数；

（3）解不等式f（x）＞0，得函数的单调递增区间；

解不等式f（x）＜0，得函数的单调递减区间．

三、例题精讲：

例1求函数的单调区间.

=3x2－x－2=0，得x=1，.在（－∞，－）和［1，+∞）上>

0，f（x）为增函数；

在［－，1］上（x）<

0，f（x）为减函数.

所以所求f（x）的单调增区间为（－∞，－]和［1，+∞），单调减区间为［－，1］.

变式题1：

求函数的单调区间．

答案：

增区间为，减区间为

变式题2：

设函数．求函数的单调区间；

由，得，

若，则当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

若，则当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减..w.k.s.5.u.c.o

点评：

（1）注意定义域和参数对单调区间的影响；

（2）同一函数的两个单调区间不能并起来；

（3）求函数的单调区间，求导的方法不是唯一的方法，也不一定是最好的方法，

但它是一种一般性的方法.

例2若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是

变式题1:

若函数有三个单调区间，则实数的取值范围是.

变式题2:

若函数在（0,1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

则实数的值是.答案：

-5

变式题3：

若函数在上既不是单调递增函数也不是单调递减函数，则整数的值是.答案：

-1

.m变式题4：

若函数的单调递减区间是，则则实数的值是.

-8

例3设函数在定义域内可导，的图象如图1所示，则导函数可能为答案：

④

如果函数的导函数的图象如下图所示，给出下列判断：

①函数在区间内单调递增；

②函数在区间内单调递减；

③函数在区间内单调递增；

④函数的单调递增区间是

则上述判断中正确的是____________．答案：

③

已知函数的图象如右图所示（其中是函数的导函数），下面四个图象中的图象大致是答案：

③

备选例题：

已知函数．

（1）求函数的单调区间；

（2）若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围；

（3）求证：

．

（1）

当时，的单调增区间为，减区间为；

当时，不是单调函数

（2）得，

∴，∴

∵在区间上总不是单调函数，且∴

由题意知：

对于任意的，恒成立，

所以，，∴

（3）令此时，所以，

由（Ⅰ）知在上单调递增，∴当时，即，∴对一切成立，

∵，则有，∴

四、课堂精练

1.设f（x）=x2（2-x）,则f（x）的单调增区间是.答案：

（0,

2.已知函数在定义域内可导，其图象如图，记的导函数为，则不等式的解集为.

3.若函数在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为.

答案：

a≥3

讨论函数的单调性.

函数在上单调递增；

在上单调递增

五、回顾小结

判断函数单调性的方法；

2.导数符号与函数单调性之间的关系；

3.利用导数确定函数的单调性的步骤.

分层训练

1.函数y=8x2-lnx的单调递增区间是.答案：

2．已知，奇函数在上单调，则字母应满足的条件是．答案：

a=c=0,

3.已知函数在（－∞，+∞）上是增函数，则m的取值范围是.答案：

2＜m＜4

4.若函数在定义域内的一个子区间内不是单调函数,则实数k的取值范围是.答案：

5.已知函数,,设．求函数的单调区间；

，

（1）若，由，∴在上单调递增.

由，∴在上单调递减.

∴的单调递减区间为，单调递增区间为.

（2）若，则在上恒成立，∴在上单调递增.

6.已知函数．若函数在区间（-1,1）上不单调，求a的取值范围．

（-5，-1）

六、拓展延伸

1.已知函数在上是增函数，在（0，2）上是减函数，且方程

f（x）=0有三个根，它们分别是.

（1）求c的值；

（2）求证：

；

（3）求的取值范围.

（1）解：

，由条件知，.

（2）证明：

由得，∵f（x）在（0，2）上是减函数，即，又.

（3）解：

由f（x）=0有三个根分别是，是方程的两根

，由

（2）可知.

2.已知,函数.

（1）当a=1时，求函数f（x）的单调递增区间；

（2）函数f（x）是否在R上单调递减，若是，求出a的取值范围；

若不是，请说明理由；

（3）若函数f（x）在上单调递增，求a的取值范围.

解:

（1）当a=1时,,

.令即,

即，解得.

所以函数f（x）的单调递增区间是.

（2）若函数f（x）在R上单调递减,则对都成立,

所以对都成立,即对都成立.

解得.

当时,函数f（x）在R上单调递减.

（3）解法一：

∵函数f（x）在[-1,1]上单调递增,

对都成立,对都成立.

令，则，解得.

解法二：

函数f（x）在上单调递增,

即对都成立.

令,则.

当时，；

当时，.

在上单调递减,在上单调递增.

，在上的最大值是1.

.

七、课后作业

八、教学后记：