新课标学年高考物理124万有引力理论的成就学案Word格式文档下载.docx

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2.太阳质量的计算

质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力提供向心力。

G＝mr。

（3）结论：

M＝，只要知道行星绕太阳运动的周期T和半径r就可以计算出太阳的质量。

（4）推广：

若已知卫星绕行星运动的周期T和卫星与行星之间的距离r，可计算行星的质量M，公式是M＝。

[理解概念]

判断下列说法是否正确。

（1）地球表面的物体，所受重力就是物体所受的万有引力。

（×

）

（2）绕行星匀速转动的卫星，万有引力提供向心力。

（√）

（3）利用地球绕太阳转动，可求地球的质量。

（4）利用月球绕地球转动，可求地球的质量。

二、发现未知天体

太阳系的行星中，海王星、冥王星距离太阳很远，是如何被发现的？

1.海王星的发现：

英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。

1846年9月23日，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星——海王星。

2.其他天体的发现：

近100年来，人们在海王星的轨道之外又发现了冥王星、阋神星等几个较大的天体。

[理解概念]

（1）天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。

（2）海王星的发现确立了万有引力定律的地位。

（3）牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。

　天体质量和密度的计算

[问题探究]

1.

（1）卡文迪许在实验室里利用扭秤实验测出了引力常量G的值，他是怎样“称量”地球的质量的呢？

（2）已知地面附近的重力加速度g＝9.8m/s2，地球半径R＝6.4×

106m，引力常量G＝6.67×

10－11N·

m2/kg2，试估算地球的质量。

答案　

（1）在地球表面，物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，即mg＝G，解得地球的质量M＝，只要测出G、g、R来，便可“称量”地球的质量。

（2）M＝＝kg≈6.0×

1024kg。

2.如果知道地球绕太阳的公转周期T和它与太阳的距离r，能求出太阳的质量吗？

若要求太阳的密度，还需要哪些量？

答案　由＝m地r知M太＝。

由密度公式ρ＝可知，若要求太阳的密度还需要知道太阳的半径。

[探究归纳]　

1.天体质量的计算

重力加速度法

环绕法

情景

已知天体（如地球）的半径R和天体（如地球）表面的重力加速度g

行星或卫星绕中心天体做匀速圆周运动

思路

物体的重力近似等于天体（如地球）与物体间的万有引力：

mg＝G

行星或卫星受到的万有引力充当向心力：

G＝m

或G＝mω2r

或G＝mr

结果

天体（如地球）质量：

M＝

中心天体质量：

或M＝

2.天体密度的计算

（1）一般思路：

若天体半径为R，则天体的密度ρ＝，将质量代入可求得密度。

（2）特殊情况

①卫星绕天体做半径为r的圆周运动，若天体的半径为R，则天体的密度ρ＝，将M＝代入得：

ρ＝。

当卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径r等于天体半径R，则ρ＝。

②已知天体表面的重力加速度为g，则

ρ＝＝＝。

[试题案例]

[例1]（2018·

临沂高一检测）（多选）下列几组数据中能算出地球质量的是（引力常量G是已知的）（　　）

A.已知地球绕太阳运动的周期T和地球中心离太阳中心的距离r

B.已知月球绕地球运动的周期T和地球的半径r

C.已知月球绕地球运动的角速度和月球中心离地球中心的距离r

D.已知月球绕地球运动的周期T和轨道半径r

解析　已知地球绕太阳运动的周期和地球的轨道半径，只能求出太阳的质量，而不能求出地球的质量，所以选项A错误；

已知月球绕地球运动的周期和地球的半径，而不知道月球绕地球运动的轨道半径，不能求出地球的质量，选项B错误；

已知月球绕地球运动的角速度和轨道半径，由G＝mrω2可以求出地球的质量，选项C正确；

由G＝mr也可以求出地球的质量，所以选项D正确。

答案　CD

求解天体质量和密度时的两种常见错误

（1）根据轨道半径r和运行周期T，求得M＝是中心天体的质量，而不是做圆周运动的天体的质量。

（2）混淆或乱用天体半径与轨道半径，为了正确并清楚地运用，应一开始就养成良好的习惯，比如通常情况下天体半径用R表示，轨道半径用r表示，这样就可以避免如ρ＝误约分；

只有卫星在天体表面做匀速圆周运动时，如近地卫星，轨道半径r才可以认为等于天体半径R。

[针对训练1]我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某星球表面。

宇航员从距该星球表面高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出一小球，测得小球做平抛运动的水平距离为L，已知该星球的半径为R，引力常量为G。

求：

（1）该星球表面的重力加速度。

（2）该星球的平均密度。

解析　

（1）小球在星球表面做平抛运动，有

L＝vt，h＝gt2，解得g＝。

（2）在星球表面满足＝mg

又M＝ρ·

πR3，

解得ρ＝。

答案　

（1）　

（2）

　天体运动的分析与计算

[观察探究]

如图1所示，太阳系的行星在围绕太阳运动。

图1

（1）地球、火星等行星绕太阳的运动遵守什么规律？

（2）如何比较地球、火星等行星绕太阳的运动的线速度、角速度、周期及向心加速度等各量的大小关系？

答案　

（1）地球、火星等行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力。

（2）由G＝man＝m＝mω2r＝mr表达式可知线速度、角速度、周期及向心加速度等各量都与轨道半径有关系。

1.基本思路

一般行星或卫星的运动可看作匀速圆周运动，所需要的向心力都由中心天体对它的万有引力提供，即F向＝F万。

2.常用关系

（1）G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man，万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力。

（2）mg＝G，在天体表面上物体的重力等于它受到的引力，可得gR2＝GM，该公式称为黄金代换。

3.四个重要结论

项目

推导式

关系式

结论

v与r的关系

v＝

r越大，

v越小

ω与r的关系

G＝mrω2

ω＝

ω越小

T与r的关系

G＝mr（）2

T＝2π

T越大

a与r的关系

G＝ma

a＝

a越小

速记口诀：

“高轨低速周期长，低轨高速周期短”

[例2]（多选）如图2所示，a、b、c是地球大气层外圈圆形轨道上运动的三颗卫星，a和b质量相等，且小于c的质量，则（　　）

图2

A.b所需向心力最小

B.b、c的周期相同且大于a的周期

C.b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度

D.b、c的线速度大小相等，且小于a的线速度

解析　因卫星运动的向心力是由它们所受的万有引力提供，而b所受的引力最小，故A正确；

由＝man得，an＝，即卫星的向心加速度与轨道半径的平方成反比，所以b、c的向心加速度大小相等且小于a的向心加速度，C错误；

由＝得，T＝2π，即卫星运动的周期与其轨道半径三次方的平方根成正比，所以b、c的周期相等且大于a的周期，B正确；

由G＝m得，v＝，即卫星的线速度与其轨道半径的平方根成反比，所以b、c的线速度大小相等且小于a的线速度，D正确。

答案　ABD

解答天体运动问题的技巧

（1）建立模型

不论是自然天体（如地球、月球等）还是人造天体（如卫星、飞船等），只要它们是在绕某一中心天体做圆周运动，就可以将其简化为质点的匀速圆周运动模型来处理问题。

（2）列方程求解

根据中心天体对环绕星体的万有引力提供向心力，列出合适的向心力表达式进行求解。

F向＝F万＝ma＝mg＝G＝m＝mrω2＝mr。

[针对训练2]（2018·

洛阳高一检测）（多选）2003年8月29日，火星、地球和太阳处于三点一线，上演“火星冲日”的天象奇观。

这是6万年来火星距地球最近的一次，与地球之间的距离只有5576万公里，为人类研究火星提供了最佳时机。

如图3所示为美国宇航局最新公布的“火星冲日”的虚拟图，则有（　　）

图3

A.2003年8月29日，火星的线速度大于地球的线速度

B.2003年8月29日，火星的线速度小于地球的线速度

C.2004年8月29日，火星又回到了该位置

D.2004年8月29日，火星还没有回到该位置

解析　火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由G＝m可得：

v＝，所以轨道半径较大的火星线速度小，A错误，B正确；

火星轨道半径大，线速度小，火星运动的周期较大，所以一年后地球回到该位置，而火星则还没有回到该位置，C错误，D正确。

答案　BD

双星模型问题

1.双星模型：

两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的一点做圆周运动，这样的两颗星组成的系统称为双星。

图4

2.双星模型问题的处理方法：

双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即G＝m＝mrω2＝mr＝mωv＝man。

3.双星模型的特点

（1）各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即＝m1ωr1，＝m2ωr2。

（2）两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。

（3）两颗星的半径与它们之间的距离关系为：

r1＋r2＝L。

（4）两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。

（5）双星的运动周期T＝2π。

（6）双星的总质量公式m1＋m2＝。

【针对练习】　（2018·

蚌埠高一检测）（多选）2015年4月，科学家通过欧航局天文望远镜在一个河外星系中，发现了一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图5所示。

这也是天文学家首次在正常星系中发现超大质量双黑洞。

这对验证宇宙学与星系演化模型、广义相对论在极端条件下的适应性等都具有十分重要的意义。

我国今年底也将发射全球功能最强的暗物质探测卫星。

若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，双黑洞间距离为L，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。

根据所学知识，下列选项正确的是（　　）

图5

A.双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1

B.双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2

C.双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2

D.它们的运动周期为T＝2π

解析　双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心力大小相等，由G＝M1r1ω2＝M2r2ω2，得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1，选项A正确；

由v＝ωr得双黑洞的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项B错误；

由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，选项C错误；

由G＝M1r1（）2、G＝M2r2（）2和r1＋r2＝L得T＝2π，选项D正确。

答案　AD

1.（天体质量的计算）一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v。

假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。

已知引力常量为G，则这颗行星的质量