版《5年高考3年模拟》A版理科数学63 等比数列试题部分Word下载.docx

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及前n项和公式

★★★

2018课标Ⅲ,17,12分

等比数列的通项公式及前n项和公式

指数的运算

2017课标Ⅱ,3,5分

等比数列的前n项和公式

数学文化为背景的应用问题

2016课标Ⅰ,15,5分

最值问题

2.等比数列的前n项和

2016课标Ⅲ,17,12分

等比数列的判定

由an与Sn的关系求数列的通项公式

2015课标Ⅱ,4,5分

分析解读　　本节是高考的考查热点,主要考查等比数列的基本运算和性质,等比数列的通项公式和前n项和公式,尤其要注意以数学文化为背景的数列题,题型既有选择题、填空题,也有解答题.考查学生的数学运算和逻辑推理能力以及学生对函数与方程、转化与化归和分类讨论思想的应用.

破考点练考向

【考点集训】

考点一　等比数列及其性质

1.（2020届贵州贵阳摸底,10）等比数列{an}的各项均为正数,且a5a6+a4a7=18,则log3a1+log3a2+…+log3a10=（　　）

A.12B.10C.8D.2+log35

答案　B　

2.（2019湖南衡阳一模,8）在等比数列{an}中,a1a3=a4=4,则a6的所有可能值构成的集合是（　　）

A.{6}B.{-8,8}C.{-8}D.{8}

答案　D　

3.（2018天津滨海新区七所重点学校联考,11）等比数列{an}中,各项都是正数,且a1,a3,2a2成等差数列,则=　　　　. 

答案　-1

考点二　等比数列的前n项和

1.（2020届重庆一中10月月考,7）等比数列{an}的前n项和为Sn,且3a2,2a3,a4成等差数列,则=（　　）

A.B.3或C.3D.或

2.（2020届四川天府名校第一次联考,4）已知数列{an}各项都是正数,且满足an+2an=（n∈N*）,a5=16,a7=64,则数列{an}的前3项的和等于（　　）

A.7B.15C.31D.63

答案　A　

3.（2019湖南郴州一模,6）在数列{an}中,满足a1=2,=an-1·

an+1（n≥2,n∈N*）,Sn为{an}的前n项和,若a6=64,则S7的值为（　　）

A.126B.256C.255D.254

炼技法提能力

【方法集训】

方法　等比数列的判定与证明

1.（2020届安徽合肥一中9月月考,11）关于数列{an},给出下列命题:

①数列{an}满足an=2an-1（n≥2,n∈N*）,则数列{an}是公比为2的等比数列;

②“a,b的等比中项为G”是“G2=ab”的充分不必要条件;

③数列{an}是公比为q的等比数列,则其前n项和Sn=;

④等比数列{an}的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列,其中,真命题的序号是（　　）

A.①③④B.①②④C.②D.②④

答案　C　

2.下列结论正确的是（　　）

A.若数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则{an}为等差数列

B.若数列{an}的前n项和Sn=2n-2,则{an}为等比数列

C.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等差数列,则,,也可能构成等差数列

D.非零实数a,b,c不全相等,若a,b,c成等比数列,则,,一定构成等比数列

3.（2019四川宜宾第三次诊断,17）设数列{an}的前n项和为Sn,Sn=an-1.

（1）求证:

{an}是等比数列;

（2）求{an}的通项公式,并判断{an}中是否存在三项成等差数列.若存在,请举例说明;

若不存在,请说明理由.

解析　

（1）证明:

①当n=1时,a1=a1-1,∴a1=2.

②当n≥2时,∵Sn=an-1,

∴Sn-1=an-1-1,∴an=an-an-1,∴an=3an-1.

∵an≠0,∴=3,∴{an}是等比数列.

（2）由

（1）知,数列{an}是等比数列,且首项为2,公比为3,

∴an=2·

3n-1,n∈N*,

∴数列{an}各项都是正的,且是单调递增的.

假设数列{an}中存在三项ar,as,at（其中r,s,t∈N*）构成等差数列,不妨设r<

s<

t,则ar+at=2as,即2·

3r-1+2·

3t-1=2×

2·

3s-1,即3r+3t=2·

3s,即3r-s+3t-s=2.

∵r<

t,r,s,t∈N*,∴t-s≥1,

∴3r-s+3t-s>

0+31=3,这与3r-s+3t-s=2相矛盾,

∴数列{an}中不存在三项构成等差数列.

【五年高考】

A组　统一命题·

课标卷题组

1.（2019课标Ⅲ,5,5分）已知各项均为正数的等比数列{an}的前4项和为15,且a5=3a3+4a1,则a3=（　　）

A.16B.8C.4D.2

2.（2016课标Ⅰ,15,5分）设等比数列{an}满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2…an的最大值为　　　　. 

答案　64

3.（2018课标全国Ⅰ,17,12分）已知数列{an}满足a1=1,nan+1=2（n+1）an.设bn=.

（1）求b1,b2,b3;

（2）判断数列{bn}是不是等比数列,并说明理由;

（3）求{an}的通项公式.

解析　

（1）由条件可得an+1=an.

将n=1代入得,a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.

将n=2代入得,a3=3a2,所以a3=12.

从而b1=1,b2=2,b3=4.

（2）{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

由条件可得=,即bn+1=2bn,

又b1=1,所以{bn}是首项为1,公比为2的等比数列.

（3）由

（2）可得=2n-1,所以an=n·

2n-1.

4.（2016课标Ⅲ,17,12分）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0.

（1）证明{an}是等比数列,并求其通项公式;

（2）若S5=,求λ.

解析　

（1）由题意得a1=S1=1+λa1,

故λ≠1,a1=,a1≠0.

由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,

即an+1（λ-1）=λan.

由a1≠0,λ≠0得an≠0,所以=.

因此{an}是首项为,公比为的等比数列,于是an=·

.

（2）由

（1）得Sn=1-.

由S5=得1-=,即=.

解得λ=-1.

思路分析　

（1）先由题设利用an+1=Sn+1-Sn得到an+1与an的关系式,要证数列是等比数列,关键是看an+1与an之比是不是非零常数,其中说明an≠0是非常重要的.

（2）利用第

（1）问的结论解方程求出λ.

1.（2017课标Ⅱ,3,5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:

“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?

”意思是:

一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯（　　）

A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏

2.（2019课标Ⅰ,14,5分）记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=,=a6,则S5=　　　　. 

答案　

3.（2018课标Ⅲ,17,12分）等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.

（1）求{an}的通项公式;

（2）记Sn为{an}的前n项和.若Sm=63,求m.

解析　本题考查等比数列的概念及其运算.

（1）设{an}的公比为q,由题设得an=qn-1.

由已知得q4=4q2,解得q=0（舍去）或q=-2或q=2.故an=（-2）n-1或an=2n-1.

（2）若an=（-2）n-1,则Sn=.

由Sm=63得（-2）m=-188.此方程没有正整数解.

若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63得2m=64,解得m=6.

综上,m=6.

易错警示　解方程时,对根的检验易漏.

求解等比数列的公比时,要结合题意进行讨论、取值,避免产生错解.

解后反思　等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略

（1）求通项公式.求出等比数列的两个基本量a1和q后,通项公式便可求出.

（2）求特定项.利用通项公式或者等比数列的性质求解.

（3）求公比.利用等比数列的定义和性质建立方程（组）求解.

（4）求前n项和.直接将基本量代入等比数列的前n项和公式求解或利用等比数列的性质求解.

B组　自主命题·

省（区、市）卷题组

1.（2018北京,4,5分）“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为（　　）

A.fB.fC.fD.f

2.（2016天津,5,5分）设{an}是首项为正数的等比数列,公比为q,则“q<

0”是“对任意的正整数n,a2n-1+a2n<

0”的（　　）

A.充要条件B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件

1.（2017江苏,9,5分）等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=,S6=,则a8=　　　　. 

答案　32

2.（2015湖南,14,5分）设Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=1,且3S1,2S2,S3成等差数列,则an=　　　　. 

答案　3n-1

C组　教师专用题组

1.（2018浙江,10,4分）已知a1,a2,a3,a4成等比数列,且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3）.若a1>

1,则（　　）

A.a1<

a3,a2<

a4B.a1>

a4

C.a1<

a3,a2>

a4D.a1>

2.（2015课标Ⅱ,4,5分）已知等比数列{an}满足a1=3,a1+a3+a5=21,则a3+a5+a7=（　　）

A.21B.42C.63D.84

3.（2012课标Ⅰ,5,5分）已知{an}为等比数列,a4+a7=2,a5a6=-8,则a1+a10=（　　）

A.7B.5C.-5D.-7

4.（2016四川,19,12分）已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q>

0,n∈N*.

（1）若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式;

（2）设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:

e1+e2+…+en>

解析　

（1）由已知,Sn+1=qSn+1,Sn+2=qSn+1+1,

两式相减得到an+2=qan+1,n≥1.

又由S2=qS1+1得到a2=qa1,

故an+1=qan对所有n≥1都成立.

所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.

从而an=qn-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得

2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则（2q+1）（q-2）