线性回归方程Word文档格式.docx
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2、知识点梳理
1．线性回归方程
①变量之间的两类关系：
函数关系与相关关系
②制作散点图，判断线性相关关系
③线性回归方程：
（最小二乘法）
最小二乘法：
求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方最小的方法
注意：
线性回归直线经过定点
2．相关系数（判定两个变量线性相关性）：
注：
⑴>
0时，变量正相关；
<
0时，变量负相关；
⑵①越接近于1，两个变量的线性相关性越强；
②接近于0时，两个变量之间几乎不存在线性相关关系。
3．线形回归模型：
⑴随机误差：
我们把线性回归模型，其中为模型的未知参数，称为随机误差。
随机误差
⑵残差：
我们用回归方程中的估计，随机误差，所以是的估计量，故，称为相应于点的残差。
⑶回归效果判定-----相关指数（解释变量对于预报变量的贡献率）
（的表达式中确定）
①得知越大，说明残差平方和越小，则模型拟合效果越好；
②越接近于1，，则回归效果越好。
4．独立性检验（分类变量关系）：
（1）分类变量：
这种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量。
（2）列联表：
列出两个分类变量的频数表，称为列联表。
（3）对于列联表：
的观测值。
（4）临界值表：
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
如果，就推断“有关系”，这种推断犯错误的概率不超过；
否则，在样本数据中没有发现足够证据支持结论“有关系”。
（5）反证法与独立性检验原理的比较：
反证法原理
在假设下，如果推出矛盾，就证明了不成立。
独立性检
验原理
在假设下，如果出现一个与相矛盾的小概率事件，就推断不成立，且该推断犯错误的概率不超过这个小概率。
典型例题
1．（2011·
山东）某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x/万元
4
2
5
销售额y/万元
49
26
39
54
根据上表可得回归方程＝x＋中的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（ ）．
A．63.6万元B．65.5万元
C．67.7万元D．72.0万元
解析 ∵＝＝，＝＝42，
又＝x＋必过（，），∴42＝×
9.4＋，∴＝9.1.
∴线性回归方程为＝9.4x＋9.1.
∴当x＝6时，＝9.4×
6＋9.1＝65.5（万元）．
答案 B
2．（2011·
江西）为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下：
父亲身高x/cm
174
176
178
儿子身高y/cm
175
177
则y对x的线性回归方程为（ ）．
A.＝x－1B.＝x＋1
C.＝88＋xD.＝176
解析 因为＝＝176，
＝＝176，
又y对x的线性回归方程表示的直线恒过点（，），
所以将（176,176）代入A、B、C、D中检验知选C.
答案 C
3．（2011·
陕西）设（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）．
A．x和y的相关系数为直线l的斜率
B．x和y的相关系数在0到1之间
C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同
D．直线l过点（，）
解析 因为相关系数是表示两个变量是否具有线性相关关系的一个值，它的
绝对值越接近1，两个变量的线性相关程度越强，所以A、B错误．C中n
为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数可以不相同，所以C错误．根据回
归直线方程一定经过样本中心点可知D正确，所以选D.
答案 D
4．（2011·
广东）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：
小时）与当天投篮命中率y之间的关系：
时间x
1
命中率y
0.4
0.5
0.6
小李这5天的平均投篮命中率为________；
用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6小时篮球的投篮命中率为________．
解析 小李这5天的平均投篮命中率
＝＝0.5，
可求得小李这5天的平均打篮球时间＝3.根据表中数据可求得＝0.01，＝
0.47，故回归直线方程为＝0.47＋0.01x，将x＝6代入得6号打6小时篮球的
投篮命中率约为0.53.
答案 0.5 0.53
5．（2011·
辽宁）调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：
万元）和年饮食支出y（单位：
万元），调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的回归直线方程：
＝0.254x＋0.321.由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．
解析 由题意知[0.254（x＋1）＋0.321]－（0.254x＋0.321）＝0.254.
答案 0.254
6．（2011·
安徽）某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份
2002
2004
2006
2008
2010
需求量（万吨）
236
246
257
276
286
（1）利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程＝x＋；
（2）利用
（1）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
解
（1）由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程．为此对数据预处理如下：
年份－2006
－4
－2
需求量－257
－21
－11
19
29
对预处理后的数据，容易算得＝0，＝3.2.
＝
＝＝6.5，＝－b＝3.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
－257＝（x－2006）＋＝6.5（x－2006）＋3.2，
即＝6.5（x－2006）＋260.2.①
（2）利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为
6．5×
（2012－2006）＋260.2＝6.5×
6＋260.2＝299.2（万吨）．
课堂练习
1．实验测得四组（x，y）的值为（1,2），（2,3），（3,4），（4,5），则y与x之间的回归直线方程为（ ）
A.＝x＋1 B.＝x＋2C.＝2x＋1D.＝x－1
2．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是（ ）
A．甲B．乙C．甲、乙相同D．不确定
3．某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得xi＝52，yi＝228，x＝478，xiyi＝1849，则其线性回归方程为（ ）
A.＝11.47＋2.62xB.＝－11.47＋2.62x
C.＝2.62＋11.47xD.＝11.47－2.62x
4．下表是某厂1～4月份用水量（单位：
百吨）的一组数据：
月份x
用水量y
4.5
2.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是＝－0.7x＋a，则a等于______．
5．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此作了四次试验，得到的数据如下：
零件的个数x（个）
加工的时间y（小时）
（1）在给定的坐标系中画出表中数据的散点图；
（2）求出y关于x的线性回归方程＝bx＋a，并在坐标系中画出回归直线；
（3）试预测加工10个零件需要多少小时？
课后练习
一、选择题
A.＝x＋1 B.＝x＋2
C.＝2x＋1D.＝x－1
答案 A
解析 画出散点图，四点都在直线＝x＋1.
2．下列有关样本相关系数的说法不正确的是（ ）
A．相关系数用来衡量变量x与y之间的线性相关程度
B．|r|≤1，且|r|越接近于1，相关程度越大
C．|r|≤1，且|r|越接近0，相关程度越小
D．|r|≥1，且|r|越接近1，相关程度越小
3．由一组样本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）得到的回归直线方程＝a＋bx，下面有四种关于回归直线方程的论述：
（1）直线＝a＋bx至少经过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的一个点；
（2）直线＝a＋bx的斜率是；
（3）直线＝a＋bx必过（，）点；
（4）直线＝a＋bx和各点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）的偏差（yi－a－bxi）2是该坐标平面上所有的直线与这些点的偏差中最小的直线．
其中正确的论述有（ ）
A．0个B．1个
C．2个D．3个
解析 线性回归直线不一定过点（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）中的任何一点；
b＝就是线性回归直线的斜率，也就是回归系数；
线性回归直线过点（，）；
线性回归直线是平面上所有直线中偏差（yi－a－bxi）2取得最小的那一条．故有三种论述是正确的，选D.
4．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有（ ）
A．b与r的符号相同 B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反
5．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是（ ）
A．甲B．乙
C．甲、乙相同D．不确定
6．某化工厂为预测产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量x之间的相关关系，现取8对观测值，计算，得xi＝52，yi＝228，x＝478，xiyi＝1849，则其线性回归方程为（ ）
解析 利用回归系数公式计算可得a＝11.47，b＝2.62，故＝11.47＋2.62x.
二、填空题
7．下表是某厂1～4月份用水量（单位：
解析 ＝2.5，＝3.5，∵回归直线方程过定点（，），∴3.5＝－0.7×
2.5＋a.
∴a＝5.25.
8．某服装商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月
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