人教A版选修12高中数学拔高习题九 312 复数的几何意义及答案1及答案Word格式.docx
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且点（cosθ,sinθ）位于复平面的第二象限,
所以所以θ为第二象限角.
【补偿训练】复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于 （ ）
A.实轴对称
B.虚轴对称
C.一、三象限平分线对称
D.二、四象限平分线对称
【解析】选A.由实部相等,虚部互为相反数得复数z1=1+i,z2=1-i在复平面内对应点关于实轴对称.
3.设O为原点,向量,对应的复数分别为2+3i,-3-2i,那么向量对应的复数为 （ ）
A.-1+iB.1-i
C.-5-5iD.5+5i
【解析】选D.因为由已知=（2,3）,=（-3,-2）,
所以=-=（2,3）-（-3,-2）=（5,5）,
所以对应的复数为5+5i.
4.（2016·
烟台高二检测）过原点和-i对应点的直线的倾斜角是 （ ）
A.B.-C.D.
【解析】选D.因为-i在复平面上的对应点是（,-1）,
所以tanα==-（0≤α<
π）,所以α=π.
5.（2016·
西安高二检测）复数1+cosα+isinα（π<
α<
2π）的模为（ ）
A.2cosB.-2cosC.2sinD.-2sin
【解析】选B.所求复数的模为
==，
因为π<
2π，
所以<
<
π，
所以cos<
0，
所以=-2cos.
【误区警示】本题容易忽视cos<
0而错选A.
二、填空题（每小题5分，共15分）
6.（2016·
潍坊高二检测）若复数z=（a-1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，则a的值等于________.
【解析】复数z=（a-1）+3i（a∈R）在复平面内对应的点在直线y=x+2上，可得3=a-1+2，解得a=2.
答案：
2
7.（2016·
武汉高二检测）i为虚数单位,设复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,若z1=2-3i,则z2=________.
【解题指南】从复数与复平面上的点的对应角度处理.
【解析】因为z1=2-3i对应的点的坐标为（2,-3）,且复数z1,z2在复平面内对应的点关于原点对称,所以z2在复平面内对应点的坐标为（-2,3）,对应的复数为z2=-2+3i.
答案:
-2+3i
8.已知△ABC中,,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为________.
【解析】因为,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,所以=（-1,2）,=（-2,-3）.
又=-=（-2,-3）-（-1,2）=（-1,-5）,
所以对应的复数为-1-5i.
-1-5i
三、解答题（每小题10分,共20分）
9.（2016·
郑州高二检测）在复平面内,复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,求向量+,对应的复数及A,B两点之间的距离.
【解析】因为复数-3-i与5+i对应的向量分别是与,其中O是原点,所以=（-3,-1）,=（5,1）,所以+=（-3,-1）+（5,1）=（2,0）,所以向量+对应的复数是2,又=-=（-3,-1）-（5,1）=（-8,-2）,所以对应的复数是-8-2i,A,B两点之间的距离为||==2.
10.实数m分别取什么数值时,复数z=（m2+5m+6）+（m2-2m-15）i是:
（1）实数.
（2）虚数.（3）纯虚数.
（4）对应点在x轴上方.
（5）对应点在直线x+y+5=0上.
【解析】
（1）由m2-2m-15=0,得m=5或m=-3.故当m=5或m=-3时,z为实数.
（2）由m2-2m-15≠0,得m≠5且m≠-3.故当m≠5且m≠-3时,z为虚数.
（3）由得m=-2.
故当m=-2时,z为纯虚数.
（4）由m2-2m-15>
0,得m<
-3或m>
5.故当m<
5时,z的对应点在x轴上方.
（5）由（m2+5m+6）+（m2-2m-15）+5=0,
得m=或m=.
故当m=或m=时,z的对应点在直线x+y+5=0上.
一、选择题（每小题5分,共10分）
太原高二检测）在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 （ ）
A.4+8iB.8+2i
C.2+4iD.4+i
【解题指南】先求出复数在复平面上对应点的坐标,再利用中点坐标公式求出C点,再把点的坐标还原为复数.
【解析】选C.因为复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B,所以A（6,5）,B（-2,3）,又C为线段AB的中点,所以C（2,4）,所以点C对应的复数是2+4i.
【补偿训练】已知复数z1=-2+3i的对应点为Z1,Z2与Z1关于x轴对称,Z3与Z2关于直线y=-x对称,则点Z3对应的复数为z=________.
【解析】Z1（-2,3）,Z2（-2,-3）,Z3（3,2）,
所以z=3+2i.
3+2i
福州高二检测）已知复数z的模为2,则|z-i|的最大值为 （ ）
A.1B.2C.D.3
【解题指南】根据复数的几何意义,知|z|=2对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,|z-i|表示的是圆上一点到点（0,1）的距离,其最大值为圆上点（0,-2）到点（0,1）的距离.
【解析】选D.因为|z|=2,则复数z对应的轨迹是圆心在原点,半径为2的圆,
而|z-i|表示的是圆上一点到点（0,1）的距离,
所以其最大值为圆上点（0,-2）到点（0,1）的距离,最大的距离为3.
【补偿训练】已知f（z）=|1+z|-z且f（-z）=10+3i,则复数z为________.
【解析】设z=x+yi（x,y∈R）,
则f（-z）=|1-x-yi|+（x+yi）=10+3i,
所以
所以所以z=5+3i.
5+3i
二、填空题（每小题5分,共10分）
3.复数z1=1+2i,z2=-2+i,z3=--i,z4=-i,z1,z2,z3,z4在复平面内的对应点分别是A,B,C,D,则∠ABC+∠ADC=________.
【解析】|z1|=|z2|=|z3|=|z4|=,
所以点A,B,C,D应在以原点为圆心,为半径的圆上,由于圆内接四边形ABCD对角互补,所以∠ABC+∠ADC=180°
.
180°
【误区警示】注意|z|=a（a>
0）z=±
a.
南宁高二检测）复数z=（a-2）+（a+1）i,a∈R对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是________.
【解析】复数z=（a-2）+（a+1）i对应的点的坐标为（a-2,a+1）,因为该点位于第二象限,
所以解得-1<
a<
2.
由条件得|z|==
==,
因为-1<
2,所以|z|∈.
广州高二检测）实数m取什么值时,复平面内表示复数z=（m2-8m+15）+（m2-5m-14）i的点
（1）位于第四象限.
（2）位于第一、三象限.
（1）⇒⇒
-2<
m<
3或5<
7.
（2）（m2-8m+15）（m2-5m-14）>
⇒（m-3）（m-5）（m+2）（m-7）>
得m<
-2或3<
5或m>
【延伸探究】若结论改为复数z对应的点位于直线x-2y+16=0上,则结果如何?
【解析】由复数z=（m2-8m+15）+（m2-5m-14）i对应的点在直线x-2y+16=0上可得m2-8m+15-2（m2-5m-14）+16=0⇒m=1±
【补偿训练】已知z1=x2+i,z2=（x2+a）i对任意的x∈R均有|z1|>
|z2|成立,试求实数a的取值范围.
【解析】因为|z1|=,|z2|=|x2+a|,且|z1|>
|z2|,
所以>
|x2+a|对x∈R恒成立,等价于（1-2a）x2+（1-a2）>
0恒成立.
不等式等价于①:
解得a=,
所以a=时,0·
x2+>
或②:
解得-1<
所以a∈.
综上,可得实数a的取值范围是
合肥高二检测）已知O为坐标原点,对应的复数为-3+4i,对应的复数为2a+i（a∈R）.若与共线,求a的值.
【解题指南】先利用向量与复数的对应求出向量与的坐标,再利用向量共线的条件求出a的值.
【解析】因为对应的复数为-3+4i,
对应的复数为2a+i,
所以=（-3,4）,=（2a,1）.
因为与共线,所以存在实数k使=k,
即（2a,1）=k（-3,4）=（-3k,4k）,
所以所以
即a的值为-.
【补偿训练】已知虚数（x-2）+yi（x,y∈R）的模为,求的取值范围.
【解题指南】由模的定义得到关于x与y的等式,即动点（x,y）的轨迹;
再由=的几何意义表示动点（x,y）与（0,0）所在直线的斜率,作出草图,求出范围.
【解析】由（x-2）+yi是虚数,得y≠0,
又由|（x-2）+yi|=,得（x-2）2+y2=3.这是以（2,0）为圆心,为半径的圆（除去（2±
0））.
过O点作圆的切线OP,OQ,则斜率的最大值为=tan∠AOP=,=
tan∠AOQ=-.所以的取值范围是.
【方法技巧】常见复数模的几何意义
复数的模在复平面内对应的常见图形为:
（1）以z0为圆心,r为半径的圆:
|z-z0|=r.
（2）线段z1z2的中垂线|z-z1|=|z-z2|.
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