届安徽省芜湖市高三上学期期末考试一模文科数学试题解析版Word格式.docx

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【名师点睛】对于古典概型问题主要把握基本事件的种数和符合要求的事件种数，基本事件的种数要注意区别是排列问题还是组合问题，看抽取时是有、无顺序，本题从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，是组合问题，当然简单问题建议采取列举法更直观一些.

4.设为非零向量，则“存在负数，使得”是“的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】，是非零向量，，存在负数λ使得，则向量，共线且方向相反，可得．

反之不成立，非零向量，夹角为钝角，满足，而不成立．

∴，为非零向量，则“存在负数λ，使得”是“”的充分不必要条件．

故选：

A．

5.下图是一个算法的程序框图，当输入值为10时，则其输出的结果是（）

A.B.2C.D.4

【答案】D

6.若，则双曲线的离心率的取值范围是（）

【解析】,选C.

7.若直线过点，则的最小值为（）

A.6B.8C.9D.10

【解析】因为直线过点,所以,因此,当且仅当时取等号,所以选C.

点睛：

在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.

8.某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）

【解析】几何体为半个圆柱与一个圆柱的组合体,体积为,选D.

1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．

2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．

9.已知定义在上的函数为偶函数.记，，，则的大小关系为（）

【解析】因为函数为偶函数,所以,则在上单调递增,

因为，所以，选B.

10.古代数学著作《九章算术》有如下的问题：

“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？

”意思是：

“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？

”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于30尺，则至少需要（）

A.6天B.7天C.8天D.9天

【解析】这是一个等比数列问题：

已知等比数列的公比求最小正整数.,选C.

11.如图，在边长为2的正方形中，分别为的中点，为的中点，沿将正方形折起，使重合于点，在构成的四面体中，下列结论中错误的是（）

A.平面

B.直线与平面所成角的正切值为

C.四面体的外接球表面积为

D.异面直线和所成角为

【解析】因为，所以平面；

直线与平面所成角所以

四面体的外接球直径为以为长宽高长方体对角线长,即外接球表面积为

取AF中点M,则异面直线和所成角为，所以错误的是D，选D.

12.已知函数，若方程恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是（）

【解析】因为，作图，由与相切得，由与相切得设切点，如图可得实数的取值范围是，选B.

涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13.函数的最小正周期是__________．

【答案】

【解析】，所以最小正周期.

考点：

三角恒等变形、三角函数的性质.

14.若满足，则的最大值为__________．

【答案】9

【解析】作可行域，则直线过点A（3,3）时取最大值9.

线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：

一，准确无误地作出可行域；

二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；

三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.

15.椭圆的左、右焦点分别为，顶点到的距离为4，直线上存在点，使得为底角是的等腰三角形，则此椭圆方程为__________．

【解析】因为顶点到的距离为4，所以因为为底角是的等腰三角形，所以椭圆方程为.

16.已知数列，令，则称为的“伴随数列”，若数列的“伴随数列”的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，则实数取值范围为__________．

【解析】由题意得,所以,相减得-，所以,也满足.因此数列的前项和为,

给出与的递推关系求，常用思路是：

一是利用转化为的递推关系，再求其通项公式；

二是转化为的递推关系，先求出与之间的关系，再求.应用关系式时，一定要注意分两种情况，在求出结果后，看看这两种情况能否整合在一起.

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.已知分别为三个内角的对边，向量，且.

（1）求角的大小；

（2）若，且面积为，求边的长.

（1）；

（2）.

【解析】试题分析：

（1）先根据向量数量积得角的关系式，再根据诱导公式得，解得角，

（2）先根据正弦定理得，再根据三角形面积公式得，最后利用余弦定理求边的长.

试题解析：

（1）因为

在三角形中有：

从而有，即，则；

（2）由，结合正弦定理知：

又知：

根据余弦定理可知：

解得：

18.某城市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数的监测数据，结果统计如下：

记某企业每天由空气污染造成的经济损失（单位：

元），空气质量指数为.当时，企业没有造成经济损失；

当对企业造成经济损失成直线模型（当时造成的经济损失为，当时，造成的经济损失；

当时造成的经济损失为2000元；

（1）试写出的表达式：

（2）在本年内随机抽取一天，试估计该天经济损失超过350元的概率；

（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有12天为重度污染，完成下面列联表，并判断能否有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？

（2）0.38；

（3）答案见解析.

（1）先根据待定系数法求当解析式，再用分段函数形式写，

（2）根据得，得频数，再根据频率等于频数除以总数求概率；

（3）先将数据对应填表，根据卡方公式求参考数据比较作判断.

（1）

（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于超过350元”为事件，由

（1）知：

，频数为38，则.

（3）根据以上数据得到如下列联表：

则计算可得

所以有的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.

19.如图，四边形和均是边长为2的正方形，它们所在的平面互相垂直，分别为的中点，点为线段的中点.

（1）求证：

直线平面；

（2）求点到平面的距离.

（1）证明见解析；

（1）取的中点，根据三角形中位线性质得，根据正方形性质得，再根据线面平行判定定理以及面面平行判定定理得平面平面，即得结论，

（2）利用等体积法求点到平面的距离.以及锥体体积公式可得点到平面的距离

（1）取的中点，连接和，则易知，又因为，，所以为的中位线，所以，且，，

所以平面平面，又平面，所以平面；

（2）设点到平面的距离为，

由题可知，面，所以，

由勾股定理可知，，

所以的面积，

经过计算，有：

由，和

所以

20.已知抛物线的焦点为，准线为，在抛物线上任取一点，过做的垂线，垂足为.

（1）若，求的值；

（2）除外，的平分线与抛物线是否有其他的公共点，并说明理由.

（2）答案见解析.

（1）根据抛物线定义求A点坐标，得E点坐标，再根据向量数量积求的值；

（2）设，根据得的平分线所在直线就是边上的高所在的直线.根据点斜式得的平分线所在的直线方程，再与抛物线联立，解方程组可得只有一解.

（1），∴，即由抛物线的对称性，不防取

∵，∴，，

∴

（2）设，∵，，.

由知的平分线所在直线就是边上的高所在的直线.

∴的平分线所在的直线方程为.

由，消得.

∵，方程化为，即

即的平分线与只有一个公共点，除以外没有其他公共点.

21.已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数在区间上存在两个不同零点，求实数的取值范围.

（1）答案见解析；

（1）先求导数，再根据a讨论导函数零点，根据导函数零点情况讨论导函数符号，根据导函数符号确定函数单调性，

（2）先分离，再利用导数研究函数单调性，最后根据图像确定存在两个不同零点的条件，解对应不等式得实数的取值范围.

（1）∵

①若时，，此时函数在上单调递增；

②若时，又得：

时，此时函数在上单调递减；

当时，此时函数在上单调递增；

（2）由题意知：

在区间上有两个不同实数解，

即函数图像与函数图像有两个不同的交点，

因为，令得：

所以当时，，函数在上单调递减

当时，，函数在上单调递增；

则，而，且，

要使函数图像与函数图像有两个不同的交点，

所以的取值范围为.

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

（1）利用零点存在的判定定理构建不等式求解.

（2）分离参数后转化为函数的值域（最值）问题求解.

（3）转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.平面直角坐标系中，直线的参数方程为，（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）写出直线的极坐标方程与曲线的直角坐标方程；

（2）已知与直线平行的直线过点，且与曲线交于两点，试求.

（1）直线的极坐标方程为，曲线的直角坐标方程为.

（2）.

（1）将，代入直线方程得，

由可得，

曲线的直角坐标方程为.

（2）直线的倾斜角为，∴直线的倾斜角也为，又直线过点，

∴直线的参数方程为（为参数），将其代入曲线的直角坐标方程可得

，设点对应的参数分别为.

由一元二次方程的根与系数的关系知，，

∴.

23.已知函数.

（1）解不等式；

（2）已知，若恒成