河北省武邑中学届高三上学期开学考试数学理试题含答案.docx

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河北省武邑中学届高三上学期开学考试数学理试题含答案

河北武邑中学2018—2019学年上学期高三开学摸底考试

理科数学

本试卷共5页，23题（含选考题）．全卷满分150分．考试用时120分钟．

★祝考试顺利★

注意事项：

1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．

2．选择题的作答：

每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

3．非选择题的作答：

用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

4．选考题的作答：

先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑．答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．

5．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．

一、选择题：

本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集，集合，集合，则（）

A．B．C．D．

2．欧拉公式（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，他将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）

（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限

3．对任意非零实数，若的运算原理如图所示，则

的值为（）

A．2B．C．3D．

4．2018年3月7日《科学网》刊登“动物可以自我驯化”的文章表明：

关于野生小鼠的最新研究，它们在几乎没有任何人类影响的情况下也能表现出进化的迹象——皮毛上白色的斑块以及短鼻子．为了观察野生小鼠的这种表征，从有2对不同表征的小鼠（白色斑块和短鼻子野生小鼠各一对）的实验箱中每次拿出一只，不放回地拿出2只，则拿出的野生小鼠不是同一表征的概率为（）

A．B．C．D．

5．的展开式中的系数为（）

A．-160B．320C．480D．640

6．某几何体的三视图如图所示，其侧视图为等边三角形，则该几何体的体积为（）

A．B．C．D．

7．的展开式中的常数项是（）

A．-5B．7C．-11D．13

8．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？

答曰：

二千一百一十二尺．术曰：

周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：

圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方高），则由此可推得圆周率的取值为（）

A．B．C．D．

9．已知向量满足，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

10．如图，网格纸上小正方形的边长为2，粗实线及粗虚线画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥的外接球的表面积为（）

A．B．C．D．

11．已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点.（）

A.B.C.D.

12．已知定义在上的可导函数的导函数为，对任意实数均有成立，且是奇函数，则不等式的解集是（）

A．B．C．D．

二、填空题：

本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．已知实数，满足约束条件，则的最大值____．

14．如图，在平面直角坐标系中，函数，的图像与轴的交点，，满足，则________．

15．已知三棱锥的外接球的球心为，平面

，则球心到平面的距离为.

16．已知的三边分别为，，，所对的角分别为，，，且满足，且的外接圆的面积为，则的最大值的取值范围为

三、解答题：

共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17—21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（1）必考题：

共60分。

17．（本小题满分12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．

（1）求的值；

（2）若，求的取值范围．

18.（本小题满分12分）某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：

初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有800名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．

（1）求获得复赛资格的人数；

（2）从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人?

（3）从

（2）抽取的7人中，选出3人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．

19．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点，，．

（1）求证：

平面平面；

（2）若直线和平面所成角的正弦值等于，求二面角的平面角的正弦值．

20．已知抛物线的焦点为，过抛物线上一点作抛物线的切线，交轴于点.

（1）判断的形状；

（2）若两点在抛物线上，点满足，若抛物线上存在异于的点，使得经过三点的圆与抛物线在点处的有相同的切线，求点的坐标.

21．（本小题满分12分）已知函数

（Ⅰ）若曲线与直线相切，求的值.

（Ⅱ）若设求证：

有两个不同的零点，且.（为自然对数的底数）

（2）选考题：

共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：

．

（1）将曲线的参数方程与直线的极坐标方程化为普通方程；

（2）是曲线上一动点，求到直线的距离的最大值．

23．[选修4—5：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知函数.

（1）解不等式；

（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值

高三理科数学参考答案

1-5BBDCB6-10ACABC11-12BD

13、214、15、16、（12,24]

17．（12分）

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】

（1）由已知得，

即有，·······3分

因为，∴．又，∴．

又，∴，∴，·······6分

（2）由余弦定理，有．

因为，，·······9分

有，又，于是有，即有．·······12分

18．（12分）

【答案】

（1）20；

（2）5，2；（3）见解析．

【解析】

（1）由题意知之间的频率为：

，···········2分

，

∴获得参赛资格的人数为···········4分

（2）在区间与，，

在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人

分在区间与各抽取5人，2人．结果是5，2．···········6分

（3）的可能取值为0，1，2，则：

···········7分

；···········8分

；···········9分

；···········10分

故的分布列为：

0

1

2

19.【答案】

（1）见解析；

（2）．

【解析】

（1）在直三棱柱中，

又，平面，，

∴平面，

又∵平面，∴平面平面．·····5分

（2）由

（1）可知，

以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立坐标系．设，，，，，，，，，·····6分

直线的方向向量，平面的法向量，

可知，∴，·····8分

，，，

设平面的法向量，

∴，∴，·····10分

设平面的法向量，

∴，∴，·····11分

记二面角的平面角为，，

∴，

∴二面角的平面角的正弦值为．·····12分

20.解析：

（1）设，∵，∴，

则切线的方程为，即，

∴，∵，∴

所以为等腰三角形

（2）设，∵，∴是的中点，∴

∵在抛物线上∴，∴或

∴两点的坐标为，设，则

由①②得圆心

由，得，∴或∵，∴

∴点的坐标为

21（12分）

解：

（Ⅰ）设切点

又切点在函数上，即

……………4分

（Ⅱ）证明:

不妨设，，所以在上单调递减，

又，

所以必存在，使得，即

.……………6分

①当时，，

所以在区间上单调递减，

注意到，

所以函数在区间上存在零点，且.…………9分

②当时,所以在区间上单调递增，

又，

且，

所以在区间上必存在零点，且.

综上，有两个不同的零点、，且.………………12分

22.【答案】

（1），；

（2）．

【解析】

（1）将曲线的参数方程（为参数）化为普通方程为，·······3分

直线的极坐标方程为：

，化为普通方程为．······5分

（2）设到直线的距离为，

，·······7分

∴到直线的距离的最大值为．·······10分

23.（10分）

解：

（1）

所以等价于或或

解得或，所以不等式的解集为或

（2）由

（1）可知，当时，取得最小值，

所以，即

由柯西不等式，

整理得，当且仅当时，即时等号成立，

所以的最小值为.